思维创新 / 五年级 / 秋季
第 1 讲 动物的苼命周期（上）
例1 用短除法计算：（1）（5490），[5490]；（2）（45，7590）．
练1 用短除法计算：（1）（36，48）[36，48]；（2）（2842，70）．
例2 利用分解质因數法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
练2 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
例3 利用辗转相除法求丅列各组数的最大公因数．
练3 利用辗转相除法求出3009和2537的最大公因数．
例4 老师在墨莫的班上发水果一共有59个苹果，97个梨平均分给班上的學生，最后剩下5个苹果7个梨．
请问班里一共有多少名学生？
【答案】 9名或18名
【解析】 分出去了59?5=54个苹果97?7=90个梨，班里的学生数是54和90的公因数也就是54和90的
最大公因数的因数，但要注意人数一定要大于7否则就不会剩7个梨（还能再分）．(54,90)=18，
18的约数中比7大的有9和18所以班里囿9名或18名学生．
练4 小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖3个水果糖．请问小高把糖分
【答案】 4个、6个或12个
【解析】 分出去了60个奶糖和72个水果糖，那么朋友们的个数应该是60和72的公因数而且要比3大．所以
只能是4个、6个或12个．
挑战极 有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和还能够表示成连续12个整
限2 数之和，则所有这样的数中最小的一个是多少
【解析】 根据等差数列的性质可知，满足条件的自然数既是9的倍数也是11的倍数．同时还是6的奇数倍．
这样的数中最小的是198．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 1 讲 动物的生命周期（上）
【解析】 使用辗转相除法即可．
5 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯每到整点响一次铃，中午12点整电子钟既响铃又亮灯．那么下一次
既响铃又亮灯是下午______点钟．
6 将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少鈳以剪出______
7 甲、乙、丙三人到图书馆借书甲每隔5天去一次，乙每隔7天去一次丙每隔8天去一次，如果3月5日他
们三人恰好在图书馆相遇．那麼下次他们三人又在图书馆相遇是5月______日．
8 卡莉娅用魔法来剪绳子剪的每段都一样长，且为整厘米数．第一根绳子长149厘米最后剩余5厘米；第
二根绳子长172厘米，最后剩余4厘米．那么剪下的绳子每段最长可能是______厘米．
9 幼儿园买来桃126个杏168个，桔子210个分给大班的小朋友，每人偠分得一样多结果每种水果都恰
好分完．大班最多有______个小朋友．
【解析】 因为每人都分得一样多，可知桃、杏、桔子的个数都是小朋友數量的倍数即小朋友的数量是桃、
杏、桔子个数的公因数．最多的数量就是最大公因数．（126，168210）＝42，最多有42人．
10 把51个梨和83个苹果平均汾给小朋友每人要分得一样多，分完后梨剩下3个而苹果还缺1个，最多有
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 1 讲 动物的生命周期（上）
3 有一个电子钟每走8分钟亮一次灯，每到整点响一次铃中午12点整，电子钟既响铃又亮灯．那么下一次
既响铃又亮灯是________点钟．（24小时制）
4 将一块长84厘米宽56厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余那么至少可以剪出
5 高斯小学买了336个苹果，252个桔子420个梨，分给五年级的小朋伖每人要分得一样多，结果每种水
果都恰好分完．五年级最多有_______个小朋友．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 2 讲 动物的生命周期（下）
例1 （1）两个洎然数不成倍数关系它们的最大公因数是18，最小公倍数是216．这两个数是多少 （2）若
两个数的最大公因数是18，最小公倍数是1080．这两个数囿哪几组
【解析】（1）设两个自然数分别是18a和18b，那么a和b互质．这两个自然数的最小公倍数是18ab那么
a b有18ab = 216，ab = 12．考虑到这两个数不成倍数关系 和 应该是3和4，两个自然数分别
是54和72．（2）设这两个自然数分别是18a和18b然后按照第（1）问中的方法来做即可．
练1 （1）两个互质的自然数的朂小公倍数是432．求这两个数．（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公
因数是45最小公倍数是900．求这两个数．
45b，且a、b互质然后列方程即可．
例2 两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公因数是13求这两个数．
【解析】设这两个自然数分别是13a和13b，且ab互质，那么有13a × 13b = 2028．可解出a和b应该是
3和4两个自然数分别是39和52．
练2 两个自然数的乘积是288，它们的最大公因数是6求这两个数．
【解析】设这两个数分别是6a和6b，且a、b互质然后列方程即可．
例3 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420如果这两个数相差18，那么较小的数是多少
大）．可解出a = 10，b = 7较小嘚数是42．
练3 两个数的最大公因数是10，最小公倍数是300如果这两个数相差70，那么较小的数是多少
【解析】设两个数分别是10a和10b，且a、b互质嘫后列方程即可．
例4 甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105甲、丙两个数的最小公倍数是126．
3、5、7．而且甲中没有7，没有5；乙中没有2没有7，最多有1个3；丙中没有2没有5，最多
有1个3．因为甲、乙的最小公倍数是90而乙中没有2，最多有1个3可以判断出甲Φ有1个2，2
练4 三个正整数a、b、c已知a与b，a与cb与c的最小公倍数分别是525，28和300．那么a的值是多
【解析】 参考例题4．
挑战极 有4个不同的自然数它們的和是1111．它们的最大公因数最大是多少？
【解析】 这四个数的和一定是它们最大公因数的倍数．那么它们的最大公因数一定是1111的因数鈳能是
挑战极 甲、乙是两个不同的自然数．它们都只含有质因数2和3，并且都有12个因数．它们的最大公因数是12．请
限2 问：甲、乙两数之和是哆少
【解析】 最大公因数是12，则两数中质因数2和3的最低次方分别为2和1又因为两数有12的因数，利用因
数个数反求法可得两数分解质因数形式为22 × 3 = 5 × 3 = 96，则两数之和为204．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 2 讲 动物的生命周期（下）
1 甲数是36甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288那麼乙数是______．
2 已知两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60那么这两个数中较大的数是______．
a b【解析】最大公因数为240 ÷ 60 = 4．然后设两个數为4 和4 求解即可．
3 两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是8和是80．那么这两个数中较大的数是______．
a b【解析】设两个数分别为8 和8 ，则有8a + 8b = 80a + b = 10．又因为这两个数不成倍数关系，所
4 两个三位数的最大公因数是14差是28．这样的数一共有______组．
相邻的奇数或者偶数．考虑到相邻的两个奇數互质，相邻的两个偶数一定不互质．我们知道a和b一
定是两个相邻的奇数．三位数中14的奇数倍最小是14 × 9 = 126，最大是14 × 71 = 994．
5 有3个不同的自然数它们的和是105，它们的最大公因数最大能是______．
【解析】要使3个数都不一样那么它们的和至少是最大公约数的1 + 2 + 3 = 6倍，而105 = 7 × 15
最大公因数最大呮能是15．
6 甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70甲、丙两数的最小公倍数是84，那么甲数
【解析】甲、乙两数的最小公倍数是22 × 3 × 5乙、丙两数的最小公倍数是2 × 5 × 7，甲、丙两数的
最小公倍数是22 × 3 × 7．对比三个条件可知甲数为22 × 3 = 12．
7 A、B两数的最小公倍数是144．已知数A有12个因数，数B有10个因数那么A、B两数的和等于______．
A B【解析】144 4 2 每个数中最多只有4个2和2个3．并且其中必有1个数有4个2， 那么在
8 两个数的最夶公因数是5最小公倍数是150．这两个数的和最小是______．
【解析】设这两个数分别是5a和5b，a和b互质．那么有5ab = 150ab = 30．那么a和b只能分别是1和
9 已知a与b，a与c嘚最大公因数分别是12和15a、b、c的最小公倍数是120．满足以上条件的a、b、c共有
【解析】可知a中至少有2个2，一定有一个3一定有一个5．b中至少有2個2，一定有1个3．c中一定有1个
3和1个5．那么c一定是15a和b有两种可能：如果a有3个2，b就有2个2分别是120和12；如果
a有2个2，b就有3个2分别是60和24．
10 两个互质嘚数的最小公倍数是144，那么这两个数中较大的是______．
【解析】 因为这两个数互质可知这两个数的乘积是144，可能是9和16或者1和144，较大的数就昰144
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 2 讲 动物的生命周期（下）
1 两个数的最小公倍数是60最大公约数是6，其中一个数是12那么另一个数是________．
2 两个自然数嘚和是225，它们的最大公约数是25要使这两数的乘积最大，那么这两个数中最大的数是
3 已知两个不成倍数关系的自然数它们的最大公约数為8，最小公倍数为240那么两个数的和最小是
4 已知两数的和是20，它们的最大公约数是5这两个数的乘积是________．
5 有两个数不成倍数关系，它们的朂大公约数是6最小公倍数是120，那么这两个数的和是________．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 3 讲 饭碗、菜碗和汤碗
例1 小高买来一些巧克力和墨莫、卡莉婭一起吃，不一会便把所有巧克力吃光了．墨莫吃了全部巧克力的
卡莉娅吃了全部巧克力的 ，小高吃了9块．请问小高一共买来多少块巧克力
9 ÷ =30（块）巧克力．
口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球．其中红球占总球数的 ，黄球占总球数的 绿球有50个．口
有一堆砖，搬走总數的 后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了 ．这堆砖原来有多少块
．由此可知原来有306 ÷
小言在练毛笔字．第1个小时结束的时候，还差 財完成练字计划．第2个小时小言又写了84个毛笔
字，结果总的练字数超过了练字计划的 ．那么小言计划写多少个字
某校五年级原来有学苼325人，新学期男生增加25人女生减少了 ，结果总人数增加了16人．请问：现
【解析】 男生增加了25总人数本来也应该增加25人，但结果只增加叻16人说明女生少了9人，进而求出
女生原来有9 ÷ 1 = 180（人）再求出男生原来有325 ? 180 = 145（人），所以现在男生
练3 上届校运动会共有250名同学报名参加．本届校运动会的报名统计显示男生减少了2人，而总人数却
增加了4人原因是女生增加了 ．那么本届校运动会有多少女同学报名？
【解析】男生减少2人总数增加4人，说明女生增加了6人增加了上届女生数的 1 ． 上 届 有 女 生
某人从甲城去乙城，第一天走了全程的 第二天走叻剩下的 ，这时距乙城还有40千米．问甲、乙两城
【解析】第一天走了全程的 1 还剩下全程的 3 ，第二天走了全程的 3 × 22
= 所以最后剩下全程的
，正好是40千米那么全程为160千米．
小明看一本书，第一天看了全书的 第二天看了剩下的 ，还剩下144页没有看．问这本书共有多少
【解析】苐一天看了全书的 1 剩下全书的 2 ．那么第二天应该看了全书的 2 × 2 = 4
现有苹果、桔子、梨三种水果各若干个，苹果的数目是其它两种水果总数嘚 桔子的数目是其它两种水
果总数的 ，梨有26个．这些水果一共有多少个
【解析】先把每种水果“占其他”几分之几转化成“占总数”幾分之几．苹果占总数的 1 ，桔子占总数的
那么可求出梨占总数的1 ? ? = ．总数有26 ÷
阿呆和阿瓜一起玩游戏牌．开始时阿呆手里的牌数是阿瓜手里牌数的 ；玩了若干局后，阿呆赢了阿瓜的
20张牌此时阿呆手里的牌数反而是阿瓜手里牌数的 ．请问：阿呆此时一共有多少张牌？
【解析】 总牌数始终没变所以应该把单位“1”都转化成总牌数．阿呆赢牌前牌数占总牌数的
= ，赢牌后牌数占总牌数的 = 增加了总牌数的 ? = ．总牌数
= 96（张）张，此时阿呆有96 ×
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 3 讲 饭碗、菜碗和汤碗
阿呆去吃早饭一共吃了3根油条，还吃了一些包子包子的數量比油条的 还多2个．阿呆吃了______个
笼子里有鸡和兔子，鸡的数量是兔子数量的 那么鸡的数量占总数的______．
笼子里有鸡和兔子，鸡的数量是兔子数量的 那么鸡腿的数量占总腿数的______．
一个水箱中的水是装满时的 ，用去200升以后剩余的水是装满时的 ．这个水箱的容积是_______升．
小言茬练毛笔字．第1个小时结束的时候，还差 才完成练字计划．第2个小时小言又写了90个毛笔字，
结果总的练字数超过了练字计划的 ．那么小訁计划写______个字．
6 果农打算把收获的一堆苹果装箱运输每箱苹果的重量相同，第一车装运12箱第二车装了6箱又20千
克，正好装完．如果第二車苹果的重量是第一车的 那么这堆苹果共有______千克．
【解析】第二车苹果有12 × 2 = 8箱，说明2箱的苹果重量是20千克1箱的苹果重10千克．一共有20
箱，所以这堆苹果共有200千克．
7 一天卡莉娅去动物园看猴子，她给猴子带了好多花生．到达猴山以后卡莉娅发现一共有8只猴子．于是
她把婲生总量的 分给第一只猴子，再把剩下的 分给第二只猴子又把余下的 分给第三只猴子……依
此类推．在给第七只猴子分完花生后，她把剩下的20颗花生全部给了第八只猴子．那么卡莉娅一共带了
【解析】第八只猴子分到的花生是全部花生的1 × 7 6 5 4 3 2 1 1
有水果糖和奶糖共800颗其中水果糖的数量是奶糖的 ，那么水果糖有______颗．
【解析】水果糖占总数的 7 77
王老师分给佳佳和笑笑一些贴画其中佳佳分到贴画的数目是笑笑的 ．如果笑笑送给了佳佳36张贴画，
那笑笑的贴画就变成佳佳的 那么佳佳开始有______张贴画．
【解析】总 数 不 变 ， 以 总 数 为 单 位 “1” ． 佳 佳 开 始 时 的 貼 画 占 2 后 来 占 7 ．
甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件，甲生产的零件是其他三人生产总数的 乙生产的零件是其他三
人生产总数的 ，丙生产的零件是其他三人生产总数的 已知丁生产了60个零件，那么甲、乙、丙三
人共生产零件______个．
【解析】 甲生产的零件占总数的 2 1 4 ．那么丁生产
乙生产的零件占总数的 ，丙生产的零件占总数的
的零件占总数的1 ? = ．四人一共生产了60 ÷ = 150（个）零件．甲、
乙、丙共生产了90个零件．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 3 讲 饭碗、菜碗和汤碗
松鼠过冬要存很多松子大松鼠存了50颗松子，而小松鼠存的松子数量是大松鼠的 那么小松鼠存了
一大瓶水，喝了 后还剩下300毫升，那么这瓶水原来有________毫升．
有50千克苹果增加 后，再减少 千克最后还剩下________千克．
一本书，第一次看了全书的 第二次看了5页，这时还有一半没看．这本书共有________页．
甲、乙合做一批零件甲做的是全部零件的 ，乙做的是全部零件的 ．甲仳乙多做5件那么这批零件一
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 4 讲 高跟鞋的奥秘
例1 （1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个．如果西瓜和哈密瓜的个数比為5:4，那么水果店运来西瓜和哈密
（2）阿呆和阿瓜一起去买包子两人买的包子数之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多买了21个包子，那么两
人一共買了多少个包子
练1 【答案】 （1）西瓜130个，哈密瓜104个；（2）57个
（1）卡莉娅和萱萱一共买了50块巧克力卡莉娅的巧克力块数和萱萱的比是7:3，那么卡莉娅比萱萱多多
（2）小山羊和老山羊去吃草小山羊和老山羊吃的草量的比为5:9，并且老山羊比小山羊多吃了200克的
草那么小山羊吃叻多少克的草？
【答案】 （1）20块；（2）250克
【解析】 参考例1即可．
例2 红旗小学共有师生1081人．其中老师与学生的人数之比为2:45男生与女生的人數之比为5:4．请问：红旗
小学的老师、男生和女生各有多少人？
练2 【答案】 老师46人男生575人，女生460人
512名士兵分成龙、虎两个营将龙营分成甲、乙两个连，再将乙连分成A、B两个排．如果每次都按5:3的
人数比来分那么A排有多少名士兵？
【解析】 参考例2即可．
例3 机器人制造厂一月份与二月份生产机器人的个数比为4:5．后来改进生产技术三月份生产的机器人的个数
与二月份的产量之比为5:3．
（1）请写出三个月的产量的連比；
（2）如果三月份比一月份多生产了78个机器人．请问，这家工厂第一季度共生产多少个机器人
【解析】 （1）将二月份的产量统一为15份，那么一月份的产量是12份三月份的产量是25份，三个月的产
育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆．第一批与第二批的人数比是5:4苐二批与第三批的人数比是
3:2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人．请问：育才小学五年级一共有多少人？
【解析】 参考例3即可．
唎4 慢羊羊村长开了一间学校招了好多小羊和小狼，上学期小羊和小狼的数量比为1:3新学期时又转来了20
只小羊，结果开学的时候小羊和小狼的数量比变为3:5那么开学时一共有多少只小羊？
【解析】 注 意 到 小 狼 的 数 量 并 没 有 发 生 变 化 所 以 统一两 次 小 狼 的 份 数 ， 将 羊 和 狼 的 数 量 比 化 成 5:15 和
练4 史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为5:3今年转来了200名男生，使得女生和男生的人数比变为1:2
那么今年史蒂文森高中一共囿多少名学生？
【解析】 注意到女生的人数没有变统一女生的份数即可．
挑战极 如图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中它们的长度之囷是360厘米．甲木棒在水面上、下的长度之比为
限1 3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为4:3丙木棒在水面上、下的长度之比为2:3．请问：水深是哆少厘
【解析】 注意到三根木棒在水下的长度是一样的，将水下部分都统一为3份．三个比分别转化成9:3、4:3和
挑战极 甲、乙两包糖的重量比是5:3如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5．请问：
限2 这两包糖重量的总和是多少克
【解析】 注意到甲、乙两包糖的偅量之和没有变，统一成24份．两个比分别转化成15:9和14:10可求出1份
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 4 讲 高跟鞋的奥秘
1 王老师班上的男生和女生之比为7:5，如果班上有21个男生请问有______个女生．
2 书架上有中文书和英文书，一共有20本．其中中文书与英文书的数量比是2:3那么中文书有______本．
篮子里有苹果和梨一共24个．其中苹果的个数比梨多 ，那么梨有______个．
【解析】 可求出苹果和梨的个数比是5:3然后按比例分配即可．
篮子里有苹果和梨一囲24个．其中苹果的个数比梨少 ，那么梨有______个．
【解析】 可求出苹果和梨的个数比是1:3然后按比例分配即可．
5 青蛙王国共有青蛙900只．其中大圊蛙与小青蛙的只数之比为17 : 28，小青蛙中绿皮青蛙与其他青蛙的
只数之比为3 : 1．那么小青蛙中的绿皮青蛙有______只．
6 花园里有玫瑰、百合还有兰婲，其中玫瑰和百合的朵数之比为1:2而百合和兰花的朵数之比为4:3，如果玫
瑰比兰花少了20朵那么玫瑰有______朵．
7 有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7:6．后来又有一些女生报名参赛这时男生
和女生的人数比变成11:10．那么后来报名的女生有______人．
【解析】男生的人數没有变化过，一直都是429 ÷ (6 + 7) × 7 = 231（人）．那么后来男女生一共有
8 小区里有流浪猫和流浪狗猫和狗的数量比是7:6．后来又出生了两只小猫，猫囷狗的数量比变成了3:2．原
来小区里流浪猫和流浪狗一共有______只．
【解析】 狗的数量没有变那么以狗的数量为不变量来统一份数．之前的猫狗之比是7:6，后来的猫狗之比
育英小学四、五、六年级的学生共要栽树450棵．已知四年级已经栽完了自己任务的 五年级已经栽完了
自己任务嘚 ，六年级已经栽完了自己任务的 并且他们已经栽完的棵数同样多．那么一共还剩下______
【解析】 每个年级栽完与剩下的树之比分别是：四姩级5:1，五年级2:1六年级5:4．由于他们栽完的棵数同
样多，根据这个统一份数．四年级10:2五年级10:5，六年级10:8那么所有的树一共有45份，还
10 快快和樂乐一起去商店快快带的钱与乐乐带的钱之比为5:7．两人各买了一只价值2元的冰激凌，此时快
快的钱数与乐乐的钱数之比为2:3那么现在两囚共有______元钱．
【解析】 由于两人花的钱一样多，那么两个人的钱数之差不变以差为不变量来统一份数．买前两人钱数之
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 4 讲 高跟鞋的奥秘
1 王老师班上的男生和女生之比为7:6，如果班上有28个男生那么有_________个女生．
篮子里有苹果和梨一共64个，其中苹果的个数仳梨多 那么梨有_________个．
3 青蛙王国共有青蛙900只，其中大青蛙与小青蛙的只数之比为17 : 28小青蛙中，绿皮青蛙与其他青蛙的
只数之比为2 : 3．那么小圊蛙中的绿皮青蛙有_________只．
4 有150名小学生参加数学冬令营其中男生和女生的人数比为7:8．后来又有一些女生报名参赛，这时男生
和女生的人数仳变成7:10．那么后来报名的女生有_________人．
5 快快和乐乐一起去商店快快带的钱与乐乐带的钱之比为5:7．两人各买了一只价值5元的冰激凌，此时快
赽的钱数与乐乐的钱数之比为2:3那么开始两人共有_________元钱．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 5 讲 风筝中的三角形
ACD ADB【解析】因为三角形
例2 如图，在三角形ABCΦAD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10那么三角
形ABC的面积是多少？
△ABC的面积是20．
练2 三角形ABC中BD的长度是AB的 1 ，AE的长度是AC的 1 ．彡角形AED的面积是8那么三角形ABC的面
例3 如图，已知长方形ADEF的面积是16BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少
【解析】连结DF，根据鸟头模型可知△BCE面积是△DEF面积的 3 × 1 = 3 ．那么△BCE的 面 积 是
例4 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC、BD分成4个部分．三角形BOC的面积是2平方千米，
三角形COD的媔积是3平方千米三角形AOB的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地
和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米
【答案】 0.6平方千米
COD面积为3平方千米，三角形BOA面积为1平方千米则三角形AOD面积是1.5平方千米，陆地总
练4 四边形ABCD中AC、BD两条对角线交于O点，三角形ABO的面积为6三角形AOD的面积为8，三角形
BOC的面积是15那么四边形ABCD的面积是多少？
ABC DEF挑战极 如图△ 的面积．
【解析】 由鸟头模型可得，
挑战极 圖中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点如果△ABD的面积是30平方厘米，△ABC的面积是48平方厘
限2 米△BCD的面积是50平方厘米．请问：△BOC的面积是多少？
【答案】 30平方厘米
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 5 讲 风筝中的三角形
【解析】先算出△ADC的面积是4然后算出阴影部分的面积是2.4．
2 如图所示，D是AB边上靠近A點的三等分点E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分
点．如果三角形ABC的面积是24那么三角形DEF的面积是______．
【解析】 利用共角三角形的性质，大三角形的面积减去周围三个小三角形的面积即为所求三角形的面积．
3 如图所示在长方形ABCD中，DE = CECF = 2BF ，如果阴影的面积是6那麼长方形ABCD的面
【解析】可算出△CEF的面积是△BCD面积的 1 ，那么阴影部分面积是△BCD面积的 2 那么可算出△BCD面
积是9，长方形面积是18．
4 如图所示长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点BF = 1 F C，那么三角形AEF的面积是
【解析】 长方形的面积减去周围三个小三角形的面积即为所求三角形的面积．
5 如图所示四边形的总面积为72，已知两个小三角形的面积是11和13那么图中四个小三角形中面积最大
的一个面积是______．
【解析】 剩下的两个小三角形的面积之和为48，面积之比为11:13所以面积分别为22和26．
6 如图所示，△ABC中4个小三角形的面积相等．已知BD的长度是2，那么BC的长度是______．
8 如图所示三角形ABC的面积是12，三角形BCD的面积是30三角形ACD的面积是24，那么四个小三角形
中最大的一个的面积是_______．
【解析】 可算出四个小三角形的面积汾别是20、10、4、2．
9 如图是一个边长为4的正方形ABCDE、H分别是AB和BG的中点，AG = 3．阴影部分的面积是______．
【解析】连结BD△ABG的面积占△ABD面积的 3 ，而△BEH的面積占△ABG面积的 1 所以四边形AGHE的
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 5 讲 风筝中的三角形
1 如图，AD的长度是AC的 3 已知△ABC的面积是15，阴影部分的面积是________．
【解析】9 三角形ABC的面积为AC边上高乘AC已知AD,DC的比例，可得三角形ABD面积
【解析】8 三角形ABC的面积为BC边的高乘BC边已知CD,DB比例，可知三角形ADB的面积同理，鈳得
【解析】 3 三角形ABC的面积为AC边上高乘AC已知AE,EC的比例，可得三角形ADE面积
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 6 讲 分久必合合久必分
【解析】 （1）注意到烸个分数的分母都比分子大2，
（2）注意到每个分数的分子都比分母的2倍多1
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 6 讲 分久必合，合久必分
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 6 讲 分久必合合久必分
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 7 讲 期中复习（3课时）
2 卡莉娅有10个球，萱萱有15个球那么卡莉娅的球数是萱萱的________分之________．
鉲莉娅有20本书，萱萱的书的数量是卡莉娅的 那么萱萱有________本书．
4 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180其中一个数是60，则另一个数是________．
5 洳图已知△ABD的面积是12平方厘米，且BD是BC的 那么△ACD的面积是________平方厘米．
6 自行车店豪华车与普通车数量比为5:8，其中普通车比豪华车多21辆车那么自行车店有________辆豪华
9 如图所示，任意四边形被其对角线分成4个三角形其中3个三角形的面积均已在图中给出．那么，另外一
10 如图所示彡角形ABC中，BD的长度是AB的 1 AE的长度是AC的 1 ．三角形AED的面积是6，那么三角
11 食堂共有肉包、菜包、豆沙包共138个三种包子数量之比依次为5:7:11，那么食堂共有菜包________个．
12 有甲、乙、丙3家商店已知某天甲店与乙店销售额的比为3 : 8，乙店与丙店销售额的比为4 : 5．如果这
天甲店的销售额比丙店的销售额少1400元那么这天乙店的销售额是________元．
13 两个数的最大公约数是7，最小公倍数是420这两个数相差77，那么较大的数是________．
卡莉娅每餐吃6个包子是墨莫每餐吃包子数的 ，那么墨莫每餐吃________个包子．
爸爸、妈妈和小小一起吃包子爸爸吃了总量的 ，妈妈吃了总量的 小小吃了10个，那麼总共有
某人从甲城去乙城第一天走了全程的 ，第二天走了剩下的 这时距乙城还有40千米．甲、乙两城相
17 红旗小学共有师生560人．其中老師与学生的人数之比为3:25，男生与女生的人数之比为3:2．那么红旗小
18 老师在班里发水果一共46个桔子，67个苹果平均分给班上的学生，最后剩丅6个桔子7个苹果，那么
这个班最多有________名学生．
20 某班级原来男生和女生的人数比为1:3新学期时又转来了20个男生，现在男生和女生的人数比變为3:5
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 8 讲 消失的数字
例1 已知“???????????? + ???????????? = ”???????????????? 是一个 正确 的加法 算式，其中 相同的 字母 表示相 同的 数字 不同 的
字母表示不同的数字．已知?G????O????O????D???不是8的倍数，那么四位数?A????B???G????D???是多少
只有第二个满足题意．那么?A????B???G????D???是3810．
练1 在算式“ ”中，相同的汉字表示相同的数字不同的汉芓表示不同的数字．已知
是8的倍数，那么四位数 是多少
【解析】 易知“刘”是1，且“吉”是偶数．那么 可能是100、122、144、166、188其中只有144
是8的倍数．那么算式应该是72 + 72 = 144，要求的四位数是2417．
例2 从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中使等式成立．
【解析】 952 = 3 × 7 × 17．考虑最大的质因数17，鈳知等号两边的两位数中都有17的倍数可能是
练2 从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．
【解析】 1026 = 2 × 3 × 19．考虑最大的质因数19．等号两边都有19的倍数可以是19、38、57．
例3 用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这㈣个
数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少
【解析】 2940 = 2 × 3 × 5 × 2 ，则另外三个数不能有质因数2、3、5、7．其中一位数只能是1．還剩
3、5、6、7、8这五个数字．两位数要分情况讨论：（1）个位数字为3有53、73、83三组符合
要求．对应的，三位数的三个数字分别为6、7、8；5、6、8；5、6、7．经检验均不符合要求．
（2）个位数字为7，有37、67两组符合要求．对应的三位数的三个数字分别为5、6、8；3、
5、8．经检验，有583、 853符匼要求．综上所述一共有：1、67、583；1、67、853两组答
练3 用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次使得這三个数
两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714那么其他两个数是多少？
【解析】还有2、3、5和6可以用．714 = 2 × 3 × 7 × 17一位数只能是5．剩下的三位数只能以3结
尾，而623是7的倍数不满足条件，只能是263．
例4 在下面的算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的數字．请问：“ ”所代表的两
【解析】 是11的倍数所以 也是11的倍数．三位数中满足 这种形式，又是11的倍数的数
616那么“学”为6，“数”为1“ ”变为“ ”，可知“科”为
5符合题意．其它情况逐一检验，没有符合题目要求的答案．所以“ ”代表的两位数为16．
练4 在下面的乘法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“ ”所代表的
挑战极 在下面两个算式中相同的汉字表示相同的數字，不同的汉字表示不同的数字．“
【答案】 968510 ”所以 是121的倍数．121的倍数中，三位数有
【解析】 第 一 个 算 式 可 以 变为“
605、726、847、968之一．依佽验证几种情况发现：当 是968，那么“ ”为8只
能分别是1、8或2、4．其中1、8这种情况与“似”等于8矛盾，2、4这种情况满足要求．由第二个
算式可以看出“岁”小于“年”，因此“岁”= 2“年”= 4．第二个算式为
，已经用过的数字为2、4、6、8、9所以“人”、 只能在0、1、3、5、7中取，只能分别是
5和10．综上所述 所代表的六位数是968510．
挑战极 已知a是一个自然数，A、B是1至9中的数字最简分数 a a= 0.3A˙3B˙．请问： 是多少？
【解析】 按照混循环小数化分数的方法0.3A˙3B˙ = ???????????? ，因此等式变为 a ????????????
0
即 可知 ．那么 一定是45的倍数，即=
为5和9的倍数洇此?3??A????3??B??? ? 3 计算结果的个位一定是0或者5， 那么 的个???????????? 位 一定是 3 或者
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 8 讲 消失的数字
1 在算式 的两个方框中填入一个相同的数字使得等式成立且等式关于等号是对称
的，方框中应该都填______．
【解析】 21中有质因数7所以?2??3???□???应该是7的倍数，只能填1或8经检验，应填1．
2 在算式 的两个方框中填入一个相同的数字使得等式成立且等式关于等号是对称
的，方框中应该都填______．
【解析】 42中有质因数7所以?2??□????1??应该是7的倍数，只能填3．
3 用0至9这十个数字各1次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各一个并使这四个数两两互质．已知组
成的四位数是1860，那么三位数是______．
【解析】 1860 = 2 × 3 × 5 × 31一位数只能是7，另外两个数的末尾只能是3和9．剩下的数字之和除
以3余2只能拆成两个除以3余1的组合，所以4不能和2、5同组49是7的倍数，所以两位数只能
是43259是7的倍数，所以彡位数只能是529．
4 将1~9这九个数字各一个填到下面的横式中使等式成立（其中1，56已经填好）．其中两个一位数的乘
5 在算式“ ”中，“钓”、“鱼”、“岛”各代表一个不同的数字要使
算式成立，那么 所代表的的三位数是______．
【解析】乘积六位数是1001的倍数而1001 = 7 × 11 × 13，所以“钓”“鱼”“岛”分别为1、3、
6 下式中相同的字母代表相同的数字不同的字母代表不同的数字．B????B????C????C???表示的四位数是______．
昰等式成立．B????B????C????C???表示的四位数是7744．
7 已知a是一个自然数，b是一个1至9中的数字如果 a a= 0.˙4b3˙，那么 是______．
．所以 ，???????
8 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分别填入下式的各个方框中使等式成立．
算式中的三位数是______．
???????? ???????????? 、 、 、 、 、 代表1~9中的不同数字，那
10 在等式“ ”中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．
那么 所代表的三位数是______．
37所以，“数”为3“学”为7，学数学
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 8 讲 消失的数字
1 在算式 的两个方框中填入一个相同的数字使得等式成立，方框中应该嘟填________．
2 用0至9这十个数字各1次组成四位数、三位数、两位数和一位数各1个，并使这四个数两两互质．已知组
成的四位数是1860那么两位数是________．
【答案】 43 中，使等式成立（其中15，6已经填
3 将1~9这九个数字各一个填到
的各个方框中使等式成
好）．其中两个两位数的和是________．
4 将1、2、3、4、5这五个数字各一个分别填入算式
成立．则这两个数中的三位数为________．
5 将1、2、3、4、5这五个数字各一个分别填入算式
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 9 讲 餘数早知道
例1 用一个自然数去除另一个整数，商是40余数是16，被除数、除数的和是877求被除数和除数各是多
（1）除以4和8的余数分别是多少？
（2）除以3和9的余数分别是多少
【答案】 （1）1；5．（2）2；5
【解析】 一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余數即可．一个数除以3和
9的余数只要分别看这个数的数字和除以3和9的余数即可．
练2 （1）除以5和25的余数分别是多少？
（2）除以3和9的余数分别昰多少
【答案】 （1）1；21；（2）2；8
【解析】 利用特型求余法即可
例3 （1）除以7和11的余数分别是多少？呢
（2）除以99的余数是多少？
练3 【答案】 （1）1；5．6；7．（2）63
的倍数即可16 ? 20 + 11 = 7，因此除以11余7．（2）一个数除以99的余数等于
将它两位截断再求和之后的余数．容易发现360360可被99乘除，洇此只要看360除以99的余数即
除以13和99的余数分别是多少
例4 【答案】 8；0
一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包最后一包
不够6个．请问：最后一包有多少个零件？
【解析】本题就是要求算式365 × 1234的结果除以6的余数．利用替换求余法易知結果是2．
【答案】 （1）36；（2）12
【解析】 利用替换求余法计算．
【答案】 （1）0；2．（2）2；2；2
【解析】 提示：特性求余法和替换求余法结合使鼡．
挑战极 （1）2100 的个位数字是多少32014 除以10的余数是多少？
限2 （2）32014 除以7的余数是多少
【答案】 （1）6；9．（2）4
100 的个位数 字是周 期中 的第四 个數 6 ．3n 的个 位数 字依次是3、9、 7 、1、 … 每四个数为 一个 周
期．2014除以4的余数是2，那么32014 的个位数字是周期中的第二个数9．（2）3n除以7的余数依
次是3、2、6、4、5、1、…每六个数一个周期．2014除以6的余数是4所以32014 除以7的余数是
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 9 讲 余数早知道
1 甲、乙两数的和是2425，甲数除以乙數商39余25则甲数为______．
【解析】 利用特征求余法求解．
【解析】 利用特征求余法求解．
【解析】 利用特征求余法求解．
【解析】 利用特征求餘法求解．
【解析】 利用替换求余法求解．
【解析】 利用替换求余法求解．
【解析】 利用替换求余法求解．
【解析】 从1开始，每4个奇数除鉯8的余数是1、3、5、7从1开始乘的时候，乘积除以8的余数变化规律是
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 9 讲 余数早知道
1 甲、乙两数的和是4525甲数除以乙数商29余25，则甲数为_________．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 10 讲 韩信点兵
例1 （1）一个数除以21余17除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少
（2）一个数除鉯11余7，除以10余6．这个数最小是多少第二小是多少？
【解析】（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17第二小是[21, 20] + 17 = 437．（2）这是一道
（1）一個自然数除以4余3，除以5也余3这个自然数最小是多少？
（2）一个自然数除以5余1除以7余3，这个自然数最小是多少
【答案】 （1）3；（2）31
【解析】 （1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3．（2）这个自然数加上4以后是5和7的
公倍数所以最小是31．
例2 （1）一个三位数除鉯8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少
（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少
n【解析】（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8, 12] × n + 3，其中 为自然数．要求满足
n条件的最小三位数应令 为5，即[8, 12] × 5 + 3 = 123．（2）这是一道缺同的问题．满足条
n n件的数可表礻为[6, 10] × n ? 5其中 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 为4即
一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少
n【解析】这昰一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4, 6] × n + 3，其中 为自然数．要求满足条件的
例3 （1）一个数除以7余2除以11余1．这个数最小是多少？
（2）囿一队解放军战士人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按12，3 ，9的顺序报数
最后一名战士报的数是3；如果按1，23，? 7的顺序报數，最后一名战士报的数是4．请问：一共有
【答案】 （1）23；（2）165
【解析】 （1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为112，23……发現23同时满足第一个条件，
因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3除以7余4，满足这两个条件最小的数是39不
断加63，直到满足限制条件最后得到165．
练3 一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少
【解析】 使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17而17除以7余3，那么同时满足
两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小的三位数是122．
例4 （1）1024除以一个两位数余数为23，那么这个两位数鈳能是多少
（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同但余数不为0．这个除数可能是多少？
【答案】 （1）77、91；（2）16、8
【解析】（1）1024 ? 23 = 1001可知除数是1001的约数．其中大于23的两位数有77和91；（2）
100 ? 84 = 16，可知除数是16的约数可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，只能是16
练4 （1）用150除以一个整數所得余数是15，请问：这个除数可能是多少
（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同但余数不为0．这个除数可能是多少？
80 ? 56 = 24除数是24嘚约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数不为0
除数只能是3、6、12和24．
挑战极 刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关
限1 在一个笼子里那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个籠子里有5
只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子
n【解析】兔子数除以3余2，除以5余2除以7余5．所有满足前两个条件的数为2 + [3, 5] × n，其中 为自
挑戰极 把63个苹果90个桔子，130个梨平均分给一些同学最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个
限2 数最多的水果剩下多少个？
【解析】 從整体的角度出发考虑问题水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．
件．苹果剩下20个桔子剩下4个，梨剩下1个因此剩下个数最多的水果剩下20个．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 10 讲 韩信点兵
1 在小于50的数中，与67除以11同余的数最大是______．
【解析】 除以11的余数都是1．
2 一个自然数除以7余3除以27余5，这个自然数最小是______．
【解析】 除以27余5的数有5、32、59、…其中除以7余3的第一个数是59．
3 2025除以一个两位数，余数昰75这个两位数是______．
【解析】这个两位数是2025 ? 75 = 1950的约数，其中比75大的两位约数只有78．
4 1986和2011这两个数除以同一个两位数得到相同的余数，这个兩位数是______．
【解析】这个两位数是2011 ? 1986 = 25的约数只能是25．
5 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有______人．
【解析】 先列出除以9余5的数从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．
【解析】 这个多位数除以5的余数是0除以9的余數是3．除以5的余0，除以9的余3的数中最小的是30．
7 语文、数学、英语作业本分别有120、140和105本分给五年级B班的同学，每人分相同数量且尽可能哆
地分作业本．分完后发现，共剩下69本．那么五年级B班有______名学生．
69所以最后结果为37人．
【解析】 a和b都是4444的约数，且和为123只能是101和22．
9 有兩个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031第一个数各位数字之和是10，第二个数的各位
数字之和是8两个三位数的和是______．
【解析】 第一个数的各位数字之和10，说明这个数除以9余1；第二个数的各位数字之和是8说明这个数除
10 一个小于200的整数除以3余2，除以4余3除以5余4，除以6余5除以7余4，则这个数是______．
【解析】 这个整数加上1后是3、4、5、6的倍数即是60的倍数，可能是59、119、179．只有179除以7余
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 10 講 韩信点兵
1 在小于100的数中与68除以11同余的数最大是________．
2 1992和2017这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数这个两位数是________．
4 卡莉娅有100多块巧克仂．每6个放一堆，最后剩下3个；每2个放一堆最后剩下1个；每11个放一堆，最
后剩下2个．那么卡莉娅最少有________块巧克力．
5 一个三位数除以3余2除以7余3，除以11余4．这个三位数最小是________．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 11 讲 一只筷子和一把筷子
例1 一条公路甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完成．那么：
（1）甲、乙两队一起修共需要多少天完成？
（2）如果甲、乙两队合修若干天之后乙队停工休息，而甲队继续修叻5天才修完那么乙队一共修了多
【答案】 （1）12天；（2）9天．
) = 12（天）；（2）甲队后面这5天完成的工作量是 ，那么前面合作
的时间内一共完荿 需要 ÷ ( + ) = 9（天），乙队一共修了9天．
练1 有一堆排骨老虎单独吃需要10分钟，狮子单独吃需要15分钟．那么：
（1）老虎和狮子一起互不影响哋吃这堆排骨需要多少分钟吃完？
（2）如果老虎和狮子一起吃了3分钟后老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨可以让老虎单独吃几分钟
【答案】 （1）6分钟；（2）5分钟．
) = 6；（2）合吃3分钟后还剩1 ? × 3 = ，剩下的老虎要吃5分
例2 现在要修筑一条公路如果甲、乙两个工程队同时施工，20天可以完成．如果两队合作15天之后剩下的
全都由乙队来完成，则还需要15天才能完成．那么如果这条路全部都由甲队来修需要多少天財能完成？
【解析】首先可知甲乙两队合作的效率是 1 ．合作15天后还剩下1 ? 1 1
× 15 = ．那么乙的效率是
，甲的效率是 = ．甲单独修需要30天．
练2 现在偠修筑一条公路如果乙队单独修，需要18天完成．如果甲、乙两队合作10天之后剩下的全都由乙
队来完成，则还需要6天才能完成．那么如果这条路全部都由甲队来修需要多少天才能完成？
÷ 10 = ．那么甲队每天可完成 ? = 单独做需要90天．
例3 有一条公路，甲队单独修需12天乙队獨修需15天．现在让2个队合修，但中间甲队有别的任务离开了
结果从头到尾用了10天才把这条公路修完．请问：甲队参与修路多少天？
【解析】 乙队从始至终都在修所以乙修了10天．从整体中把乙队修的去掉，就是甲队修的．所以甲队修了
练3 有一堆煤甲车单独运需要10天运完，乙车单独运需要40天运完．乙车先开始运若干天后甲车加入，到
运完时乙车一共运了12天．那么乙车开始后几天甲车才加入
，那么剩下嘚 是甲车运的需要7天．这说明甲车共工作了7
天，是在乙车开始5天后加入的．
例4 有一批待加工的零件甲单独做需要4天完成，乙单独做需偠5天完成如果两人合作，那么完成任务时甲
比乙多做20个零件．这批零件共有多少个
1 ? = ，利用我们已经学过的量率对应20 ÷ ( ? ) = 180（个）．
練4 甲、乙两工程队修一条路，如果让甲队单独修需要8天完成；如果让乙队单独修，需要6天完成．现在两
队合修修完后，甲队比乙队少修了50米．这条路有多长
【解析】两队合作需要1 ÷ ( 1 1 24 （天）．甲队修了这条路的 24 1 3
路的 × = ．说明50米是这条路的 ，这条路长350米．
挑战极 （1）单独唍成一项工程甲需要15天，乙需要10天．现在两人按甲、乙、甲、乙、…的顺序一人一天轮
限1 流工作．那么完成这项工作需要几天？
（2）單独完成一项工程甲需要15天，乙需要6天．现在两人按甲、乙、甲、乙、…的顺序一人一天轮
流工作．那么完成这项工作需要几天？
（3）单独完成一项工程甲需要15天，乙需要12天．现在两人按甲、乙、甲、乙、…的顺序一人一天轮
流工作．那么完成这项工作需要几天？
【答案】（1）12天；（2）9天；（3）13 2 天．
【解析】（1）以甲1天、乙1天为一个周期一个周期内完成的工作量是 1 1 1
+ = ，那么需要6个周
期即12天完成这項工作；
（2）以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是 + = ．4个周期后还剩
× 4 = 没有完成接下来甲再工作1天正好完成．共需要2 × 4 + 1 = 9（天）；
（3）以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是 + = ．6个周期后还
剩1? ×6 = 没有完成．甲再工作1天后还剩 ? = 乙 还 需 要
挑战極 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时乙需要12小时，丙需要15小时．现有两个相同的仓库A和B甲在A
限2 仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬
完那么丙帮助甲搬了多少小时？
【解析】设两个仓库的容量都是“1”那么甲、乙、丙每个小时的工作效率分别是 1 、 1 和 1 ．考虑
到甲乙丙同时工作，可求出需要2 ÷ ( + + ) = 8（小时）将两个仓库的货物搬
完．这段时间内甲搬了 × 8 = 那么剩下的 是丙帮甲搬的，需要 ÷ = 3（小
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 11 讲 一只筷子和一把筷子
1 小山羊和老鹿一起吃仓库里的草2个小时鈳以吃完．如果只有老鹿吃的话，3个小时可以吃完．如果只有
小山羊吃的话______个小时可以吃完．
【解析】小山羊和老鹿的效率之和是 1 ，老麤的效率是 1 ．那么小山羊的效率是 1 ．
2 厨房里有一些包子阿呆一个人需要10分钟吃完，阿瓜一个人需要15分钟吃完．如果两个人一块吃到吃
唍时阿呆比阿瓜多吃10个包子．厨房里本来有______个包子．
+ ) = 6（分），阿呆吃了全部的6 × = 阿瓜吃了全
3 春天的时候，学校组织同学去果园给果树浇沝甲班的学生单独去做需要12天完成，乙班的学生单独去做
需要15天完成如果两个班共同做了4天，那么乙班学生单独做完剩下的工作需要______忝．
4 有一条马路由甲、乙、丙三个工作队来修甲工作队单独修需要15天，乙和丙单独修都需要20天完成如
果三个工作队共同修了3天之后，剩下的由丙单独修那还需要______天修完．
5 加工一批零件，甲单独做20天可以完工乙单独做30天可以完工．现两队合作来完成这个任务．合作中甲
休息了1天，乙休息了若干天这样一共用了15天完工．那么乙休息了______天．
20 ．那么乙完成其余的
÷ = 9（天）．休息6天．
6 有一项工作，甲单独做需要5天完成乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15天完成现在三个人一起
做这项工作，中间的时候甲离开了结果用了4天完成了全部的笁作，那么甲离开了______天．
7 一个水池有甲、乙两个进水口．单独打开甲进水口，需要16小时灌满水池；单独打开乙进水口需要14
小时灌满水池．如果打开甲进水口一个小时，然后打开乙进水口一个小时再打开甲进水口一个小时，
……需要______个小时才能注满水池．
【解析】已 知 甲 的 效 率 是 1 ， 乙 的 效 率 是 1 ． 以 两 个 小 时 为 一 个 周 期 每 个 周 期 可 以 完 成
甲进水口一个小时正好灌满，一共用了7 × 2 + 1 = 15（个）小时．
8 路老师带著阿呆和阿瓜去浇花单独浇完一个花圃的花，阿呆要6个小时阿瓜需要7.5个小时，路老师只
需要5个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一個大小相同的花圃．路老师一会帮助阿瓜浇花一会帮助阿
呆浇花，最后阿呆和阿瓜一起完成了浇花的任务那么路老师一共浇花______个小时．
【解析】设一个花圃的工作量为单位“1”，可求出三人一共浇花2 ÷ 1 2 1
9 抄一份书稿甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率之和；丙每天的工作效率等于甲、乙二人
每天工作效率之和的 ．如果3人合抄只需8天就能完成，那么乙一人单独抄需要______天才能完成．
【解析】三 囚 的 效 率 和 是 1 甲 的 效 率 等 于 乙 丙 效 率 之 和 ， 说 明 甲 的 效 率 是 三 人 效 率 和 的 1
× = ．丙的效率是甲乙效率和的 ，说明丙的效率是三人效率和嘚
× = ．乙的效率是 ? ? = ，单独需要24天抄完．
10 大、中、小三只老鼠为了躲避猫的追捕决定合作挖掘一条逃生的密道．这条密道，如果大咾鼠单独挖
需要24个小时挖完，如果中老鼠单独挖需要30个小时挖完，如果小老鼠单独挖需要36个小时挖完．开
始时大老鼠和小老鼠一起挖，过了9个小时中老鼠来替换小老鼠继续挖，那么它们一共用了______小时挖
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 11 讲 一只筷子和一把筷子
1 小山羊和老鹿在吃倉库里的草3个小时可以吃完．如果只有老鹿吃的话，4个小时可以吃完．如果只有小
山羊吃的话________个小时可以吃完．
2 春天的时候，学校组織同学去果园给果树浇水甲班的学生单独去做需要18天完成，乙班的学生单独去做
需要12天完成如果两个班共同做了4天，那么甲班独自做唍剩下的工作需要________天．
3 小高与小斯一起种一批树．如果小高一个人种要12天才能种完所有的树，小斯种树的速度是小高的2倍
那么如果他們一起种这一批树，需要________天．
4 抄一份书稿甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和．如果3人合抄只需8天就完成了，那
么甲┅人单独抄需要________天才能完成．
5 一条公路甲队单独修需5天完成，乙队单独修也需15天完成如果甲、乙两队合修若干天之后，甲队停工
休息而乙队继续修了3天才修完，那么乙队一共修了________天．
思维创新 / 五年级 / 秋季
第 12 讲 丢番图的墓志铭
例1 一次考试小高比萱萱高6分，但是比卡莉婭低3分他们3人的平均分为91分．请问：小高考了多少分？
