引言：什么是“加法’’?
四则计算中加法是最基本的运算。学生对于加法有丰富的经验和直觉在现实生活中，学生积累了丰富的生活情境来理解加法的意义但到底什么是“加法”?学生是怎样算出结果的?教师的理解与学生朴素的理解有什么差异?下面是一年级认识加法的教学片段：
案例指引一：“我是數鸭子数出来的”
为了认识加法，上课教师在课前有一游戏：左手拿3块糖右手拿2块糖，然后“合”起来让学生猜猜老师手里一共有多尐块糖。学生一起数一数教师强调“合在一起"“一共"等词汇，然后正式上课
第一个情境(用动画演示)：大树上有2只小乌，然后又飞来1只尛鸟现在大树上有几只小鸟?(画面上有3只小鸟)
学生重复该问题，教师强调“两部分合起来”一共有多少就用“加法"计算并列算式为：2+1=3
教師进一步提问：“2"表示什么?“1"表示什么?“3’’表示什么?并进一步抽象出：
已知一部分和另一部分，求整体是多少就用加法计算并用手势進一步强调“部分"与“整体"。
第二个情境(用动画演示)：池塘里有3只鸭子然后又游过来2只鸭子，现在有多少只鸭子?(画面上有5只鸭子)
学生1：洇为本来就是加法
学生2：因为又游来了2只。
学生3：要是用减法就表示2只鸭子游走了。
教师进一步强调求“一共"有多少只就是合并起來(手势)有多少，要用加法计算
师：要是没有这个图，你能知道“2+3"为什么等于5吗?
生4：就好比马路上有车或其他的物体也行。 (教师没有让怹继续说下去)
生5：我就是数鸭子数出来的
师：再想想5可以分成?
在教师的引导下，学生终于知道了“因为5可以分成3和2所以2+3—5"。然后教师讓学生再“这样"说了两遍
第三个情境：教师同时出示两幅图片，左边图片上有1个梨右边图片上有3个梨。
师：看到这幅图能得到哪些數学信息?
生：原先有1个梨，再拿来2个梨现在有3个梨。
教师不得不一再纠正：左边有1个梨右边有3个梨，合起来一共有多少个梨?学生列算式计算教师再追问“1+3”为什么等于4?在教师引导下通过数的组成与分解来说明“1+3”为什么等于4。
一、什么是加法：现实情境与数学化
“加法”不就是求“两部分合起来一共有多少”吗?但为什么在上述教学中当出示情境三时学生说“原先有1个梨，再拿来2个梨现在有3个梨”?學生并没有说“左边有1个梨，右边有3个梨合起来一共有多少个梨”?
美国学者富森①(K．Fuson)指出，正整数加减法的现实意义主要括以下几方面：(1)聚合；(2)比较；(3)增加性变化；(4)减少性变化在现实意义中，这四种情境之间存在重要区别除去现实意义不同以及分别对应于加减这两种鈈同的运算以外，前两者所反映的是两个数量之间的静态关系后两者所涉及的则是同一数量的变化，从而就是一个动态的过程
上述教學过程显然只是关注了“加法”的动态模型，即只是一个量的随时间顺序上的“增加”而忽视了加法的“静态”模型，即“两部分合并起来”尤其当两部分不是同一类事物求一‘和”时，学生理解起来更有困难例如，小红有5个苹果小明有3个梨，他们两人一共有多少個水果?当对两者水果的个数进行比较时学生理解的难度更大。
教学中出现这样的现状(只强调动态模型)与富森的研究结果一致他也发现茬美国，无论就教材还是教师的实际教学工作人们根据什么创造了什么所强调的往往是动态意义，又因为动态意义恰好与实际的计算过程相呼应从而也就十分容易为学生所接受。但恰恰相反理解“运算”，我们必须注意运算的各种丰富的现实情境并进一步去掉“现實情境”抽象出“数学模型”。例如从抽象的数量关系的角度看，上述问题就只涉及三个量可以以其中的任意两个量作为已知量而去求第三个量，如两个数的差是3其中较小的数是4，问另一个数是几?
当然这样的抽象过程应随着学生年龄的增加而逐步实现在小学低年级嘚重要工作是提供大量的、具有丰富意义的现实情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步(到中、高年级)实现“数学化”
二、“我是数鴨子数出来的"
“2+3”为什么等于5 7是因为“5可以分成3和2，或者2可以组成5”?学生在计算时经历怎样的思维过程?
由于成人进行加减计算时几乎成了┅种自动化的行为容易对学生在学习加减计算过程中的思维活动特别是所经历的思维发展过程认识不足，要么忽视其思维过程要么将洎认为的“理由”强加给学生。
为此富森①指出，学生对于加减法的概念结构主要有两种：
单一性概念结构主要指在计算时主要涉及一個计数单位例如，20以内的加减法它的运算对象只有一个计数单位“一”，虽然计算结果出现计数单位“十”但计数单位“十”并没囿作为独立的计数单位再进一步计算。如没有涉及2个“十”或3个“十”的“和”或者是“差”
富森又进一步将“单一性概念结构”细化為三个阶段，或者说三个水平：
第一阶段：加项或和的单一表示
在这一阶段儿童主要借助于“实物”，将“合并”在一起的“实物”从“头”开始数起例如，在本教学过程中为什么是5只鸭子呢?学生就是一只鸭子对应于一个“数”，指着一只鸭子“数”1另一只鸭子“數”2…·一“数”到5，从而得出结果是“5只鸭子”，即学生的回答：“我是数鸭子数出来的”。
第二阶段：简化的计数过程
在这一阶段，兩数相加的和仍是“数”出来的只不过儿童已经有了进一步的发展，他们不再是从“头”数起而是从第一个加数开始，继续数下去唎如，6+3=9儿童的计算过程就是继续：7，89，数三个就结束所以6+3=9。
在“继续数”的过程中儿童也容易出错。例如笔者刚上小学的女儿缯经连续三周出错：6+3=8。我们一直认为是孩子马虎了到第三周时，她仍然计算“6+3”等于8我一问“对吗?”她马上就能正确地改正，真是马虤吗?这一次我问她：为什么你总是6+3=8呢?她伸出小手掰着手指(说一个数就弯下一个手指弯3个手指)说：“妈妈，不就是67，8吗?”
第三阶段：利鼡已知事实计算结果
在这个阶段的主要特点是学生在计算时会利用已知的事实例如学生计算9+7，若其过程为：9+7=(9+1)+6=10+6=16这一计算过程显然直接用箌了9+1=10，10+6=1 6这些“事实”即学生运用“凑整”法进行计算是思维的高级阶段，这也是为什么新课程强调算法多样化并逐步实现最优化的原因所在在汉语中，学生能够很方便地利用“已知事实”例如，
“十一就是十加一”而英语则不具有这样的优势，“11”叫“eleven”是一个噺单词，而不是“ten—one”因而我国小学生的计算速度快于英、美等英语国家。
富森又明确指出大多数学生可以自发地完成由第一阶段向苐二阶段的转变，特别地第一个加数比较大，更有利于转变而在第三个阶段，学生对“数”有更丰富的认识例如，7=6+1=5+2=4+3=8=1=9-2……建立了更多嘚联系从而才能表现出思维的更大灵活性。灵活计算是培养学生“数感”的载体同时，富森又指出这三个阶段的划分不是绝对的，學生处于哪个阶段与其所面对的问题的表述形式以及问题中所包含的数量的大小有关，学生的具体处境也对其处于哪个阶段有影响总の，我们不应该采取绝对的和静止的观点来看待这件事
多单位概念结构主要指进行竖式计算时，运算的对象即计数单位已经不仅仅是单┅的“一”而要涉及多个计数单位，例如“十”“百”一…·
富森①指出，形成多单位概念结构即掌握竖式加减法计算的三个必要前提是：
(1)认识到只有同一数位的数才能直接进行加减；
(2)同一数位上的数的加减与个位数的加减完全相同；
(3)“进位”与“退位”
显然，牢固掌握个位数的加减法是迅速和准确地进行多位数加减法的一个必要前提因此“20以内的加减法”是整个计算教学的核心。借助于汉语的优勢学生对其能够达到自动化的程度，有此“优势”学生再进行多位数的加减法计算时，其速度和正确率远高于英、美等英语国家的水岼
由此可以看出，对加减法的理解的核心仍是对“十进位值制”的理解加减法的核心是相同计数单位“个数”进行“加”或“减”，當“满十”时就要向前一位“进一”
进行加减法的教学，其核心仍然是理解加减法的意义学习加减法并非只是计算速度的快捷，更重偠的：加减法是解决一类问题的重要模型如果教师没有这方面的认识，就不能抓住教学中的生成例如在本案例中，有学生说“就像马蕗上的车或者其他物体”，是否该学生想说的就是“3+2=5”不仅能解决“鸭子有多少只”还可以解决“马路上有多少汽车”或者其他的“求和”问题?由于教师并没有将“加法是解决一类问题的模型”作为一个教学目标，因而老师就没有抓住学生的生成相反，在本书的“引訁”中由于教师认识到“减法是解决一类问题的模型”，因此课堂就能引导学生共同讨论“水果是否等于汽车”，从而使学生体验到“算式真神奇”这样的教学就不单单是计算了，而是对计算意义的深刻理解从而带来学生对数学的积极态度：算式真神奇!
因此，技能敎学的背后是对数学概念的深刻理解!
计算不能仅仅是算出结果更重要的是对各种计算意义的理解，其背后仍有对“十进位值制”的理解除此之外，还能通过计算教学使学生哪些方面获得发展?请看下面的案例
案例指引二：“凑数”游戏①
师：同学们，我们已经认识了100以內的数看，哪些数朋友来了?读一读和它们打个招呼。 (屏幕上出示：3060，7040)
问：来的数有什么特点?
师：看，谁又来了?(屏幕上出示：100)
100可和這些整十数有着亲密的关系它可以和上面的哪两个数做朋友?
师：60十位上的6表示6个十，40十位上的4表示4个十6个十加4个十是10个十，就是100那70囷30呢?
生：7个十加上三个十是10个十，就是100
师小结：整十数只要十位上凑够10就可以凑成100。
1．通过变身的游戏学习凑100的方法
师：100可是个淘气的數它要是化了妆，变个身你还认识它吗?
师：我们一起说：一、二变，它就开始变身了
师：100藏在哪个水果里?同桌商量一下。(学生讨论)
苼：梨里的两个数合起来是100因为个位相加得10，十位相加得99个十加一个十是100，所以藏在梨里面
师：说得太好了!谁说说为什么不选择苹果?
生：苹果上两个数的个位上凑够了一个十，十位上凑了8个十合起来才是90。
师：同意吗?(生点头)
师小结：看来100无论怎么变都要凑够10个十。
师过渡：这么快就被你们认出了100可不服气，又要变身了快把它叫出来。
师：100变成了两个数你知道淘气的小兔藏起了哪个数吗?(生讨論)
生：藏的是27。因为先看个位凑够一个十十位上7和2凑够了9个十，这样合起来就是100
师小结：找到好方法，就能很快找出和73凑100的数
师过渡：100不服气，又变身了
师：方格里都可以填几呢?
生：方格里可以填1和9，2和83和7，4和65和5。
师：思考问题真有顺序通过他的回答，你有什么发现吗?
生：只要个位能凑成10就可以
师过渡：同学们会发现，会思考1。0还想考验大家看，它又变身了
(教师又拿出个大葫芦)
师：這回方格里可以填几?(同桌商量一下)
生；1和8，2和73和6，4和5只要两个数合起来是9就可以。(师带头给学生鼓掌)
师：这些都不是整十数什么样嘚两个数可以凑成100 7
生：个位上凑10，十位上凑9这样的两个数就可以凑成100。
师：既然已经掌握了方法那就做个凑100的游戏，好吗?
师过渡：掌握了新本领快来帮助解决问题。
今天100有个新任务要带着乘客去旅游，你们能不能帮助指挥乘客上车?能上车的就说上不能的就说不上。
2．通过凑60逐步掌握凑整的方法
师：看，小乘客都高兴地出发了小牛和小猪可着急了。快帮它们想想它们应该乘哪辆车?
生：它们应該乘上快乐60这辆车。
生：因为小牛的算式个位上凑够一个十十位上凑够5个十，所以是60
师：都不是整十数，什么样的两个数可以凑成60 7
生：个位上凑10十位上凑5，就可以凑成60
师：真会思考。那就把它们送上快乐60这辆车可这时快乐60想再邀请一些小乘客一同游玩，你们能帮忙设计出这样的车票吗?
(学生们拿出材料设计车票兴趣很浓，有的孩子一连设计了7张车票老师巡视并判阅学生的作品)
追问：设计得这么赽，有什么好方法吗?
生：十位上两个数凑成5个位上两个数凑成10就可以了。
师：谁的方法和他一样?(生纷纷举手)
有了这样的好方法我们设計车票当然又快又好。
请同桌欣赏一下你的车票
小结：小乘客们拿着你们设计的车票上车出发了，你们高兴吗?
3．观察讨论概括出方法
师：(指板书)十位凑9个位凑10就能凑成100，十位凑5个位凑10就能凑成60，什么样的两个数能凑成70 7
生：十位能凑6个位能凑10。
师：什么样的两个数能湊成80?
生：十位能凑成7个十个位能凑成1个十。
师：什么样的两个数能凑成90 7
生：十位上凑成8个位上凑成10。
生：个位凑10十位凑的数比你要湊成的整十数的十位少1。
师小结：先要保证个位上能凑成10还要注意十位上凑的数比我们要凑的整十数的十位少一，少的那个十在哪呢?
师過渡：知道了这个窍门整十数再怎么变身我们都能找到它们。整十数大变身你能找到它们吗?
(屏幕上出示，请学生猜猜是由哪些整十数變的)
师小结：掌握了方法就能很快找到它。
师过渡：整十数无论怎么变身都瞒不过同学们的眼睛这回它们藏到更长的算式里了，你还能找到它们吗?
(屏幕上分别出示以下的问题请学生通过找整十数再计算，感受凑整会使计算变简单)
师：这么复杂的问题你们怎么这么快僦解决了?
生：找到整十数，计算就变简单了
师：(总结下课)同学们，我们刚才一直在做凑数游戏我们凑的是什么样的数?在计算中找到整┿整百，数就能使我们的计算变简单
案例指引三：“100以内的加、减法”练习课：神秘“数部队”的探索
“100 P，．‘内的加、减法”无论是噺授课还是练习课都容易上得枯燥乏味尤其是练习课。如何突破为了练习而练习?如何使计算教学生动有趣并能够渗透数学的思想使得計算教学更厚重一些?
片段一：算一算、找朋友
一、开门见山，引入研究素材
师：同学们学习了100 P，,(内的加减法今天咱们一起上一节练习課!老师请来一些100以内的数朋友跟大家见面，热情点儿!打个招呼!
师：(神秘地)这些数可不是随意请来的里面藏着许多秘密，开动脑筋你就┅定能发现秘密，我就先发现了：1 61 9，35这三个数是好朋友，为什么这样说?猜一猜!
师：不管用加法计算还是减法计算都发现3，1619是一组恏朋友。
这些数中还有这样的好朋友，任务交给你们老师请你们也算一算，找一找
(教师有目的地记录如下结果)
2．通过计算发现这列數的规律
师：通过刚才的计算我们发现，只有一个数是大家都离不开的好朋友!发现是谁了吗? 对每个算式中都有16！
片段二：数形结合、发現“数部队"
师：这几个数也很特别，都能跟16成为好朋友到底藏着什么秘密呢?我们学过好多好多数，在一起构成了庞大的数家族既然来洎数的家族，咱们走进数家族看一看!老师截取了数家族的一段
师：我们学过的100以内的数在这里都能找到自己的位置，怎样帮3找到位置?再幫另外这几个数找到位置?
生：(跑到黑板前用磁珠确定每个数的位置)
生：距离都相等(惊叹：真的哦，距离竟然都相等)
师：知道为什么都跟1 6昰好朋友了吧1 1 6在这列数中起的作用特别大把从3到67这几个数联系在一起，就像一个“小小联络员"这些数呢?整齐地排在一起，组成了一支數的部队每个数呢?就像一个个小士兵!
师：联络员16一清点，我100以内还有个小士兵没来报道呢是谁呢?快帮助找找!
师：这支部队的下一个士兵怎样找?你有想法吗?如果尺子足够长的话，还能延长下去下一个数怎样得到?
小结：加1 6加1 6加1 6就这样加下去，数的队伍越来越壮大……
通过計算我们又发现这些数是跟1 6有关系的一支部队。
片段三：调兵遣将、执行任务有收获
师：还有秘密呢?瞧!任务来了
这支部队要派两个兵詓完成重要任务，命令来了两个数相加和是八十几的就可以派出去。请你当数司令你派哪两个?可以派出去几组?
师：检查：十位相加果嘫是8个“十”，可69加17十位相加才7个是“十”怎么也是八十多?错了吧!
师：找和是八十几的两个数，你有什么好方法吗?
生：个位不进位十位相加满80就可以。
个位满十就进一十位相加满70就可以。
小结：真好你们能用学过的估算知识，很快解决问题
师：算算，和是八十几?86！
师：又来一个任务派两个相减得三十几的数去执行，帮忙找一找两人一组，讨论讨论!找到及时记录派出一组就记录一组。
小结：減法：个位够减看十位就可以了，十位的相减得3就可以 个位不够减要考虑退位，十位相减得4就可以了!
师：算算差是三十几?
师：把这些兵派出去吧，连线
师：教师板书连线，为什么隔一个就差32了呢?
生：挨着的差16隔一个就差两个16，就是32(好!太好了!教师配合学生的讲解忣时从尺子图上撤下一个点，让学生清楚看出3和35之间相差两个1 6距离更“远"了)。
一、创设充满童趣而又有数学意义的情境最重要
计算的练習课怎样才能避免单纯地计算、避免学生感觉枯燥?为此学完人教版二年级下册《100以内的加、减法》单元后，我们尝试设计一节练习课鼡3，1 935，5167，8h399…这一列数作为练习的素材，以求打破常态一道题一道题进行计算的形式引导学生通过计算研究这些数之间的关系，既鞏固算法又能体会到计算在研究问题中的必要性。
第一次的教学设计没有具体的情境就是直接出示几个数，鼓励学生从这些数中通过計算找朋友、发现关系接着是研究估算。然而教学的对象毕竟是七八岁的学生一节课试讲下来，发现了很多问题比如开始学生还兴趣盎然，学着学着就没劲头了。教学之后的总体感觉是“数学味儿有余但趣味性不足”。低年级的学生枯燥的“研究”行不通，要加情境加上什么样的情境呢?购物情境?这节课的很多意图就不好实现，而且感觉牵强当在教室里把数卡片贴在黑板上，站在黑板前苦思冥想时不觉中灵感顿生：“数”活起来了，变成了一个个神奇的小兵、朝我走来多整齐的一支部队啊!为什么不在学生们心中建立一支數的部队呢?这不也是一种情境吗?数列数列，不就是数部队的队列吗?
数学教师尤其是低年级教师习惯创设情境从中我们收获到了甜头。但茬实践中却也常常遇到困惑学生的现实生活毕竟是有局限性的，有时我们的“贴近生活”很难为抽象的数学概念或知识的学习提供基础例如在本课中如何让学生体会到数与计算的关系，感受计算能帮助我们发现秘密呢?如果非要强加上具体的生活情境恐怕就很难上出这浓濃的“数学味儿”来学生对“数之间关系”的把握恐怕会被削弱。而“数部队”的情境更贴切利用生活中部队和数部队的相似性帮助學生来认识数，“数部队”的情境创设为我们打开了一扇窗让我们认识到：数学课的情境创设，不是非创设小动物游戏、购物等“具体苼活情境”可开拓的领域很大。其实这种做法也是有理论依据的：“强调与现实生活的联系是新一轮数学课程改革的一个重要特征但昰，数学是模式的科学而并非对于具体事物或现象的直接研究，从而也就必然在一定程度上包括了对于现实的超越”这进一步提示我們：创设能达成教学目的的有效情境最重要!练习课如此，其他课也如此!
二、计算练习课的教学更利于渗透数形结合的思想
计算是一种最基夲的技能数学的形成和数概念的扩张都离不开计算。能否将计算与探究数之间的关系的秘密以更直观、能看得见的方式呈现给学生?著名數学家华罗庚教授所说的“数缺形时少知觉形缺数时难入微”给了我们启发。将计算、探究模式与数轴结合起来不就能实现我们的目标嗎?这不就是研究数学的重要方法——数形结合吗?
数形结合的思想在这节课发挥了两方面的作用既于关键处帮助了学生思考，又教给了学苼们研究问题的方法一直以来我们崇尚数形结合，但多认为在高年级才好实现经过这次实践使我们看到，低年级同样可以将数与形巧妙结合尤其在数与计算的内容中可以很好地渗透数形结合的思想方法。这不正印证了弗罗登塔尔——在小学数学中越早引进数轴越好的觀点吗?实践中关键要去找“数”与“形”的结合点就如夜赏星空，需要留心才能捕捉到让我们回到课堂上看一看：
在任务的驱动下，駭子们不断地研究不断有发现：相邻两个数相差116；相隔两个数的差是32；除去99，·大一小相加和正好是86……探究中孩子不断惊叹于自己的發现当发现了数部队各数之间的联系后教师追问：“这支部队如果继续壮大下去，后面的数士兵会是几?”老师的提问打开了孩子思维的閘门孩子们想到“加1 6、加1 6、不断地往后加……”。
当在“数家族”的大尺子上找到这些数朋友后有孩子领悟出，3到1919到35，35到67……中间嘚“空”(学生的原话)都是一样的孩子们在研究数学问题时，能主动见数思形、见形思数、数形结合去考虑问题
孩子们的表现告诉我们，练习课学生用学过的知识来解决问题，
老师放手的空间可以更大自由发挥的余地更大。因此有更多的机会可以体现数学的思想方法练习课的教学完全可以更厚重!
三、计算练习课的教学同样可以生动有趣
计算课容易上得枯燥，练习课中为算而算的练习更容易使孩子厌倦这节练习课孩子却兴趣盎然，孩子们热情的表现让我们感到了这节课的生动有趣那我们是通过什么让这节课变得有趣的?
是发现规律!探究发现规律是人的天性。整节课没有一题一题地机械练习或是在情境中解决一个又一个不太相关的问题。在本课中是不断引领孩子去發现规律孩子在发现中体验到了探究的快乐!在“发现秘密”的吸引下，孩子们不再单纯地为“计算”而“计算”计算是工具，是研究問题的工具教师一句：“掌握了更新的计算方法，你们还能发现更多的秘密!”给了孩子更多自信……所以尽管整节课没有小动物做游戏等情境贯穿但孩子们的学习仍兴趣盎然。
778…自习课上，几个做完作业的孩子饶有兴趣地做着数游戏一段时间以来，孩子们和数交上叻好朋友数在他（她)们小脑袋瓜儿中排成了一支支整齐的“部队”，这支部队通过计算可以不断变幻、有序组合一节计算课调动了孩孓们探究的欲望。事实告诉我们，在某些方面由于年龄的原因孩子的幼稚不可避免，但在某些领域他们深刻的思维能力、洞察能力哽不容我们忽视，尤其是我们激发了孩子们研究的欲望之后当数的部队在孩子头脑中逐渐壮大，孩子们大胆地去猜想、验证、发现规律这是孩子在研究数学，研究使孩子快乐!
反思这节课“数部队”的称谓形象亲切，突破了情境创设的局限提高了学生对数与计算的整體认识，数与形巧妙结合帮助学生学习通过努力让“数部队”牢牢立于孩子心中。其实数学课堂教学中还有许多领域可突破，就如全課小结时总结的“数家族还有好多成员还有好多秘密，需要更扎实的本领才会发现这些秘密”。同样数学计算教学中也还有许多待開辟的领域，等待着我们教师去用智慧突破
*矩形模型与长方形的面积
在自然数范围内，当每个加数都相同时为了使加法的计算简便，峩们引入一种新的运算：乘法相同加数的和就等于“一个加数”乘“加数的个数”。因此乘法最基本的意义就是解决“几个几的和”嘚问题。即使这一基本内涵不同的教师设计的教学不同，学生对乘法的理解也是不同的
案例指引一：乘法的初步认识，一种“定义”式的教学
在教学新课之前老师大约花了10分钟要求学生做“100以内"加减法口算题。正如该教师一再强调的：口算对于学习数学非常重要无論是计算题还是解决问题，应该加强口算练习因此，该教师即使在一个新概念的起始课上也仍然花10分钟进行练习
活动1：“情境’’中引入乘法
师：晚上，小明一家在吃苹果他们家有爸爸、妈妈、奶奶和小明。每个人吃两个苹果他们一家吃了多少个苹果?(教师板书：爸爸(下面贴两个苹果的贴画，以下相同)、妈妈、奶奶、小明)
生4：因为有4个2写成4×2=8。
生5：我在外面学过写乘法时，小(的)数写在前面
师：峩再讲一下，这就是今天要学习的……
生6(接着老师的话)：乘法的初步认识
师：(板书：乘法的初步认识，2+2+2+2—8)观察一下每个加数有什么特點?
师：每个加数都相同的加法可以用乘法来计算，可以写成2×4=8“×”叫乘号(并板书)，乘号前、后的数叫因数记住了吗?再来读一读算式。
(学生再重复一遍“定义”并读“算式”但不断有学生读做“2乘以4’’，教师就不断地纠正为“2乘4”在本课中教师共纠正了7次“乘"、“乘以”)
活动2：巩固、强化对“乘法意义’’的理解
要求学生用小棒摆5个小三角形，并算出用了多少根小棒
(还有学生用加法计算)
活动3：應用“乘法’’解决实际问题
1．买花：玫瑰花10元，百合花8元文竹9元，问一共花了多少元?
师：还可以怎么算?能用乘法吗?
生：不能我发现烸个加数都一样时用乘法。
(但教师并没有强化这名学生的“发现”只是问“是这样吗?”，学生一齐回答“是”)
2．买气球：每个气球1元買1 2个气球花多少钱?
教师列出：1+1+…+1=12(元)与12×1=12(元)，让学生体会乘法的必要性
(这就是典型的“教学法的颠倒”：先给出定义，后强调概念产生的必要性没有认知上的冲突，降低了．学生学习的需求与愿望)
案例指引二：乘法的初步认识：一种“概念化”的教学
该教师在教学之前先展示了几组用小棒摆的图形：小鱼、小草、三角形、花朵等，让学生欣赏美丽的图案为学生自己在限定时间内“摆图形”做铺垫。
活動1：“竞赛"激发学习愿望
师：听清要求先在头脑中想好一个图形，在桌子上摆同样的图形给你们1分钟时间，看谁摆的个数最多
(不同學生摆出不同的图形，但仍有个别学生没有按照老师的要求摆同样的图形)
师：摆的是什么图形?用了多少根小棒?列式算一算
活动2：在“不岼衡"中引出“乘法"
师：你们说我来写。其中有一学生回答：摆的是“正方形"用了4+4+4+…(学生边说教师边写，并不断说：你说慢一点我跟不仩了，胳膊都写酸了这名学生在说的过程中自己不好意思地笑着说：“太多了，太多了”)
(其他学生不耐烦了：别说了，太哕嗦了你僦告诉老师有几个“4”)
(但老师还是坚持把16个“4”全加在一起，并一起数是否是16个然后列出式子)
师：这么多的“4"加在一起，太麻烦了刚財有的同学也不耐烦了。在数学学习上我们怕问题、怕麻烦吗?有了问题想办法解决不就行了吗?
师：刚才某某说4加4再加4……把我说糊涂了。但她说了一句话我就明白了她说什么了?
师：在数学上，用乘法就能解决“几个几是多少的问题”引出“乘法”(并板书：16×4)。
(读算式结合具体问题强调每个因数的意义)
活动3：多样化的巩固练习
师：把刚才大家摆的式子改写成乘法算式(事实上，有4名学生一开始直接就用塖法算式写的算式)
(这时有一学生1“质问”老师：我列的算式“9+12"能改写成乘法算式吗?)
生2：从结果上看不能写成9×1 2。
生3：(指着写这个算式的學生)你说说你是怎么摆出来的?
生1：我摆一个“坦克”用1 2根一个“小船"用9根。
生2：你怎么不听老师的呢?老师不是让摆同样的图形吗?你摆的昰同样的图形吗?
(生1心服口服地坐下)
师：认识乘法了谁有问题都可以提。
(学生提出一些问题：4×1 6为什么等于64 7超过10我就不会算了；加法算式嘟能改写成乘法算式吗?)
师：我有问题你们看“×”与“+”，有关系吗?
生：“×’’是“+”的斜着看，都是“变多”
生1：能用加法算的不┅定能用乘法算，但能用乘法算的一定能用加法算(师、生不由自主地为他鼓掌)
(学生还有发现：像加法3+2===2+3一样，乘法也有1×4=4×1；先算乘除后算加减等)
活动4：进一步强化对“乘法"的认识
在演示文稿上打出两列算式：一列是加法一列是乘法，在两列算式中寻找好朋友
其中，有┅式子是“8+8”“8×8”，显然这两个不是“好朋友”老师请学生改一改使它们变成好朋友。
下课后有一学生继续和老师交流：“9+12"能把咜改写尚“惫、、士”，9是3个31 2是4个3，能改写为3×7
一、让学生获得什么样的基本知识?
美国著名教育心理学家加涅在其著作《学习的条件》的修订版中，将学习者习得的结果分为智慧技能、言语信息、认知策略、动作技能、态度这五种结果是经过学习可以习得的，是认知嘚结果是通过教学能够改变的。
因此我们在谈论“双基”时并不是指客观存在的基本知识和基本技能，而是指学生经过学习能够习得嘚知识与技能由上述两个教学案例可以看出，同样是“认识乘法”学生的理解水平是不一样的。
基于加涅对学习结果的分析以及安德森对认知目标的分类我们将学生对基本知识的理解划分为以下四种水平：
学生的学习过程不同，将直接导致学生对“客观的知识”(例如数学的定义、概念以及概念的性质、法则等)达到不同水平的理解。
在案例1中“乘法”的引入是没有“过程”(或者是“假过程”)的，学苼经历的“过程”是简单模仿与记忆学生所获得的关于“乘法”的知识是教师“告之”的。
例如：通过例子“一家有4口人每人吃2个苹果，一共吃了几个苹果?”教师要求学生观察“2+2+2+2”有什么特点进而得出结论：加法算式中每个加数都相同，就可以用乘法来表示：2×4=8
一方面，这个例子非常简单学生没有体会到“乘法”的必要性；另一方面，关于“乘法”的意义是教师告诉学生的(虽然有观察、发现但這是形式上的观察与发现)，学生就得记住这个“事实”：相同加数相加可以用乘法为了强化这个“事实”，教师就需要举大量的例子：買花、买气球、分糖等让学生辨认能否用乘法去计算。这时学生对“乘法”的理解只处于“事实性水平”(一个典型现象是教师五、六次哋纠正“乘”“乘以”)
在案例2中，教师通过自己设计的活动让学生充分感受、体会到引入“乘法”的必要性让学生通过活动直观感知、体会相同加数连加，一个一个地写、算太麻烦了
在这个活动中，教师有意识的话语与动作起到非常重要的作用：“慢点说我写得跟鈈上了”“你们一起说，要不我听不清了”“我的胳膊都写酸了(并做出动作)”迫使学生自己去“发现”：不用说几加几再加几了，太哕嗦了你就说有几个“4”吧!学生自己创造了一种新的运算：“几个几相加用乘法”，教师很自然地引入新的乘法运算与符号表示
对乘法夲质的揭示，不是教师告诉学生的而是学生自己产生的这时学生对“乘法”的理解达到了“概念性水平”，是对概念本质的把握而这種理解与把握不是教师“告之”的，而是在冲突、心理不舒服(“太哕嗦了”)等状态下迫切需要产生一种新的运算方法的情况下引入的。
嘫后教师引导学生从“符号”上直观比较、综合分析“乘法”与“加法”有什么关系有的学生的“创造性”再一次显示出来：乘号就是加号斜着看，它们有关系都是“变多了”。甚至有学生说：能用乘法算的一定能用加法算就是太麻烦；用加法算的不一定能用乘法算，加数必须一样才能用乘法这时这些学生对乘法的理解达到了“方法性水平”，能够沟通新学习的知识与已经会了的知识之间的本质联系
课后的那名认为“9+12”能够改写成乘法的学生，他对乘法的理解就已经达到“主体性水平”他是在充分经历教师所设计的一系列活动後，在对“乘法”有了本质的认识并对“乘法”与“加法”的逻辑关系有深刻认识的基础上，创造性地解决了这一难题他的认知过程鈈亚于解决“歌德巴赫猜想”，是没有教师的引导而自主地创造由于小学生的经验有限，已有的知识、认知、思维发展水平还比较低學生对知识的理解能够达到“主体性水平”比较困难。
显然学生对知识的理解能够达到哪种水平与学生自身的天赋有密切的关系。在小學数学知识的教学中学生对知识的理解达到“方法性水平”“主体性水平”比较困难，但试图让学生达到更高水平的理解是数学教学的目标为此，教师需要设计有意义、有价值的“活动”让学生在“活动”中进行主动积极的思考，逐步掌握思考与解决问题的方法在思考的过程中有体验、有感悟、有创造，从而达到对知识的更高水平的理解
二、设计“有过程"的教学，促进学生高水平地理解
数学是系統化了的常识(弗罗登塔尔语)小学数学中很多概念所蕴涵的数学思想是朴素的，基本上都来源于学生的生活经验有丰富的“生活概念”。理论上说学生对这些朴素思想的认识应该很容易，但为什么学生学习“课本上的数学”就有很多困难呢?
一方面这是由数学的“学科定義”导致的数学的、学科定义高度概括、抽象，不符合小学生的思维水平与认知特点；．更主要的是由于教师的不恰当的教学设计(例如沒有“过程”的教学不顾及学生已有“经验”和认知发展水平的教学)导致的。
教师“不恰当的教学设计”的根源主要有两点：一是是否縋问学科的本质二是是否真的了解学生。前者我们强调教师追问“3w”即：为什么(why)学习这些内容?所学习内容的核心概念是什么(What)?所学习的內容怎么应用即与已经会了的知识之间有什么联系(How)?了解学生主要包括：学生的生活概念是什么?学生的思维水平与认知特点是什么?学生已有嘚知识储备是什么?当教师对这两个“根源”有深入的思考后就能设计“有过程”的教学。
学生经历不同的“认知过程”对知识的理解就會达到不同的水平。对教师而言根据学生的认知过程来设计“有过程”的教学，代表着他对学生能够获得不同水平的期望
在经过大量敎学案例分析以及查阅相关认知心理学的文献资料后，我们得出下述结论：
生经历不同的“认知过程”就能对知识达到不同的理解水平具体关系见下表。
上表中的“※’’表示学生所达到的理解水平需要的“过程”例如学生达到“事实性水平”靠的是“模仿与辨别”，學生达到“概念性水平”可能通过“模仿与辨别”但更根本的是“归纳与抽象”，没有“归纳抽象”学生对知识的理解不可能达到“概念水平”其余水平的达成与此类同，是逐级递增的达到高水平的理解可能会经历前一水平的“过程”，但更主要的是本水平所必然经曆的“过程”
需要指出的是，认知过程的四种方式从认知的深度上说有不同水平之分但它们之间有时也相互交织，即在实际的认知过程中这种划分不是绝对的例如“综合与应用”过程中也必然伴随着“猜想与创造”。
在教学实践中我们深刻感受到，数学定义≠数学概念当我们的教学是教“定义”的教学时，其教学过程必然是模仿、记忆与强化训练只有学生经历知识产生的必要性，充分感知、体驗知识产生的过程才能抽象概括把握知识的本质，把握知识之间的本质联系进而创造性地应用知识，创造性地解决问题这时，学生對知识的理解才能逐步达到“概念性水平”“方法性水平”与“主体性水平”否则学生对知识的理解可能只处于“事实性”水平。
“双基”扎实应该建立在学生对知识的高水平理解上而不是“事实性水平”。仅仅处于“事实性水平”的理解必然要经过大量的训练才能進行“问题解决”。如果不对学生的理解水平进行分析并追求高水平的理解我们的“双基”扎实必然是模仿与训练的结果，耗费师生的時间、精力更可怕的是“厌学情绪”的增长。这样的“双基”扎实是以牺牲学生对数学和数学学习的积极情感与态度为代价的事实水岼的扎实“双基”我们宁可不要!
乘法的初步认识除了认识“乘法是特殊的加法”外，乘法还有其他的现实模型教学中是否让学生理解其怹的模型?如何理解现在为什么不区分“乘数”与“被乘数”?
案例指引三：乘法意义的练习课，对多种乘法模型的再认识
师：最近我们认识叻乘法也学习了乘法口诀。今天咱们来上一节练习课口算，举手抢答
生：3×7—21，口诀：三七二十一
生：8×5—40，口诀：五八四十
苼：5 × z1=20，口诀：四五二十
生：6×7—42，口诀：六七四十二
生：6+6+6—1 8，口诀：三六十八
师：三个六相加用乘法，真好!
生：5个2相加5 × 2—10，ロ诀：二五一十一
师：你的眼力真好，一下就看出了是5个2
师：你真会学习，刚才的好办法你一下就学会了下一个有点难，谁愿意当尛老师?
师：你真是个优秀的小老师讲得特别明白。
评析：乘法的练习课从口算入手轻松自然。而口算中巧妙地隐藏着乘法意义的简单應用为乘法意义的理解埋下了伏笔。
二、乘法意义的练习及延伸
(一)乘法意义的练习
师：“3×4”有话要跟大家说，它想说什么呢?“我跟剛才的口算不一样我是来请你们帮忙的。圣诞节快到了我想开大型的化妆舞会，想把自己打扮打扮变个样子。你们能帮我设计一下嗎?”样子变了但还得是3×4自己。同桌两个人可以商量商量
师：可以吗?这是几个几?
师：咱们先变到这里。得到咱们的帮助3×4现在已经佷开心了。我们把它变成了这么多不同的样子有连加，还有乘加、乘减但不管怎么变，什么都是一样的?
生：得数都一样都是1 2。
师：還有什么也是一样的?
生：算式的意思都是一样的
师：你总结得真好，这些算式的样子不一样但表示的意义都是一样的，都表示3个4或4个33×4可以变成不同的算式，变成图形可以吗?(3×4变成了12个淘气的小格子)你还能找到3个4和4个3吗
生：一行有4个格子，有这样的3行就是3个4。
师：他是横着观察的还可以怎么观察?
生：还可以竖着观察。每列有3个有这样的4列，也就是4个3
师：3×4这回变成了平面图形，那它变成立體图形可以吗?你还能找到3个4和4个3吗?它们藏到哪儿去了?谁愿意到前边来给大家指一指?
生：前边有1个4中间有一个，后边还有一个
师：你看慬了吗?他想竖着切一下，这里有1个4里面有一个，最后面还有1个4是这样的吗?(课件演示)那4个3藏到哪儿去了?
生：先这样切，再这样切这是1個3，这里有1个这边还有1个，里头还有1个
师：是这样吗?(课件演示)
师：3×4太开心了，我们把它变成了算式、平面图形、立体图形它受了峩们的启发，也有灵感了你快看看它把自己变成什么啦?
师：变成这样可以吗?谁看懂了给大家解释解释?
生：每条线段是3，有这样的4条也僦是4个3。
师：每份是3有这样的3份，就是4个3受了刚才的启发，你有灵感了吗?还是变成线段还可以怎么变?
生：变成每份是4，有这样的3份
师：是这个意思吗?(课件演示)
师：3×4的化妆舞会一定会开得非常成功。它可以变成算式变成图形，还可以变成线段但是不管怎么变，伱有什么发现?
生：都是3个4或4个3
师：你真善于总结，3×4不管变成什么样子但是它的意义没有变，表示的意义都是3个4或4个3
评析：通过给3×4．变身，巧妙地将乘法与平面图形结合与立体图形结合，与线段图结合在数形结合中加深了对乘法意义的理解。
(二)乘法意义的延伸
师：沿着3×4的化妆舞会，我们再接着研究研究好吗?
师：这个图表示几个几?
师：如果一共有10份呢?
生：有几条线段就有几个3。
师：说得真恏有这样的几份就是几个3。那我现在有这样的n份?
师：哇你们真了不起!n个3，用乘法算式应该怎样表示呢?
师：那李老师想采访一个同学，3×n中的3表示什么?n表示什么?
生：3表示每段是3n表示有这样的n段。
师：你们学得太好了讲得特别明白。从你们的眼睛中我看出你们对乘法意义有了更深的理解。
评析：在这一环节中学生认识到“有这样相同的几份就是几个几，有这样的n份就是n个几，”对乘法意义的认識有了突破同时对极限思想进行了渗透。
三、利用乘法意义比大小
师：下面咱们来轻松一下玩个游戏好吗?
师：想玩儿的同学快坐好，偠想赢就得先听懂游戏的规则李老师是红队，你们是蓝队游戏的名字叫比大小，我先出牌你们跟我比，如果比我大就大声地喊大，如果比我小就喊小。听懂了吗?看看谁的反应最快!
生：您是3个7我们是4个7，4个7比3个7大
师：你真会比较，都是7一看个数就能比了。下┅个!
生：您是3个4我们是3个3，我们就小
师：对呀，3个3当然比3个4小啦!
师：看来还有好办法?你说!
生：4+4表示2个44×4表示4个4，4个4比2个4大
师：不鼡算，直接用乘法的意义比更快!
师：谁来说理由?知道99×99得多少吗?
师：不知道怎么还能比呀?有什么好办法吗?
师：还是用了乘法的意义，99+99就昰2个9999×99就是99个99，99个99当然要比2个99大得多大了多少? 99个99比2个99大了多少?
师：你们真了不起，老师都给你们鼓掌了还有最后一个!
师：到底怎么樣?同桌两个人可以商量商量。
师：谁来说说怎么个不一定?
生：如果A是1，就是您大；如果A是2就是一样大；如果A是3，就是我们大；如果是後面的数就都是我们大!(全班响起掌声)
师：你的发言太精彩啦!为什么会是这样呢?再来研究研究。如果A是1这就是?
师：2个1大于1个1，这个时候僦是李老师大如果A是2呢?这就是?
齐：2个2。2×2也是2个2
师：所以我们就一样大。如果A是3或者是更大，李老师都表示2个A而你们是A个A，所以數越大你们就越大。太神奇了有的时候数特别大，根本就算不出来但你们还能比，怎么比的?
师：没有数了都变成字母了，还能比我们用的依然还是乘法的意义。
评析：游戏是有层次的开始的比较可用乘法的意义，也可以不用而到了后边，学生根本计算不出结果就只能依靠乘法意义去比较，让学生深刻地感受到了乘法意义的重要作用
四、利用乘法意义解决问题
师：这个游戏玩得开心吗?
师：李老师也很开心，所以特意为你们带来了一份礼物快看看，是什么?
师：我一共带来了多少块巧克力?数一数算一算，可以跟你的同桌商量商量
生1：我看一条边上有7块，3×7—21再减去3，一共有18块
师：他是把几个看成一份了?
齐：角上的三个重复数了!
师：是这个意思吗?(课件演示)
师：那也就是7×3再减3。还有其他办法你来说!
生2：我先不看角上的，那每条边上就有5个5×3=1 5，再加3
师：他是把几个看成一份了?
师：為什么还要再加3？
师：是这个意思吗?3个5再加3(课件演示)
生：老师，我还有办法用3×6就可以了。
师：谁听懂他的意思了?他是把几个看成一份了?
师：他的办法真是太妙了把这样的6个看成一份，就正好有这样的3份(全班响起了热烈的掌声)
师：同样都是在算一共有多少块巧克力，观察的角度不同我们找到的每份的数不一样，所以使用的方法也不同这里还有两盒巧克力，选一盒你喜欢的算一算共有多少块?
评析：学生从不同的角度去观察，采用的解决问题的策略是不同的这正体现了学生对乘法意义的个性化理解及灵活应用。
师：这节课我们學习了什么?
师：我们练习了什么内容?
师：那你感觉乘法的意义怎么样?
生1：很神奇能帮我们解决很多问题。
生2：感觉乘法的意义作用很大
师：没错，乘法的意义作用很大学好乘法的意义，在将来的学习中你会发现乘法的意义还有更大的作用呢。
一、乘法的多种现实情境模型
乘法意义的练习课该怎样上才能不是简单地重复不是机械地做题呢?“练习”就意味着要让学生实现认识上的突破。乘法意义是抽潒的怎样让学生深刻地理解这一内容?到底什么是乘法?乘法有哪些情境模型?
弗罗登塔尔①、吉尔德·维格诺德、格里尔等都对乘法的现实模型进行了研究，概括说来，乘法主要有以下几种现实情境模型：
(1)等量组的聚集。这一模型就相当于我们经常说的“连加”或者“几个几嘚和”在该模型下，乘数与被乘数的地位不完全对称因而就有两种不同的逆运算：已知总数与小组数求每个小组中元素的个数，即“等分除”；已知总数与每个小组中元素的个数求小组数也即“包含除”。该模型也经常用语言表述为“每……共……”的方式例如，烸组有8人问4组共有多少人。“分”是理解乘法的重要基础
(2)倍数问题。例如某种饮料中，水的含量是牛奶的4倍现在有牛奶4千克，问需要加多少千克的水?
(3)配对问题例如，不同上衣有3件裤子有4条，问能搭配出多少套衣服?
(4)矩形模型例如，长方形的长是5厘米宽是3厘米，则长方形的面积就是15平方厘米即长方形可以被15个单位(每排5个，有这样的3排)小正方形覆盖尤其矩形模型，可以进一步地推广来理解分數乘法例如， × 为什么等于 ?就是将一个单位正方形做如下分割：(20个小长方形长为1／4，宽为1／5)一个小长方形的面积是 × 它的面积占整個正方形面积的 ，因此= × =
(需要把该图的长平均分为4份，宽平均分为5份)
在矩形模型中被乘数与乘数的地位是完全对称的，如果将乘法的其他模型也能抽象为矩形模型则没有必要区分乘数与被乘数。矩形模型有助于理解乘法的意义但不利于乘法计算。
(5)映射模型例如，┅只猫有4只爪子5只猫有多少只爪子?即一只猫对应着4只爪子，N只猫就对应着4N只爪子
在上述这五种模型中，最基本的是第一种模型其他幾个模型都可以转化为第一个模型。只不过人们根据什么创造了什么对于问题有不同的建构方式
二、乘法的练习课就是要让学生认识乘法有不同模型但其意义相同
在本课中，“3×4”的大型化妆舞会为学生进一步理解乘法，体会乘法的多个模型提供了有趣的情境首先是“等量组的聚集’’就有多个模型(抽象的算式)：它可以变成3+3+3+3或4+4+4，有的同学建议它变成4×4—4或4×2+4还有的说把它设计成3×6—3-3……学生的方案佷多很多，从这些方案中可以看出他们知道乘法与加法的联系知道3×4就表示3个4或4个3。
其次接着变换出“矩形模型”“长方体模型”甚臸是“线段图模型”：“淘气的3×4变成了1
2个方格子，可以吗?”打开了学生的视野3×4不仅可以变成连加、乘加、乘减算式，还可以变成平媔图形接着，3×4又变成了立体图形又变成了线段图。但不管怎么变3×4表示的意义都是3个4或4个3。在这一环节中数与形实现了完美的結合，乘法意义的几个模型一一体现活泼的教学情境中不失浓浓的数学味道，学生从不同的角度充分认识了乘法
沿着3×4的化妆舞会继續研究，3×4可以表示4个3再添一份就是5个3，再添一份就是6个3……如果有这样的100份、1000份、10000份呢?学生脱口而出：有这样的几份就是几个3。这昰学生对乘法意义认识的突破当教师出示有这样的N份时，学生轻松地说出就是N个3这是对乘法意义的高度概括，学生的认识再一次实现叻突破教师的设计是层层深入的，学生沿着教师指引的方向在朝着更深、更远的层次迈进。
三、问题解决策略的多样化
同样是求一盒巧克力有多少块这个说用3个7再减3，那个说3个5再加3也行还有同学说3个6也行。从不同的解决问题策略中可以看出学生对乘法意义的个性囮理解，看出学生可以对乘法意义进行灵活的应用其核心仍然是对乘法意义的理解。
案例指引四：他们为什么这样错了①
事件回放：学苼的错误为什么“五花八门"
今天学习的是两、三位数乘一位数的进位乘法因为有了昨天学习不进位乘法的基础，在课上我出示例题引导學生列出算式后让学生自己试着解答。结果我发现出现了以下几种错误：
我分析总结学生有以下几种错误：
1．个位进上的1和十位加后为積的十位上的数如①；
2．个位上进上的1与十位上的1相加后与2相乘，如②；
3．十位上的1既不与2相乘也不加上进上的1如③；
4．进上的1先与2加再与1乘，如④；
学生怎么会有这些错误呢我真有些摸不清头脑。于是我赶紧在黑板上板书算式重新讲解在我的反复强调下学生在进荇练习时出现的错误明显减少了，可是学生对第②种错误依然很执著还有部分学生错。
到底是什么原因呢?我找来了出现错误的5个学生姠他们了解情况。其中有两个学生是这样想的：在计算加法时可以先加上进上的1，然后再加上另一个加数十位上的数另一个学生是这樣想的：个位相乘满十向十位进1，那么十位上就应该是2了所以应该用2乘2个十。还有一个学生说不清自己是怎么想的
我不断反思，通过與学生的交流我发现造成这种错误的其中一个原因就是学生受到加法的影响。但是还有更主要的一个原因就是我忽视了这部分的教学峩当时在备课时认为由于有不进位乘法的基础，所以我以为学生应该很好理解进位乘法所以课上我没有把重点放在理解算理而是把重点放在算法上，因此导致学生的错误其实在不进位乘法时，我也忽视了对算理的理解其实在乘法计算教学时，我认为算理的本质是：位徝制、十进制具体的算法就是：相同数位对齐，从个位乘起用一位数分别与两位数各个数位上的数相乘，哪一位满十就向前一位进位计算前一位时应该先乘后加。
如果我在这部分教学时这样进行教学效果应该比现在好。如学习18×2=我可以制作这样的课件，让学生根據课件的演示列出算式(可以先出错然后再进行这样的讨论与分析，教学效果会更好)
这样的课件演示能使学生很好地理解算理：2分别与個位上的8相乘，再与十位上的1相乘最后再相加，就让学生很好地理解了积十位上的3是怎么来的了看来学生出现的这些错误与我对学生嘚分析有关，我高估了学生的能力同样与我对计算这部分教学的认识有关，在以往的计算教学时我更多的是侧重算法的指导而忽视学苼对算理的理解。在我的意识中总认为即使不理解算理学生也会算但是这样学生知识的获得依然是死记硬背得到的，他们没有体验到知識的形成过程对学生能力的培养是不利。而且他们也不能很好地应用知识更不能举一反三。在今后的教学中我一定要注意计算教学中學生对算理的理解
确实，学生理解上的偏差或者常出现的错误的真正根源在于教学即教师对教学难点的分析以及突破难点的方法：突破方法是正面地讲解再训练还是让学生掉进“陷阱”然后再从陷阱中爬出来?
培养学生的估算意识、估算能力以及灵活地选择合理的算法解決问题是数学新课程标准提出的重要目标之一，落实在教学中表现为比较重视“估算”教学然而，很多一线教师却“害怕”估算教学瑺常在教学中遇到这样的尴尬(尤其在低年级)：“老师，学估算没什么用处只是您让我们估我们就估，只在课堂上有用”“课堂上我在带著孩子‘走教案’让学生做什么学生就做什么，没有体验与参与”“那么多的估算方法到底哪个对啊?”等。感觉“估算”教学与我们嘚美好期望相去甚远!是教师的教学有问题?是新课程标准提出的要求太高?亦或估算就是“只在课堂上有用”?
看了特级教师吴正宪的估算教学後相信你对估算会有新的认识。
案例指引：估算的教学实录
师：同学们这节课我们继续来研究估算，有关估算的知识我们从二年级的時候就接触过一些对吗?
师：关于估算，在学习过程中你碰到过什么困难或者你还有什么问题想[口1吴老师?
生1：为什么要估算呢?
生2：估算對我们有什么好处?
师：也就是估算到底有什么用。其他同学还有问题吗?
生：估算是什么人发明创造的?
生：估算可以有什么方法如果可以囿方法的话，能把它们分类吗?
师：大家提了这么多、这么好的问题北京有一个学生曾经向吴老师提过这样的问题：吴老师，在什么情况丅我们就要估一估?在什么情况下我们就可以精确计算啊?同学们你们遇到过这样的问题吗?
师：今天我们就带着这些问题一起来研究。请同學们看大屏幕
二、在经验积累中引入估算
(屏幕出示：青青同学和妈妈一起到超市购物的情景。 “我是青青我和妈妈去超市了，欢迎大镓和我们一起去”)
师：同学们，你们一定也有过和爸爸妈妈一起购物的经历青青和妈妈购了五种商品(屏幕出示五种商品及其价格：48元、1 6元、23元、69元、31元)。妈妈的问题是带200元钱够不够?(屏幕出现收银员正将商品价格输入计算机的画面)收银员的问题是怎样把这些数据输入计算機中我想让同学们讨论的问题是“在下列哪种情况下，使用估算比精确计算更有意义?”独立思考做判断。
1．当青青想确认200元钱是不是夠用时；
2．当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；
3．当青青被告知应付多少钱时
(生用手势表明自己的观点。)
多数同学选择1有两个哃学选择3。
师：请问这两位同学假如你买东西的时候花了1 68元。收银员估了估告诉你大约就交200元吧你交吗?
(两名同学不好意思地笑了：不茭)
师：当青青被告诉交多少钱时，你们认为应该精确计算还是估算呢?
生：交钱的时候花多少就得交多少，不多也不少还是得精确算出來。
师：对啊当售货员告诉顾客多少钱时一定是个很精确的数据。而当妈妈要确认带200元够不够时采用估一估的方法，知道五种商品大約花了多少钱就可以了同学们，是这样吗?
三、在探究估算的方法中体验估算方法的多样性
师：曹冲称象的故事大家一定都熟悉吧?(屏幕絀示曹冲称象的故事情境)当这两幅画面出现时，老师提问：你发现了什么?
生：大象和石头同样重
师：你从画面上怎么知道的呢?
生：大象囷石头放在船上时，标记与水面的位置是一样的
师：既然相等z我们称称石头有多重，不就可以知道大象的质量了吗?
(屏幕上出现曹冲称石頭的画面并出示六次称得的数据：328，346307，377398，352)
师：你能估计一下这头大象有多重吗?怎样估计出这头大象的质量?有没有同学愿意到前面来把你估的结果或算的过程写出来?其他同学在练习本上简单记录出你算的过程。
(生开始估算师巡视)
在学生独立思考的基础上，引导学生茭流总结各种估算方法的不同特点。
师：(指着黑板上的答案)我们一起来看一看这几个同学是怎么算的(指着第1个同学的答案：300×6—1 800)这是誰写的?能把你刚才估的方法解答一下吗?
生：我觉得可以把每次石头的重量看成300千克。
师：本来都是300多的他都看成是300整，可以吗?
师：明明烸次称的结果都是三百多而这位同学却把这6个数都看成比它们小的3，这种往小里估的方法你们给这种估法起个名字吧。
师顺势说：小估就小估呗!我们把这个同学的估算方法叫做“小估”
(教师用红色的粉笔在该算式上面标记“小估")
几位学生的板演是无序的，教师在帮助提炼总结中却有顺序教师跃过其他算式，指着黑板右下角的算式提问：
400×6=2400这是谁写的?你把这些数——
生：往大里估 ’
师：你把这些数嘟看成多少了?
生：我把它们都看成了400。一共有6个就是400×6得到2 400。
师：他是往大处估了也可以。(未等老师说完众声已喊出：大估)
师：我們来看这是谁估的?人家要么大估，要么小估你又小估又大估，什么意思?
师：好我们就叫它“大小估"。
师： (指着350×6=2 100)这是谁写的?你是怎么想的?解答一下你的算法
生：我把每一个石头的质量看成350。
师：你为什么把这6个数都看成350呢?
生：328346，307比350小但它们接近350，377398，352虽然都比350大但也接近它。我就取了一个中间的整十数
师：刚才同学们有大估的，有小估的你既不往大估也不往小估……
生：嗯，我是近估的紦这些数全都看成离它最近的一个整十数，然后再加起来
师：你把328看做了330，把352看做了3 50是吗?也就是接近那个数的整十数，对吧?
(教师面向铨班：大家有问题吗?)
师：我可有个问题要问这位同学你为什么把328看作330，而不看作320；把352看作350而不看作360呢?在你的，心目中一定已经悄悄地囿了一把尺子对吗?
生：328的个位上是8了，我就往前升一个352个位是2，我就不要了
师：那么如果遇到个位上是6呢?7，89呢?
师：如果是0，12，34呢?
师：看来，其实在同学们心中已悄悄有了标准就是遇到个位上是0，12，34时，就——(众生：下去)遇到个位上是56，78，9时就——(眾生：向前升一个)
师：在刚才估算的时候，其实同学们运用了一个很好的方法你们知道是什么吗?
师：对，同学们说的是近估就是更接菦整十数的方法估。在估的过程中用到了四舍五入的方法以后我们还要学习它。
师：(指着300×7)为什么不是300×6而是300×7呢?明明是6个数，你怎麼整出来7个数呢?你是怎么想的?
生：表面上看有6个数但是我又把每个数取走300后，剩余的凑在了一起像28，4677…凑合凑合又是一个300，这样大約是7个300了
生：我想它一定比6个300更接近准确值吧!
(教师带头鼓起掌。掌声、笑声响起同学们投去羡慕的目光)
师：噢，把多余的数凑在一起差不多又是1个300了，再乘以7就是2 100在估算的过程中你又凑一凑，又调一调因此得出了与众不同的7个300。这个估法该叫什么啊?
师：凑估有噵理!在凑的过程当中，还有了一些调整一生喊：调估。
师：也有道理!这一凑一调就使估的结果更接近准确值看来这个与众不同的方法還很重要啊!
(“凑调估"三个字跃然在黑板上。教师用红色的粉笔在该算式旁边画了个“☆”)
师：这是谁写的?说说你是怎么算的?
生：这6个数一個一个加起来最后得2108千克。
师：你为什么这样算呢?
生：这样算比他们算得要准确
师：同学们有什么想法吗?
生1：这样计算虽然准确，但昰算得太慢了
生2：这样计算虽然准确，但是太麻烦这里只需知道大象大约有多重就可以了，精确计算没必要
(师转身向该生：你听了哃学们的发言，有什么想法?)
生：我还是觉得我的计算比他们的准确
师：好，看来你还是坚持自己的想法没关系，到底是估算好?还是准確计算好呢?我们慢慢体会
师：刚才上课时候大家问估算有什么方法啊，怎么估啊我们一起来总结一下。
(黑板上学生的算式是无序的泹是教师手指的红色粉笔字却提炼出了基本方法。随着教鞭的移动学生有序地读出：小估、大估中估、大小估、四上五下估、凑调估)
师：你看估算的方法有好多啊!但是，还有的同学是精确计算尽管慢了，可也算完了其实我们就要慢慢地积累经验。在学习估算的过程当Φ会碰到很多的情况，到底怎样估更好?我认为同学们的方法都蛮好的
师：在你们估的时候，电脑也悄悄地计算出来了(屏幕出示两个答案：①20 108千克 ②2 108千克)，你们觉得哪个答案有可能对?用手势表决吧!你们都把第一个答案淘汰了为什么啊？
生：不可能大象根本不可能是20 108芉克。
师：大象不可能这么重你从生活经验出发考虑，可以有不同的思路吗?
生：我们估算的结果是两千多，可是怎么会弄出一个两万哆?
师：你是利用同学们估的结果来判断的你能借助他人的经验来思考问题，好还有不同想法吗?
生：我是大估的，大估才估成了2 400怎么鈳能比大估的结果还大呢，不可能
师：听出点儿什么了吗?这个同学说，大估了才是2 4006个400最多也就到哪一位上?
生：千位，不可能到万位
師：你们听懂了没有?这位同学是从大估的结果的最高位是千位来判断，不可能是五位数
师：我觉得这几个同学的发言都挺有道理的。有嘚同学从实际出发大象不可能那么重；有的同学借助大家估算的经验；还有的同学从估算的角度去思考问题也蛮好的。估算又一次帮助峩们进行了选择
师：我们继续研究，我告诉大家精确值是2 108千克。同学们看着这个精确计算的结果，再看看同学们估的结果：
24002 100，2 0801 800…此时此刻，你想对刚才自己的估算结果作一点评价或思考吗?
生：我估的是1 800但是我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是3 98我把它估荿300了，与实际结果差的就远些了现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了
师：你很善于思考，其实你估的结果已经可以了但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整老师为你这种精神而感动。
生：我估的是2 110我觉得我估的还挺准的，因为和答案比较接近
生：我是四下五上估的。
师：哎呀这是经验之谈啊。大估你在哪呢?你一定有感而发说说看。
生：我感觉我估大了我把307这样的数看成400了，估得有些远了如果缩小一点，可能就估得准一点我很佩服“凑调估"，人家在估算中还能调整调整这样估比较接近准确值。
(教师又┅次带头鼓起掌全班掌声响起来……)
师：其实你已经很不错了，你不仅主动反思自己的结果离得远了点更让我感动的是你还在反思中發自内心地去欣赏别人，发现同学们好的方法这样学习进步会更快。
师：好了同学们，你们做出了很好的自我评价那么，用精算的那两个同学你们算对了吗?
生1：我觉得这些数相加的确不是很好算再说求大象的体重，没有必要精算我那样一个数一个数地算太麻烦了，太慢了这时用估算还是比我的方法好。
师：你发现问你大象大概重多少不需要精算估算就得了呗，是吧?(生1点头)感谢你(师对学生鞠躬表示感谢台下听课教师顿时掌声雷鸣)终于在讨论交流中，接受了估算的方法
生2：我还是觉得精算好。
师：好你继续精算吧。
四、在問题解决中感悟、体验估算的价值
1．在问题解决中体会估算的价值
师：学习估算又什么用处呢?我们带着问题继续研究
(屏幕出示问题：350名哃学要外出参观，有7辆车每辆车5 6个座位，估一估够不够坐?)拿出笔来在你的草稿纸上写一写估一估7辆车到底够不够呢?
(师巡视并与个别学苼交流)
师：我先问够还是不够?
师：太够了是什么意思?你是怎么估的?
生：我是把56个座位看成50个，50×7=350350=350，看50个座位都够了实际每辆车有56个座位，所以太够了
师：噢，噢原来太够了是这样的意思。
(教师不住地点头启发同学理解太够了的意思)
生：我是大估的。把56看成了60六七四十二，60×7=420所以够用。
师：你用了一个乘法口诀把口算也用上了，这样帮你估得更快
生：我觉得我可以把56看成5 5，然后55再乘以7
师：好。你们既然有这么多的估算方法那么对于这道题目，你们认为小估好一点还是大估好一点? (生手势选择小估)为什么遇到这种题要小估呢?有什么经验吗?
生：因为小估成50个座位都够了，按实际的56来计算就更够了
师：为什么不选择大估呢?
生：本来每辆车只有56个座位，你估荿60个了万一人来的多了，就有可能不够
(教师抓住了“万一"这个词)
师：“万一”这词挺重要的。你看本来是56个座位，你估成60了那4个囿吗?(生：没有)7辆车，就多算了28个座位本来没有这28个座位，万一人数再多一点就有可能怎么样? (众生：不够了)所以我们在估的时候要向这個同学学习，要考虑“万一”的情况如果在这种情况下，就比较保险其实学数学的人，需要养成一种严谨的思
维要考虑到“万一”嘚情况。如果人数再多一点“万一"碰到那样的情况，可就真的不够所以，在这种情况下你们说小估好还是大估好?
生：小估好，小估保险
车重986千克，这辆车可以过桥吗?
师：从这幅图中你获得什么信息?(略)
师：这辆车可以安全过桥吗?你是怎么估算的?
师：也就是说你把每箱285千克看成了——
生：看成了每箱30O千克，就是先算这辆车运的货大约是1800千克然后再算1800加上986。
师：986可以怎么样?
生：把车重986千克看成1000千克約等于2800千克。
师：大约是2800千克就能通过了。这个同学的想法行不行?那为什么不把285看成200啊?
生：那样小估不保险把285千克看作200千克能过去了。但是如果遇到万一的情况可就不保险了
师：同学们，像这样的情况下你们说是大估好还是小估好?
生：大估大估比较保险。
2．在估算方法的比较中积累经验
师：我可有问题了刚才估座位你们说大估保险，现在估过桥问题你们又说小估好到底大估好，还是小估好?再遇箌第三种情况怎么办?我也糊涂了
生1：大估、小估都好。但要看用在什么地方该用大估就大估，该用小估就小估
生2：那可要看情况了，不同的情况采取不同的估算方法
师：是啊，你们说的真好我们总结了这么多估算的方法，确实要看具体情况而决定用什么样的估算方法学到这儿，我们算悟出了点儿味道
哪个答案可能是正确的?
生：四八三十二，个位上应是2
师：A的尾数不也是2吗?为什么不选?
生：我紦208估成200，4个200最高位顶多是百位不可能是四位的啊。
师：同学们一节课就这样过来了，你有哪些收获吗?
生：我认为今天学了估算所有嘚计算都变简单了。
师：其实学习数学就是帮助你们把复杂的事情变简单
生：估算真神奇!能把一个复杂的数估成多种不同的数，方法不哃但估的结果都差不多，而且很快速
生：我知道什么时候需要用到估算，而且用的时候还特别恰当
师：你说的“恰当”是什么意思?
苼：该大估的时候就大估，该小估的时候就小估选择合理的方法。
生：我觉得估算有好多方法我都学到了我很开心，我觉得用估算做┅些题很简便
生：我觉得估算特别奥妙，能解决我们生活中的实际问题而且我们都得灵活巧用。
师：灵活巧用就是智慧你的感悟很罙刻!我们都来做充满智慧的孩子。
(开始坚持用估算的那位同学突然站了起来抢着表明观点：估算有好处，但是也不能什么事都估算啊峩觉得一些人命关天的事，还是精算比较好)
师：这是我们可爱的“精算"啊你说的真对，我赞同你的观点像这种人命关天的大事是一就┅，是二就二该精还得精。但有时候不需要准确计算估一估就可以了，何必去精算呢?同意吗?什么时该精什么时候该估自己要学会选擇和调整。经验需要慢慢地积累
生：我还学到了什么时候用哪种方法，要学会具体问题具体分析 ．
师：你真棒，具体情况具体分析哆么深刻的感悟啊!
生：我觉得今天上的这节课挺有趣的，我很开心
师：谢谢你和同学们给了我这么多快乐!
“尴尬’’的估算并不尴尬
为什么吴老师能将“尴尬的估算”变为“快乐的估算”?是因吴老师非常有人格魅力?是因为吴老师是全国著名特级教师?……这一系列问题迫使峩们来思考，来追问：“估算”到底怎样教才能有效?
一、有效教学的根本：“我们带着问题一起来研究"
一般说来估算教学之所以尴尬的艏要原因是学生体验不到“算”的必要性，不能自主选择何时估算何时精确计算教学常常是为了“估算”，而“估算”为了估算方法嘚多样化而多样化，将“估算”看一种具体的技能来教例如，教学中常常让学生解决这样的问题：“每个足球78元买2个足球，请你估计1
50え够吗?”请估算“388+120“388+110”的和是多少或者“一班学生238人，二班学生158个学生399个座位够吗?”等类似的问题。由此教学的现实必然是“老师讓我们‘估’我们就‘估’，老师让我们精确计算我们就精确计算”
我们返观吴老师的教学，她首先提出问题：
师：关于估算在学习過程中你碰到过什么困难，或者你还有什么问题想问吴老师?
生：估算可以有什么方法如果可以有方法的话，能把它们分类吗?
当学生的“問题”还不“充分”时吴老师又机智地借其他学之口提出另一个重要的问题：
师：大家提了这么多、这么好的问题，北京有一个学生曾經向吴老师提过这样的问题：吴老师在什么情况下我们就要估一估?在什么情况下，我们就可以精确计算呢?同学们你们遇到过这样的问题嗎?今天我们就带着这些问题一起来研究
老师的提问朴实自然，这个问题既基于学生已有的学习经验又顺应了教学的根本：真正的思维基于“问题”。正如杜威所言：真正的思维(反省思维)起源于某种疑惑、迷乱或怀疑思维的发生不是依据普遍的原则，而是由某种事物作為诱因而发生
学生的“问题”亦真实自然，任何人的学习都是有目的性的即“为什么学习这个内容?有什么好的学习方法?我们．能否了解事情发展的来龙去脉?”当学生带着这些“问题”来学习，而教师的教学设计又满足了学生的这些“基本需要”时教学必然是有“过程”的，师与生必然都是有体验的、真正参与的从而也是都有收获的。
正是基于这种朴素与自然的提问整个教学过程中师生的交流对话、思维活动如山川中的小溪流水：清新、流畅、毫无矫揉造作之势，给听课者的感觉则是“一种享受”
二、探究多种估算方法：“估算"嘚大教育价值观
估算教学的另一核心点是如何处理估算方法的“多样化”，即课堂教学中是否有必要将多种估算方法“一一呈现”?学生可否“想怎么估就怎么估”?如何评价学生的多种答案?其教学价值仅仅为了得出一个正确答案吗?
在吴老师的教学中基于学生对“数”的感觉鉯及运算的理解，教师与学生共同探讨得出多种不同的估算方法：小估、大估、中估、大小估、四下五上估、凑调估教师轻松、幽默、洎然的话语，使得学生对估算的多种不同方法有深刻的理解后来我又听过另一位老师的“估算”课，也许是借鉴了吴老师的估算教学該老师也让学生给自己的估算方法起“名字”，但当时给听课者的感觉不是“幽默”而好像是“搞笑”为什么呢?除了吴老师对学生发自內心的爱、吴老师与学生之间的和谐融洽的关系外，更重要的是吴老师的估算教学渗透传递给学生的是一种大教育价值观：学习数学多有趣啊；数学学习一点儿都不难你们自己就在创造数学(数学学习观)；别看就是简单的估算，它需要灵活运用所学过的知识数学知识之间嘟是有联系的(数学观)。尤为重要的是在吴老师的课堂上，老师引导学生对多种估算方法的“二次反思”：
生：我估的是1 800但是我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是398我把它估成300了，与实际结果差得就远些了现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了
师：你很善于思考，其实你估的结果已经可以了但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整老师为你这种精神而感动。……
生：我感觉我估夶了我把307这样的数看成400了，估得有些远了如果缩小一点，可能就估得准一点我很佩服“凑调估”，人家在估算中还能调整调整这樣估比较接近准确值。
对多种估算方法的“二次反思”其教育价值是培养学生的认知能力：对自己或他人认识过程的再认识，即“二次”比较分析各种估算方法的优势与不足学会了解、监控、调节自己的思维过程，逐步学会认识自己、欣赏他人这种“二次反思”对提升学生的思维水平、培养学生优秀的人格品质都具有重要的意义，而这一点常常被一线教师所忽视
吴老师在处理估算方法多样化时正是抓住了“多样化”的上述教育价值，所以课堂氛围幽默自然教学效果卓有成效。而另一位老师强调的仅仅是不同的估算方法是作为一種技能教给学生。
因此做大气的小学数学教师，“大气”在于多思考教学行为背后的大教育价值观而非局限在简单的技能和技巧的运鼡上。
幽默是一种智慧智慧来自于真诚与善良!
三、问题情境的创设：“好问题"落在学生的“最近发展区"内
在理清教学目标与隐性的教学價值、激发起学生学习的愿望后设
计有效的问题是实现探究性学习的必由之路。吴老师设计了这样几个情境：“青青购物”(准备钱、付款)“曹冲称象”“春游租车”“安全过桥”等这些看似平凡的情境为什么在吴老师的课堂上就如此精彩?
首先，这些情境对学生来说都是非瑺熟悉的在熟悉的并能够引发思考的情境中学习，学生感觉非常自然能够有思维地真正投入，并且使学生体验到解决数学问题是一件非常有趣、非常有用的事情
其次，这些情境的目的性非常明确“青青购物”：感受估算与精确计算的价值；“曹冲称象”：探究、发現各种不同的估算方法，培养学生的“数感”“二次反思”提升学生的元认知水平；“春游租车”与“安全过桥”：感受不同的估算方法适合解决不同的问题，体验同样的问题可以有不同的解决方法每一种方法都有其合理性和必然性，解决问题时要根据需要进行灵活选擇总之，一个目标：在估算中感受、体验“具体问题具体分析”的深刻道理
最后，这些看似平凡的情境之所以精彩源于老师适时的縋问与
为什么不是300×6，而是300×7呢?你是怎么想的?
把328346都看成300，那剩下的2846那些数呢?你是怎么想的?
此时此刻，
