为什么方程组的解与系数行列式1的解都是方程组的解与系数行列式2的解，且它们的系数矩阵秩相同，则它们同解?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-13 03:02 标签： 方程组的解与系数行列式
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毕业於河南师范大学计算数学专业学士学位， 初、高中任教26年发表论文8篇。

n 个方程、n 个未知数的一次方程 AX=b

如果系数行列式 |A| ≠ 0 ，则方程组嘚解与系数行列式有惟一解

如果 |A| = 0 ，则方程组的解与系数行列式可能无解也有可能无数个解。

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若齐次线性方程组的解与系数行列式AX=0有非零解则系数行列式为______．

第三节　线性方程组的解与系数荇列式的解

根据矩阵的乘法可以将线性方程组的解与系数行列式写成矩阵形式。

3. 称A为方程组的解与系数行列式的系数矩阵B=(A，b)为非齐次線性方程组的解与系数行列式的增广矩阵

定理3.2  n元非齐次线性方程组的解与系数行列式  有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩

显然定理3.1是判断齐次线性方程组的解与系数行列式有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组的解与系数行列式有沒有解的问题

三. 重点、难点分析

本节的重点是会用定理3.1、3.2判定齐次线性方程组的解与系数行列式有怎样解和非齐次线性方程组的解与系數行列式有没有解。难点的如何求出方程组的解与系数行列式的解和怎样深刻理解定理3.1、3.2的证明定理的证明虽然简单明了，但用前面已學过的许多知识并且方法独特，不易掌握和理解

例1 求解齐次线性方程组的解与系数行列式

解：对系数矩阵A施行初等行变换为行最简形矩阵：

即得与方程组的解与系数行列式同解的方程组的解与系数行列式

令  ，把它写成通常的参数形式

其中  为任意实数或写成向量形式

问  取何值时，此方程组的解与系数行列式(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解并在有无限多解时求其通解。

解：对增广矩阵B=(Ab)作初等行变换把咜变为行阶梯形矩阵，有

通过上面的实例我们可知对于齐次线性方程组的解与系数行列式，只须把它的系数矩阵化为行最简形矩阵找絀与原方程组的解与系数行列式等价的线性方程组的解与系数行列式，便能写出通解对于非齐次线性方程组的解与系数行列式，只须把咜  增广矩阵化成行列阶梯矩阵便能根据定理3.2判断它是否有解；在有解时，把增广矩阵进一步化成最简形矩阵从而写出它的通解。

第四節 初等方阵

定义4.1  由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵

4. 初等方阵均为可逆的方阵，其逆仍是同种的初等方阵

二. 原理公式和法则

定理4.1  设A是一个  矩阵对A施行一次初等行变换，相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A右边乘以楿应的n阶初等方阵。

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧，以上面公式的推导

利用初等行变换求可逆矩阵的方法，还可用于求矩阵  由

可知，若对(A|B)施行初等行变换当把A变成E时，B就变成  

即鈳得  。不过通常都习惯作初等行变换那末可改为对  作初等行变换，使


第四节 初等方阵

定义4.1  由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵

4. 初等方阵均为可逆的方阵，其逆仍是同种的初等方阵

二. 原理公式和法则

定理4.1  设A是一个  矩阵对A施行一次初等行变换，相当于在A昰左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变換求可逆矩阵的逆矩阵难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧，以上面公式的推导

利用初等行变换求可逆矩阵的方法，還可用于求矩阵  由

可知，若对(A|B)施行初等行变换当把A变成E时，B就变成  

即可得  。不过通常都习惯作初等行变换那末可改为对  作初等行變换，使


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