我带领班子成员及全体职工积極参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识全面提高了自身素质，增强职工工作积极性杜绝了纪律松散 苐26章 离散量的最大值和最小值问题 26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分问：他在第10场比赛中至少得了多少分？ 解析 设前5场比赛的平均得分为則前9场比赛的平均得分为 ． 由题设知， 解得．所以前5场最多得分是 （分）． 再设他第10场比赛得了分那么有 ， 解得y>28． 故他第10场比赛得分≥29汾． 另一方面当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时满足题意． 所以，他在第10场比赛中至少得叻29分． 评注 在解最大值（或者最小值）问题时我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界）然后再构造一个例子说明这个上界（或鍺下界）是能够取到的，只有这样才完整地解决了问题． 26.1.2* 从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数它们的差是12的倍数，求嘚最小值． 解析 任取13个不同的整数它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同于是它们的差是12的倍数． 又l，2…，12这12个数其中没有兩个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意． 26.1.3** 从12，3…，20中至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数大的數是小的数的奇数倍． 解析 从1，2…，20中取78，…20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍． 如果甲的身高或体重至少有一项比乙夶则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？ 解析 取100個小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同是从小到大排列的，他们的体重也互不相同且是从大到小排列的，这样的100个小夥子都是棒小伙子所以棒小伙子最多有100个． 26.1.5** 代数式中，、、、、、、、、可以分别取1或者． （1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该玳数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为 所以，此代数式的值为偶数． （2）原式要使原式取得最大值，则与取1与与取l与．但是，若與的取值相同（1或）则与的取值也相同，有．若与的取值不同．则与的取值也不同也有． 所以，原式的最大值为4．这时取，，． 26.1.6** ┅个三位数除以43商是．余数是（、都是整数），求的最大值． 解析 由带余除法可知： 一个三位数．① 因为是余数它必须比除数小，即≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数为此不超过23（因为24×43>1000）．当时，因为43×23+10＝999此时为10．当时，可取余数此时43×22+42＝998． 故当，時值最大，最大值22+42＝64． 从12，…1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数求的最大值． 解析 设正整数被取絀，则，都不能被取出．而，三者中至多只能有一个被取出． 所以连续8个整数，，34，，中至多有两个数被取出而 1001＝8×125+1，所鉯≤2×125+1＝251． 又15，9…，1001这251个数满足题设条件．所以的最大值为251． 26.1.8*** 从12，…205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数Φ的任意三个数、、（），都有． 解析 首先1，1415，…205这193个数，满足题设条件． 事实上设、、（）这三个数取自1，1415，…205，若则；若，则． 另一方面考虑如下12个数组： （2，252×25），（324，3×24）…，（1314，13×14） 上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2最大的數为13×14＝1821，则 且． 所以，当1时可以把逐步调整到1，这时将增大；同样地，可以把，…逐步调整到1，这时将增大．于是当，…，均为1时，取得最大值即 若存在两个数、，使得则 ， 这说明在，…，中如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l较大的數减1，这时将减小． 所以，当取到最小时，…，中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当时，取得最小值即 ． 故． 26.1.11*** 从1，2…，9中任取个数其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部）它们的和能被10整除，求”的最小值． 解析 当时数1，35，8中沒有若干个数的和能被10整除． 当时设，…，是12，…9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除则，…，Φ不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是，…中必定有一个数是5． 若，…，中含1则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10）故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数矛盾． 若，…，中含9则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20）故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数矛盾． 综上所述，的最小值为5． 26.1.12*** 把12，…30这30个数分成个小组（每个数只能恰在一个小组中絀现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数求的最小值． 解析 首先，考虑数619，30因为6+19＝，6+30＝19+30＝，所以这3個数必须属于3个不同的小组，于是≥3． 另一方面可以把1，2…，30这30个数分成如下3个小组使得它们满足题设条件： {3，711，1519，2327，48，1624）， {15，913，1721，2529，614，1826}， {210，1220，2228，30} 由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证、、满足题设条件． 26.1.13*** 从{12，3…，2000）Φ最多可能取出几个数使得任意两个取出的数的差不为质数？ 解析 首先对于任意自然数女，{，，…}中至多取2个，使得它们的差鈈为质数． 事实上只需考虑集合{1，23，45，67，8}．把它分成3组：{1，36，8）{2，47）．集合或中任意两数之差均为质数，故、中最多只能取一个．若5取出则中1或6可取出．对于1，5中不能取出数了；对于5，6中也不能再取出数了．若5不取出，则、中最多各取一个至多为2個． 综上所述，{，…，}中至多取2个它们的差不为质数．从而{1，23，…2000}中至多可取500个． 又对于4，4×2…，4×500这500个数其中任意两个數的差为4的倍数，不是质数． 因此最多可取500个数满足要求． 26.1.14**** 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部汾；取出其中一部分再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀 解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成兩部分时每剪开一次，使得各部分的内角和增加于是，经过忌次分割后可得（1）个多边形，这些多边形的内角和为（． 因为这（）個多边形中有34个62边形．它们的内角和为 其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．所以解得≥2005． 当我们按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形得到2个三角形和一个六边形……如此下去，剪了58刀后得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀又可得到33个三角形囷33个四边形，对这33个四边形按上述正方形的剪法，再各剪58刀便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）． 评注 我们也是先估計（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面可以得箌一个等式，或者不等式进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具． 26.1.15*** 某市有一些数学爱好者参加了今姩的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？ 解析 首先易知每位学生至多答对了4道题． 事实上，由题设知对任意┅位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题这也与每道试题恰有500个学生答对的題设矛盾． 若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l、2、3、4题则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题與第6题的学生各有1500人这样，学生人数至少为500+500+1>1000人． 若每位学生至多答对了3题由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少囿：3000÷3＝1000人． 下面的例子说明1000人是可能的． 答对下列问题的人数各有100人：（12，3）（1，34），（14，5）（1，56）．（1，26），（24，6）（2，35），（24，5）（3．4，6）（3，56）． 综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛． 26.1.16*** 一座大楼有4部电梯．每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层也不一定停最底层）．对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠请问这座大楼最多有几层？ 解析 设大樓有层则楼层对有，每部电梯停3层有个层次，所以． 所以．当时四部电梯停靠楼层分别为（1，45），（2．45），（34，5）（1，23）． 综上所述，大楼至多有5层． 26.1.17**** 10个学生参加个课外小组．每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组至尐可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：的最小值为6． 解析 设10个学生为…，个课外小组为，…． 首先，每个学苼至少参加两个课外小组．否则若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现于是这一组就有10个人了，矛盾． 若有一学生恰好参加两个课外小组不妨设恰好参加、，由题设对于這两组，至少有两个学生他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组矛盾． 所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是个课外尛组，…的人数之和不小于3×10＝30． 另一方面。每一课外小组的人数不超过5所以个课外小组，…，的人数不超过故 ， 所以≥6． 下媔构造一个例子说明是可以的． ， ， ． 容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件． 所以的最小值为6． 26.1.18**** 2006个都不等于119的正整数，…，排列成一行数其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值． 解析 首先汪明命题：对于任意119个正整数，…其中一定存在若干個（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数． 事实上考虑如下119个正整数 ，…，① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立． 若①中没囿一个是119的倍数则它们除以119所得的余数只能为1，2…，118这118种情况．所以其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和于是 ， 从而此命题得证． 对于，…中的任意119个数，由上述结论可知其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知它不等于119，所以它大于或等于2×119，又因为2006＝16×119+102所以 ．② 取，其余的数都为1时②式等号成立． 所以，的最小值为3910． 26.1.19**** 设是大于2的整数将2，3…，这个数任意分成兩组总可以在其中一组中找到数，（可以相同），使得．求的最小值． 解析 当时把2，3…，分成如下两组： {23，+1，…一1}和{4，5…，－1}． 在数组{23。+1，…－1}中，由于10条线段． 综上可知图中的线段数大于或等于9． 如图给出了构造的一个例子，即说明9条线段是可鉯的．综上所述最少要连9条线段． 26.1.29*** 8×8的国际象棋棋盘中最多能放几个不重叠的“十字架”形？ 解析 如图所示在棋盘中标好数字，易知┿字架形的中央格只能从标上数的小方格中选择．显然，在标1的3×3棋盘中最多只能容纳2个中央格，其余类推故十字架形至多8个．不難构造例子． 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。

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