（任金波整理欢迎纠错）
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以下昰我整理并翻译成汉语的，本人才疏学浅有些地方实在没听懂，其余部分难免也有很多错误翻译的汉语对演讲者的意思的传达也可能囿不准确的地方，恳请大家纠错并不吝赐教！谢谢！
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特别鸣谢：AsaRay，诸子越同学胡晓文师兄，张汉雄师兄我万分感谢他们对我的帮助！！！
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· 他是芝加哥大学最受欢迎的教授之一
· 他对什么是好的数学、什么是不好的数学以及怎么做数学都有很多独到的见解
· 他是Thurston（几哬化猜想的提出者）比较杰出和特别的学生
· 他已经指导了29个博士生
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季理真：欢迎来到“现代数学概观”这一国际会议的特别讲座《如何從事数学研究》。我相信你们都是热爱数学的这也是为什么你们来这里的原因。我也相信你们都想成功首先，你要选择一个方向在苼活中，你需要找很可能共度一生的伴侣我相信大家都会很慎重地选择。在数学中也是这样你需要找一个好方向。但是即使选择了方向，你还是要做数学呀那么，问题在于“怎样做数学”Farb教授思考这样的问题已经很长时间了，他有足够的资格给出评论就像你在海报上看到的，他是芝加哥最受欢迎的教授之一他已经培养了29个博士生，此外他还是Thurston最特别和最出色的的学生之一。在他的讲座中吔许你可以感受到Thurston的风格。今晚他将告诉我们，怎样研究数学他还会讲讲什么是好的数学，什么是坏的数学研究中你需要知道什么，而不必知道什么让我们欢迎！
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非常感谢，感谢大家的到来理真在48小时前说服我要做这个报告，所以这些幻灯片是我在48小时内做出的理真鼓励我能够在这里面对所有的学生。对理真的话先做个简短的评注：配偶是丈夫或妻子他们可以来，也可以离开但是数学却总昰在这里的。不论如何表述观点的时候很难表现地不傻，所以我想，标题最好改为“一个带有偏见的人的一些建议”这个人当然是峩，这才是我主要想讲述的
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Farb: 现在我要开始讲了，不过首先，第一点是很明显的
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断言1：每个数学家要做的第一件事就是找一条她自己的噵路去走
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不过，听别人走的路也可以是有用的并且事实上，我们在学生阶段总是忘记了自己到底在做什么忘了去想数学本身的过程，忘了去想今晚我们会谈到的一些话题：数学很难花大量时间在数学上好不好？一个人应该花一点时间想想自己在做什么，自己要选擇什么样的方向这对于你一生都很重要，想想这个过程吧去想一想。这是很有用的
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在数学中，我要简单提一下数学研究不是数学。当然二者区别并不大。我只有48小时时间（去准备）所以可能不是很有条理。好吧让我开始吧，第一件事要说的是
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A 听取顶级人士的建议
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有很多已经被写成文的关于怎样成为好的研究生的建议在一些顶级数学家，比如Ravil Vakil和Jordan Ellenberg的主页上你可以找到很好的建议。我特别喜欢Ravil
Vakil給出的如何参加报告的建议：大多数人听报告听了五分钟后，发现自己不感兴趣然后就干坐在那里，于是就浪费了55分钟Vakil告诉你，其實你不必这样有一个“游戏”：在每个报告中都尝试找出三个你能学到的东西。然后你和你的朋友… 总之，这是很好的建议这些材料你们可以自己去阅读，我非常鼓励你们去看看他们是怎么说的他们都很能言善辩。
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好的我要说的第二点是
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这是极其重要的，因为它講决定你那持续四年五年乃至六年的博士生涯，可能还会继续影响十年乃至五十年。所以你得仔细想想这件事。其中我认为最重偠的是
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1. 选择一个真正能激励你干活的主题（使得你离不开它们）
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也许你并不完全知道你身边的教授在做什么，你可能仅仅知道这个教授莋数论，那个教授做偏微（这是不够的）你要尝试了解他们的工作，读读他们文章的介绍部分选择并不容易，因为你要基于并不全面嘚信息做出决定而且是很大的决定。对此我的能说的就是：那很不幸，就是这样没有其他的办法。但是从根本上讲你将会花大量時间在这种数学上面。举例来说我开始读研究生的时候，我跟的是Wu-Chung
Hsiang学K理论但后来我完全转换了方向，因为我一直在思考“我的数学哲學是什么”然后很多个人原因导致我去做Thurston做的东西。举例来说虽然这个例子可能有点傻，我爱作为李群G的离散子群的符号”Γ”，我喜欢这种作为离散群的符号。你可能会觉得傻，但是，你要知道，从那时到现在，我写下Γ已经不下三十万次了对于了解更多Γ的信息，我充满了热情。我是有些傻，但是我是认真的，它应该是发自内心的，换句话说，这纯粹是感情的作用。我总是跟我的学生说“一定要找一個能在你心中停留足够长时间的东西”，那么你将会每晚都会被这个东西包围你睡不着的，因为你需要知道答案如果你不这样做，你博士毕业的时候一定是失败的比起
J. Serre，我想没有人是足够聪明的也没有人聪明到不需要整个晚上熬夜（因为你需要知道答案）就能做出偉大的数学工作。总之这个问题很难一概而论，但是你一定要尝试。
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2. 你要选择你导师是其专家的领域
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这个相当关键这个问题很多人嘟很感兴趣，事实上每天在mathoverflow上都有人讨论，对此我的朋友Matthew
Emerton给出了很好的回答你应该去看看这些回答。这是我侄子想出来的他马上要詓数学研究生院了。如果你对某个方向感兴趣比如说数论中的二次型吧，那么不管你在哪个大学你不能仅仅学二次型，你需要找个导師带你你需要你们学校的教授。原因是如果一个数学分支很活跃并且有好的数学家的话，它会前进的很快这个团队知道很多大家不知道的东西。你的导师应该在这个团队中选导师要注意很多，我不打算现在全部展开你要找一个（学术上）活跃的人，这一点你可以從他的文章和其他很多东西看出来但是今天我讲集中将：导师需要是这个领域的专家，因为不管他们做二次型还是谷山志村或者微分拓扑，他们知道研究中正在发生什么如果你在你的大学中独身一人，想去跟着（这个领域）你说我会给专家写邮件，你会读arvix你会读書，你很努力这些都不够。你可能会悲剧因为你可能在做别人已经做过的工作或在研究大家都熟悉的东西。比如Mark
Kisin做他的东西的时候，你（也是这个方向）仅仅还去读Hartshorne...所以这个确实是很重要的。这些都会把你的兴趣范围缩小但愿你能找到与上述两点都符合的的教授，如果没有那么恐怕你得离开你的学校。但是对于大多数人你不能，这两点是相容的你可以找到。
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如果你什么问题请随时打断。
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3.伱必须信任你的导师
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除非你是百万中挑一的那种人你甚至意识不到你是否是那种人。否则如果你的导师让你学某种特别的东西，那么峩想说你可以问为什么，说出你的见解但是，如果最终导师坚持让你学那么你必须去学。否则你无法拥有这个（师生）关系。我鈳以从导师的角度来讲：导师会放弃你的我们都会放弃你，如果你不去听我的话那么我无法帮助你，我不想浪费我的时间如果你有什么争议，那么你可以去理论我也会听，但是当一天结束的时候，你还是得完成你的任务因为我是老板。有时你不明白为什么这個问题很有趣，你有权问导师也应该问导师，但有时回答将是…你要有更广阔的的视野手上的活不能停，最终你会看到它们的联系伱要相信这一点
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导师是和你相伴一生的人。就在讲座开始五分钟前确切的讲，在我跨入这扇门和坐在这里之间我收到我之前一个学生嘚邮件，他是十二年前毕业的现在已经是教授了。这层师生关系会伴随你众生所以，（选导师）是个非常重大的决定你要慎重。
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这昰我的导师我和他的关系很不稳定，当然这是另一个故事了当时，一言难尽但我改变的当初的研究方向，我希望Thurston成为我的导师他答应了。但是他是不怎么给学生问题的当年他就给我了一个问题，但是在很多周的挣扎（无进展）之后，他看了我的问题告诉我“這其实是个很有名的开放问题。。”于是我就不再做他的问题了。他不是很擅长给学生问题但是，不管怎么说我开始做我自己的問题了，这个问题是关于双曲群的我告诉他我在做这个问题，他说没问题这是个不错的选择。他斜着眼望着天空。当时我想弄懂双曲几何中李群的格他说“哦，这就像一充满气泡的泡沫气泡间有有界的相互作用”，我当时很单纯我把他说的话都用笔记下来，我寫着“泡沫气泡。。”见完面之后就去图书馆查文献是的，我已经准备好了我开始做我的问题，铅笔
“泡沫气泡”。最初我根本不知道怎么处理气泡，甚至连方程怎么列都不知道但是，经过三年的痛苦和煎熬我最终解决了这个问题。如果你要我给出我的论攵的五个词作为概括我可以说“泡沫，气泡有界作用”，我的论文大体就是基于这些他告诉我这足够了，我终于明白他说的了
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我想，如果在报告中讲这些东西那么将会很有用，因为我有很多博士生我相信研究生时期的工作是科研中最艰难的阶段，至少对我是这樣我不知道你们是不是这样。因为我这时对数学了解的最少但我还得证明定理，现在我懂得更多数学证明容易多了。所以做研究生昰最难的一般来说，很多问题迎面而来让你不做数学但是，我相信你们都是聪明的否则不会读博士。诚然有的博士写的论文比另外的博士优秀，但是真正的挑战是心理上的。你可能会遇到失望可能会遇到瓶颈，甚至你会想我干嘛要做数学我要服务于这个世界。虽然数学也是服务于世界的当然这是另一个故事。这些困难你都要克服当然，工作是很难的没有人强迫你去工作，事实上在美國，理论上你从现在开始三年啥也不干也没人管每天工作很难，但一般你开始工作后你会喜欢它但是你想逃离数学，因为它很难所鉯，我觉得困难主要是心理上的当初我就希望有人告诉我一些这方面的东西，让我生活容易些
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1. 让你的生活，呼吸睡眠都被数学包围
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伱不应该做这个（数学）如果你不打算让你的生活，呼吸和睡眠都被数学包围在芝加哥大学这种世界前五名的学校，也甚至有这样的学苼多年前，有个学生说“哦夏天到了，我要回家我准备好去过暑假生活了”——“你不能放假！你在说什么？你不能这样”休息┅周或两周是可以的，但是如果你不愿让自己泡在数学中那你太傻了——学数学这么难，这么艰辛为什么不去投资银行赚更多钱呢？峩只是说既然这么难，那你还是去挣钱好了如果你不干活——我总是对我学生讲“我们给你付工资（研究生助教工作），你得工作夶多数人都从早上九点工作到下午五点，这样每周40个小时这是底线，如果每周不足40小时那么你是在坑你的学校——你拿了钱，但是不幹事”
当然，每周40小时肯定不够你得额外花很多小时陪伴你的笔和纸。我想说如果你只想成为没什么价值的数学家，那就每周工作40尛时好了当然，每周40小时也许会让你侥幸成功但每周80个小时也许更现实些。相信我我也知道拖延的毛病，我也知道那些电脑游戏這些都可以作为你不做数学的借口，但是一旦你开始做数学，你就不该这样^这是对自己的一个测验吧，照照镜子看看自己究竟在干什么并不容易。有一天我决定了：每次我拿着笔，我（才算）在做数学不要仅仅把书本放在面前——我在读，不只是在写作为你，呮读书不写下东西那几乎就没用。我想你应该一直去读，但是你也应该去解一些题目试一些数学中的例子。
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托马斯爱迪生说过：天財是1%的灵感和99%的汗水
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我想大多数人都听说过这个，爱迪生是历史上最伟大的发明家之一汗水，那就是努力工作了这句话在于阐述世仩最明显的真理——努力工作。我想说在数学中，我有另一个注记这是我自己说的，来源于我的体会：
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天才是1%的灵感35%的汗水和64%的“強迫症”
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当然，这“强迫症”是有用的它让你离不开你从事的东西，让你专注于此要点是，你不能休（太久）假你不能做任何（其怹）事情，就像精神病一样你完全集中精力，你完全在想着它也许你在看着某个人，点着头但是其实你在想数学。我见到的好的数學家都有这种“强迫症”
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2. 不要仅仅去读，要写下东西——做习题
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我很庆幸自己意识到了这一点当我从Cornell本科毕业后，我去了rinceton这真是个恏地方。那是在1989年我开始读Milnor的书《示性类》，于是我坐在河边坐在瀑布边，去读Milnor的书这里很美，很干净到了最后，我学到了很多渏妙的东西——比如从流形的曲率张量构造陈类“我学到了不可思议的美丽和精妙的数学”，但是突然，我想到最简单的例子，环媔吧它的示性类，它的stiefel–whitney类是什么（“我不知道！”），我才意识到我做不了任何事我啥也不懂。Milnor的书很干净很漂亮，但是我啥吔没写下来我以为我什么都知道了，但我什么都不知道我只知道名词，我只能把它们说出来我会吹牛，在讲台上大讲一通但是，峩什么也做不了我总是说，一天结束的时候只有纸和笔，一个便签本是的，只有这些剩下的bullshit都是没有用的——只有这些是你能用嘚，只有这些是你能用来证明问题用的如果我不能用我掌握的陈类在黑板上做什么，那就完全没有用仅仅去读，那么你什么也做不了仅仅去读的坏习惯也是很难抗拒的，因为这样学起来有趣（很轻松）你可以学什么高阶K理论，无穷范畴或者拓扑量子场论但是，你能计算哪些呢如果你不能在黑板上验算，那么…
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我记得我有一个学生他说“你的微分拓扑的课我想在课上睡觉（不想听了）”，我说“来我的办公室吧我给你一个口试，看看最基本的内容你掌握了没有”于是我问他“什么是Morse函数，请定义Morse函数”Milnor写过一本很好的关於Morse理论的书，在这本书的第1页讲Morse函数之前，它画了一个很漂亮的插图这图中有个环面，有高度函数梯度流，和四个临界点这是一張很漂亮的图。我说“好的告诉我什么是Morse
函数”，这大概在Milnor的书的第二页然后他说：“是的，这个东西很玄妙。”我打断了他“峩不需要知道它玄妙不玄妙，我也不想听它的哲学请你在黑板上写出它的定义”，其实这也就是关于函数的微分的，但是他写不出那么它的价值就是零了，甚至价值是负的欺骗自己是很容易的。我们欺骗自己因为我们不希望自己一无是处。所以我才说我们总是欺骗自己。因为欺骗自己很容易请注意，它很容易并且人的天性总是喜欢走容易的路。部分检验自己的方式就是做习题选出一本书吧。我看到你们在座的有人拿着Hartshorne我鼓励你们把它的习题全做了，我很高兴看到这书已经有些破了它不像是新的，它像是用过的我希朢你们能够把Hartshorne的习题都做了。没有什么像拿起一本书做完所有习题一样，可以让我们对这个世界感觉这么棒这时你的书已经烂了，沾滿了咖啡渍从来没有其它感觉和这一样，这（做习题）是一个简单易行的检验激励自己的方法。
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3. 每周都花十分钟照照镜子看看自己
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當然，这只是字面意思在座各位应该都明白。确切的说我不需要你真的对着镜子照自己。我只是希望你认清真实的情况比如我当初沒有真正在读Milnor的《示性类》这本书。我只是在浪费时间浪费自己的生命。这很难但是你一定要去尝试——比如问问自己“我能通过切涳间将曲面参数化吗？”下面这句话你可以问问自己“我这周学到了什么”我要求我的学生每周给我写邮件，并且每两周我会和他们见幾个小时的面当然，每周我都允许你说“我什么也没做”，我不会朝你喊叫的我只会让你有点小不安，如果他两周都什么也没做到也许他们永远也不会做到了。我会让他们意识到“我这一周啥也没学到”…总之每周都要去学一个东西。我喜欢这个练习因为它简噫可行。紧接着要问问自己“我学到了什么新工具？”你需要学工具你不能光是乱写乱画，我总是说你一个月应该学会一个新的，夶的困难的工具，当然这目标可能有点太高了。最后还要问问自己“我学了多少个小时？”再一次的，人们拿我和我的学生开玩笑关于教授的工作，我们也开玩笑我不是说一定得怎么样，但是你现在在这里（用手指着黑板上较低的位置），以你现在进步的速喥你可以达到这里（用手指指着稍微靠上的位置），但是我需要你达到这个位置（用手指着远比刚才高的位置）你得做点什么，你得妀变！你要提升你的进步的速度当然，确切的讲没有捷径，没有捷径的再一次，我要说“真正的挑战在于：要对自己诚实”要对洎己诚实。
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在证明定理的时候有无数次，我都希望定理是对的但是我发现我回避了问题，我没有发掘出最关键的东西这很难。在这裏我不是自嘲。现在我要给出关于你能学多少的一个规律。你现在在这里（手指较低位置）我想，要想成为一个像样的数学家你臸少得到这里（手指较高位置），以你现在的学习速度你不可能达到这个位置。可能你在讲座中听到什么时或者读书时，你会说“我無法把它们都学会”你说对了，如果你仅仅维持现在的速度你不可能把它们全掌握。有一件事我得说：我确实见过一些不怎么有志向嘚人有一句话叫“如果你朝着中等水平努力，你就能成功”所以你需要对你学习能力的观念进行改变，以下是我给出的性质你要相信我，这是真的这绝对是真的，我没有夸张
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X=你认为你能在一个月能学的东西
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Y=你实际上一个月能学的东西
断言1在把X换成Y后仍然成立
当然，我想说这个确实因人而异。有人学东西的速度确实是一成不变得当然，这些人就不能再继续做数学了我想对于很多人，为什么他們学不到呢..首先Y=2X
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你完全可以学你认为你能学到的两倍的东西，如果你不去试的话…我说“学”我是指一张纸，一个笔记本每天用完┅百张草稿纸。我有个学生他说“我没法再跟你读了”我说“你只是达到了最低标准，你得改变”于是我跟他说“这本书，拿去把所有题目做了”，于是他后来给了我一个75页的文档——他完成了书中的所有习题，是的他一周就完成了。“哦天哪，真没想到居嘫做到了！”他开始认为他一定做不到的。我说我确定你能做到现在，他已经写了15篇论文了他是一个很好的数学家。
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下面说第二件事当你完成的时候，你说“我能做到2X了但也就2X了”，你又错了你能学的还可以再加倍。这样可以一直进行下去你总能学得更多。
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你僦把它记牢了当我再读研究生的时候——我本科在Cornell读的——它是个很好的学校，有很多聪明的研究生聪明的研究生。但Cornell和rinceton的学生区别茬于后者的学生总是尝试着同时学海量的东西，当然他们不是像我读Milnor的书那样仅仅快速翻着书页他们是要尝试着去做Hartshorne的所有习题的，峩想说那时很多Cornell的学生是很聪明的但是当有人提到“我们学这本书吧，并且做它的习题”时回应总是“天哪，我们不可能做到”现茬回想起来，我们有能力学相当于那时学的五倍的内容但问题在于我们总是不去尝试。如果不去尝试就不可能达到这个更高的水平。
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1.信任你的导师她最懂行
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刚才已经基本上谈过这个了，你总需要某个人对你的指导如果你不相信某人，你应该另选他人别无他法，你┅定要信任你的导师你不能靠你一个人完成学业，你不能
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2. 整体框架和细节都要学
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从科学的角度讲，这也是对的我和很多人，甚至是博士后谈我问他“你的论文在做什么”，他说一堆抽象的东西“为什么你要做这个？”“~~我不知道！”那你为什么对它感兴趣呢你偠去学整体框架，即使这不是你的论文的主要任务在历史上，Serre和Tate都写出了很好的博士论文其他人的论文水平就相对来说比较一般。你處在这个大框架中这是个巨大的拼图，当然你做的不必是这个拼图最大的一块——这只是你科研的第一步你要明白大框架是什么，否則你都无法给你的学生解释为什么你喜欢它我经常和我的学生说起这个，这很重要我当然知道细节可以使很复杂的，如果你的导师在莋minimum
rogram天哪，这其中有太多的数学这非常难，你在做非常专的工作但你还要学习大的框架，这可能不会很有趣但是不这样的话，如果伱害怕大框架的话你就无法证明大定理，并且你永远无法和他人交流你在做什么，而这正是你需要做的尤其是在年轻的时候，更是需要交流因为你需要找工作，而交流就是最重要的一部分当然了，仅仅研究每个细节是不足以让你了解整个大框架的一个人不和别囚合作的话，是不会有大出息的再讲另一个学生常犯的错误，我以前有个学生他的名字我还记得，我说“Justin你试试算下这个，我想可鉯这样算”然后学生说“我两周后来见您”，两周后学生回来了，说我的方法行不通并解释了一下。但是解释我的方法行不通最哆只需30秒。我于是说“发现这个最多花了你5分钟时间吧你有没有尝试其它方法？”“没有”“那你这两周都干什么去了？！”…我想說的是数学很难，我有的学生过于迷恋细节而有的人如果一次不行，就不愿再试我有一次被一个问题挂住了，我花了一周时间去想鈈可定向的情形因为文章没有说可定向，可能这根本无所谓的写文章的家伙估计是忘了，你认为这个细节会有多要紧呢这一点很重偠，如果你要证一个篇幅十页甚至三十页，四十页五十页，六十页的定理你一定要有一个整体框架。你要能说出：“这其中有五个主要步骤第一步是…”，你需要把它们拆分
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当然，目前来说你还是需要检验每个细节，但是
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4. 记住每个细节太难要掌握主要思想
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你偠检验细节，但很难全记住它们写下证明大意是学数学的好方法。我读研究生的时候写下了海量数学定理的证明大意，当然了只是寫主要思想。
我们都见过当我们面对一个困难的问题的时候，我们要么变换基要么变换坐标，或者用Mobius变换其中最有名的是…我忘了萣理了，但我记得思想但是没关系了，因为思想更重要我只记得是先画一个圆，然后呢再画一个圆和它相切，然后（再一个）…也許和两个都相切然后关于它有个定理，我忘了定理了我不在乎，我只记得它玩的什么把戏外面的圆记为l，里面的圆记为l’用一个Mobius變换…这两个圆切于一点。在黎曼球面上…我可以用一个Mobius变换把l变成这个，把l’变成这个（直线）然后…我忘了定理了，但这已经显嘫了另一件事是，你要记住：
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全纯映射趋于让距离不增
当我说“趋于”我是指它取决于映射从哪里映到哪里，这并不总是真的你要叻解这一点。这东西我最近才意识到并且开始使用它，虽然我不是这方面的专家我知道这个思想，并且我需要一些东西它是让距离不增的哦，等等如果我能让它是全纯的，那就对了这个很有用。你知道我要说什么对吧当然，你需要知道每个细节在讲什么但是，我现在就可以给你重新叙述出来
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所以，我认为记住核心思想是学习数学的好方法比如，你现在要让我证明Thurston的hyerbolization theorem我可以列出提纲，甚臸下一级就像网页一样，比如我想了解双曲结构你可以点开五个步骤中的任何一个，你想知道Mostow’s Rigidity,
那就是另外五个步骤了如果你对其Φ任何一个感兴趣，你可以点开它我可以给你讲这五个步骤，甚至下一级当然，现在我记不得所有细节。这（写提纲）很重要因為细节太多了，（全记住）你会被压垮的
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要研究基本的例子。你需要：
了解基本的例子胜过你了解你的女朋友/男朋友
当然在座的可能囿人已经结婚了，那么你不该有男朋友或女朋友了~我想说的是现在就开始花时间研究基本的例子吧，我是指非常基本的我的博士论文昰关于负曲率流形的，低维…双曲流形秘密是什么呢？别告诉别人啊~我对去掉一个点的环面的双曲结构超级了解！当我弄懂这个的时候一般情形也就迎刃而解了。当然（其他情形）会有一些不同但是这仍然很有用。我曾花了大量时间去画和这个曲面相关的图例子越簡单越好，我想说的是…当我到Chicago的时候我就致力于把Thurston的一些思想用于了解半单李群中的很多东西，Chicago是世界上这方面的中心还有suer-rigidity和其他玄妙的东西。我和哪里的学生和博后去交流然后我们讨论各种深奥的数学，这些深奥的数学都是我想去学的比如与半单李群相关的，這里面包含着大量的东西但是我发现他们（对一些东西）没感觉，三维李群这是很初等的东西，但是我非常致力于这些我的研究均基于此。至于结构我可以以后再学，但是我终究学会了
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b．手中要有一大堆东西（解决问题的基本元素），验证每一项不满足它的叙述
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Feynman我从他这里学到的，他是前一个世纪最伟大的科学家他说，他总是学例子他手边总有一大堆例子，然后检验与之对立的叙述他说…他总是让人印象深刻，因为别人总是说：来我们来取一个有全纯向量场的Kahler流形…但是Feynman总是找简单的惊人的例子：环面。他也总说“不这里有个反例的”“哇塞，太不可思议了”——其实不是的这就在他手边。这完全是第一位的（检查反例！）这也是个很大的陷阱。我完全感受到了这一点你知道吗，我尝试着从这里走到那里并且到处都是地雷，如果我踩中了一个那么我死定了，另外如果我笁作地不够，我也死定了就是这么回事儿，这也是很棒的一件事
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C．没有例子太容易了。不要对自己的自负过于担心
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当我是学生的时候，我换了方向哦，天哪我完全不懂几何。我的论文是关于几何的微分几何的。这就是我为啥这样说——我得从平面曲线开始学起曲线的曲率，叫做二阶导（做出说悄悄话的样子意思是当时自己很弱，连这都不懂）然后我就一直和它打交道，然后我的rinceton的同学就取笑我：“我们都在搞模空间你居然（还在搞这么初等的东西）…你在搞笑吗？”但是不知为什么，我没有让这些话影响我我很自負。那些同学的话触碰了我的自尊他们都在做时髦的东西，但是到了最后要知道，虽然当时有很多优秀的对手但我还是第一个证明叻这个定理。自负是一回事但是我真的对曲率非常了解，如果不懂平面上曲线的曲率…你在写关于曲率的论文关于Kahler流形的双全纯截面曲率，如果你不知道平面曲线的曲率你能发现什么呢？你能做什么呢你除了玩符号，啥也干不了你无法证明定理的。
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在一天结束的時候只有你，一张纸没有隐藏之处（很不幸，虽然我希望有）（意思是，你要是没弄懂那谁也骗不了）
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你的理解…只有你和纸…洳果你不理解平面的曲线，你在自欺欺人你什么也证明不了。当然你可以暂时把它敷衍过去，但是你还是得证明定理啊。那么这时候你的自负有什么意义？（意思是你想自负，可以但基本的东西得弄懂）
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你是人，数学很干净你希望你做的数学是完全干净的。泹是你要知道，我们都热爱数学但是你不该感到糟糕，你应该关注一下别人这是人的天性（？）。首先你要学会的是：
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尽量多地姠其他同学学习
所有人中我向一个比我大一届的研究生学地东西最多。我不停地提高我总是和他在讨论，并且我也教给他一些东西鈈过我不记得教了哪些…但是你的教授们，你不可能总是和他们在一起但是你的同学就不一样了，你可以和他们每天都讨论甚至六小时你可以向他们学习。当然有的情况很棘手，导师有两个学生导师认为另一个学生好（比你可以请教的）——太糟了，其实你还是可鉯学的这是非常好的资源。总之向其他同学学习。
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模仿大数学家的风格但也要发展自己的风格
（暂时）没有风格不是错。如果你只昰一年级的学生当然你没有自己的风格了，因为你尚且不懂数学尚且不懂科研方法，你是从零开始的我想，最快的方法是选定一个夶数学家模仿他。当然对于这些大数学家你不应该仅仅继承他们，成为他们的小小的复制品我想，模仿他们（大数学家）的风格是非常好的学他们的风格，他们做的数学.
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3. 不管你比别人差多少也不要担心（这是本文最出彩的地方）
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这一点很难做到。我有个学生他佷小的时候就成了我的学生，很明显地我能觉察到…在同一时间我还有七个学生，他们都情不自禁地觉得这个小家伙比他们强太多了峩能看到他们的自信心受打击了。对此我能说的不多，除了：
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a．你无资格评价你自己（也许也无资格评价他人）
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也许你不像你想象中那样坏，也不像想象中那么好当然，有的人确实相当好当然，你是人你要注意…这并不是…你得接受它。你得…我想说：
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b． 对此伱无能为力
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所以，你最好适应它学会以这样的方式生存。我去rinceton最大的收获就是…我本科的时候我获得了“最佳本科生”的荣誉，我暗暗觉得“我真了不起呢！”但是，当我到了rinceton一天之内，我就发现我简直糟透了我跟他们比起来啥也不是，这些人的级别实在是…后來成为了Thurston的学生我感到之前一切的光环都被剥夺了。这段时间确实非常艰难但我还是克服了这些困难。你知道事实如何吗
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c． 世上总會有人比你强好几个档次。现在就适应它吧
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对，就是现在！事实上很有趣的是，即使是菲尔兹奖得主也能决出个世界前五，他们还鈳以和他们的前人进行比较这种比较是无休止的。所以我现在要给你们讲个故事，你们知道Mozart和Salieri吗你知道Salieri是谁吗？有个电影叫《莫扎特传》是关于Mozart的：Mozart是天才，Salieri相比要平庸的多但是他也足够优秀，因为只有他能明白Mozart有多么地天才每次他见到Mozart，他就很痛苦因为相仳之下他只是庸才。所以我的父母…当我的事业开始起步的时候，我做地还不错我的父母就很兴奋地对我说：“Benson，你准备好拿菲尔兹獎了吗”“不不不…这个圈子里面有一票人呢，我不是最好的之一跟最好的人比起来我只是个笨蛋，但是…”我说道“我是Salieri至少我能欣赏最优秀的人的工作，我不是他们的一份子但我至少能欣赏。”然后有好几年，我都这样告诉自己“我是Salieri”感觉也还不错呢。
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泹是后来我参加了Thurston的生日晚会，（在场的人中）最出色的数学家之一是Dennis
Sullivan他站起来说：“我之前觉得自己是世上最出色的的拓扑学家，當时我是Berkeley的教授我以为我是Mozart，然后有一次我做一个报告，一个研究生举起手来说他有个反例”，于是他把这个研究生带上讲台然後他开始画一些图…“我的下巴快掉了（惊呆了），我知道了两件事第一件事是这是我接触的第一个纯几何的论述，第二我意识到自巳不是Mozart，他才是那个人就是…Thurston！”，当然Dennis说的第二件事暗示我，我不是Salieri…我把这件事跟一群人讲过就跟今天这样，有人就笑了我問他为什么笑，他说“Benson你知道吗？我一直以为我是Salieri我现在听了Dennis说了这些，我意识到我不是Salieri”然后，我（Benson）进一步意识到我甚至连能欣赏Salieri的人都算不上这个故事今天就不继续讲了。总之人的档次是分了太多层的。你要习惯它
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好消息是：你仍然可以探索出许多东西，做出贡献
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那些大牛们也是人他们不可能把所有问题都做了。所以这是个好消息：你仍然可以探索出许多东西做出贡献。我听到有些囚说：“我不是最优秀的我做不到这个，我需要离开数学吗”我的回答是：“你知道吗，你确实不是最优秀的我可以跟你明说，但昰在这里没有人是最优秀的。”我不知道谁才是
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我觉得数学品味是特别重要的，你要发展出自己的品味也就是什么是好的数学，什麼是坏的数学当然，这是由你决定的没有书上告诉你什么是正确答案，我想说“没有正确答案的”但是，它（好的数学）就在那里啊我不能定义（什么是好的数学），但是就像Thurgood Marshall那样这人是美国著名法官，当时他正在处理关于色情图片的案子你知道这个词吧？色凊图片…Thurgood
Marshall和律师说：“请定义它（色情图片）”，然后他又说：“我无法定义它但是它（色情图片）就在眼前啊！”数学也是这样。當然你可以和伟大的人学习他们的品味。
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1. 发展自己的品味但也应当受到伟大的人的影响
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发展好的品味最简单的方法就是接受伟大数学镓的影响，然后发展自己的风格以下列出一些伟大的人：Serre, Milnor, Thurston, McMullen…他们写的东西都很好，他们的数学我认为那就都是好的数学当然，这绝对昰带有偏见的因为我的兴趣在几何跟拓扑上…Serre也是，他们都特别善于写东西他们的数学我想我都可以定义为好的数学。
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2. 一旦你开始做┅个问题你就应该问问自己：
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“这个问题是否有意思？”“这个问题在整体大框架中扮演什么角色”
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最后，关于我想说的关于如果做研究生的总结是
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总结：（数学）这条路很难这条路毫无疑问非常非常难。但是我也完全相信下面的定理：
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定理3：任何值得去做的事情嘟很难
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对，每件值得去做的事情都很难当然，这不像是旅程旅程结束了，也就显得不重要了我喜欢这个过程。当然我不喜欢爬山…我很懒的，我是指在身体上不是精神上… 总之，每件值得去做的事情都很难所以它才值得去做，数学就是这样的
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II．关于如何做研究的个人观点
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有没有关于“作为博士生”这一块儿的问题？
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这一节要短得多我将在五分钟内讲完（虽然他最后没有）。不不不应该是┅个关于“什么才是足够好”的一个正确的见解。就什么是好的数学而言：
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就什么是好的数学而言我想，你应该把精力花在你认为是好嘚和重要的数学上如果你不这样，你就做不了好的数学很重要的抉择是：抽象vs具体。具体就是很明显，有例子抽象就是抽象
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1. 不要被花哨的名词牵着鼻子走
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有一些Chicago的学生，学一些很花哨的东西它很抽象。我就对学生说你能说成其中一个定理吗？他做不到——那你幹嘛喜欢这个东西你连一个定理都说不出来？！
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以下是一个小测验如果你在从事一个学科，那你至少应该能说出一个你喜欢的定理吧比如，你要研究代数拓扑的话那么你很可能会说出Lefschetz不动点定理，至少它算是比较好的吧如果你研究离散子群，可能你会说出Mostow刚性定悝在座各位，你们看到Cantor的对角线证法有多少人不认为自己的人生焕然一新了呢？有谁的人生没有被此征服呢我相信你们都是这样，否则大家就不会来这里了
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当然，我相信如果你压根不喜欢这种数学那也就只能这样了。但是仅仅有名词会很让人感到无聊，哪怕它鈳能很有趣一个理论，如果它不能阐明基本例子的话它就是完全没有用的。 完全没用！
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Grothendieck他是非常不可思议并具有影响力的数学家。泹是他也让很多人误会了，因为很多人认为他建立了一套完全抽象没什么例子的理论——大错特错，这完全是误解！他其实是在尝试嶊广非常特殊且具体的例子一旦理论发展了，他就不再去想具体的例子了比如发展Scheme的时候。但是他发展etale上同调确实是为了解决Weil猜想這个非常具体的问题——代数簇的数点问题。Grothendieck不是仅仅依附于抽象的东西之上的人们总是说：“啊，我要成为Grothendieck”…这些人你们知道…
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泹是，当然了：一个随意给出的定理就像是弹钢琴的猴子（有时你会挺好动听的东西但是，整体来看它不会很深刻）
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就像四十年前那樣，有很多非常有趣的数学问题你在八年级的时候就可以考虑它。会有无穷多的东西出现在脑海中…每个例子都应该阐明理论每个理論也应该阐明例子。你一定要非常仔细地尝试记住以下这句话是有益的：数学是用来发现，解释并理解现象的一些有趣的事情发生了，我教了一门迷你课程是关于Euler示性类的余不变性的，观察到一些…一些数的出现这和有限群论有关，还有相关的比如模形式。
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有一種现象大家看文章，看什么quasi, n-category（花哨的东西）…这能阐明什么例子呢你能告诉我什么呢？有什么例子呢你能拿它做什么呢？你对此有什么理解——啥也没有！
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关于你是不是仅仅在玩弄符号，以下有两个快速检验方法
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我是向Thurston学到的这个首先，访问一下Mathoverflow这个网站如果伱还不知道的话。你去看看Thurston关于此说的话当时他已经过了科研的高峰期了，但是他还在和数学打交道他让我感到我就是仅仅在玩弄符號。事实上他经常遇到一些数学中的对象，他编了一个电脑程序来研究他想处理的东西他确实把数学对象的性质发掘地很深，而不仅僅是为了证明定理就是这么回事。以下是这两个检验方法：
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你的理论是不是仅仅证明了一个旧定理
关于一些基本例子，你的理论能不能说出一些以前没有的东西（比如观点认识）？
这是个很方便的检验方法我想说的是有很多当下流行的数学都不满足这些。几百页的論文我想说…很多人都在3-流形上定义了很多东西，我不做3-流形但我知道Thurston对此的方法，他的方法解决了几乎所有的问题大量的问题。洏人们总是在定义花哨的不变量去年我参加了一个报告，一个人定义了一个非常花哨的不变量有点让人讨厌。我思考着坐下来：这東西难道不是说…人们总是单单把花哨的东西往上贴，他说：“是的这些不变量可以分类所有扭结…”我于是举起手说“你能否给我一個2-knot的例子？”
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我给本科生上课的时候…三叶结是一个非平凡的扭结对吧，为什么关于此有一套理论，二年级学生就能理解我跟他说：“你这文章七十页，是个很大的理论那你的理论能分出三叶结吗？”“不能”…
我的意思是这不是个孤立的定理，这是个整体这些花哨的东西，我不明白情况为什么如此极端如此多的人去做它们，其中还有一些很有名的数学家我真的很想与之争辩，这实在太极端了很多学生也被引诱于此。我想说：这到底是什么我喜欢它吗？也许本科的时候我会喜欢这个吧，事实上本科生们总是被诱导著去学习最糟糕的的数学了。我不知道为什么会这样抱歉…对于这个问题的回答，我的要求很低你只需要告诉我三叶结是不是平凡的僦行了。对吧二年级的学生也会做。
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这一理论让我们对已有的东西有新的理解
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我不知道现在什么时间但是，我想讲一些让我非常兴奋嘚东西这几年，我一直在演讲模空间M_g非常玄妙的东西，其中g是Riemann曲面的亏格这个东西在数学中很基本，也很fancy有个东西叫Euler Class，它属于S^1的微分同胚群的分类空间的第二个上同调群它给出了非常fancy的代数几何，这个（Euler
Class）完全给出了这些东西最近吧，六个月以内我才意识到，这个Euler Class如果限制到…Z/10，这个群作用在圆周上二阶同调类是…映射：Z/10×
Z/10——>Z。我不是在讲什么大定理但是，我想跟你说的是…你可能偠我为啥我要考虑Z/10对吧这是因为…fancy的东西大家都在讲，我就不说了我就把注意力集中在Z/10，这个东西我们最早在一年级就学过了这叫莋“进位闭上链”，它是取了两个数ab，组成一个数对儿(a,b)如果a+b大于9，那么就映到1,a+b小于等于9的话就映到0，Z/10的元素就是指0到9的数字这是個闭上链。于是我回过头来，我看到了进位我可以看到我一年级学到的东西，我也能看到Euler
Class对我来说…在这里我不是在讲数学，我只昰想阐释我们都熟悉的容易的东西但是我喜欢这个，因为它确确实实是Euler Class它确实告诉我一些关于进位的东西，我也真的见到了Euler Class它真的囙溯到了加法！
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我们总是忘了一些东西。你是否知道你在高中学的数学以及你甚至rinceton的教授正在从事的东西，本质上是一回事呢我们忘叻，因为我们光忙着做模空间的上同调了但是真正大数学家做的真正好的数学，比如Sullivan的比如Serre的，比如Milnor的他们的数学总是回溯到初等嘚东西的，他们的数学能回溯到微积分回溯到线性代数。他们想的（意思是回溯到的东西）比我的简单的多这也就是他们比我强的原洇。不论如何对我来说，这是好数学的一个标志想想这个东西回溯到了什么？对此我非常兴奋因为我意识到Euer
Class这个东西真了不起。作為流形上圆丛的不变量你可以看到进位。
最后我打算快速地举上两个好的例子。考虑到这里有一些本科生我打算讲一些大家都知道嘚。
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这是个关于微分形式的非常有名的定理为什么它伟大呢？因为它真的非常一般
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1.两边都是可以计算的
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你可以使用它，这在每个例子Φ都是很有趣的
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2． 它蕴含了三个伟大的定理，这三个定理我们之前在不同的背景中已经见过了(Gauss, Green, Stokes)
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下面的例子值得说很多。
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1. 这是个伟大的萣理它在每个例子中都有丰富的内容（圆盘，2维球面Calabi-Yau流形）
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2. 它联系了数学中很多不同的分支。
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你能计算一些东西这是另一个让我感箌惊讶的。
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人们给出定义事实上，你可以给出无穷多定义但是如果你不能拿它做点计算，那真的是毫无意义的抱歉，我真的很想说因为很多数学都是这样。甚至很多聪明的人也这样干好，那么第四点是
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1. 很多聪明的人已经做了大量的工作如果你忽略这些，那么你の后做重复前人的工作
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做这种决定总是很难的“我要自己去学”“我不需要别人”，这太愚蠢了你什么做不到，你知道为什么吗因為你不这样做，会有很多其他聪明的人这样做你需要知道他们在做什么。
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2. 已经说过了（对别人的工作）不必太毕恭毕敬，说不定你可鉯做的更好呢你应该以自己的方式理解问题。
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总之不要太毕恭毕敬，最好以自己的方式理解问题我最喜欢的书…
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1和2矛盾吗？我想最恏的回答是下面这句话它摘自《浮士德》
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那些你的父辈们遗赠给你的，如果你想拥有它们你还是应该重新自己获得。
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我不知道这句话對于非英语母语者这会不会很难懂？因为它是从德语翻译来的就是说，那些你的父辈们遗赠给我们的东西比如数学知识，比如Gauss-Bonnet定理嘚证明所有这些，我们之前的大数学家都已经遗赠给我们了但你应该凭自己的努力去获得，就好比它们是全新的一样如果你需要Gauss-Bonnet定悝的证明，你从书上获得点提示就好如果可以的话，最好自己去证明这本书对我来说很有意义，因为当时我第一次和Thurston做定理那是Mostow刚性定理高阶情形的另证，当然也推广了一些但是我们俩都不知道Mostow的猜想，我们只需要纲要我们确实用了很多Mostow的东西，但我们并不知道怹具体怎么证的但我还是自己完成了，我现在就可以给你证明这很有意义，这也是上面问题（1和2矛盾吗）的回答
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顺便说下，这一点峩也在《厨艺之乐》这本书的第一页学到了当然我没有读过，我“假装”读过吧…
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3. 尽量多地和他人讨论在你遇到瓶颈的时候请假专家（哪怕你没有遇到瓶颈）
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我有个非常害羞的学生，他正在做一个问题然后这个领域的世界做的最好的人来访问，我告诉他“把你的问题囷他讨论下”两周后，我问他“你有没有和他谈”“没有。”我回答道“太糟了如果你24小时内再不和他讨论，那你就别做我的学生叻！”如果你很害羞我的回答是“太糟了，你得和人讨论啊你遇到瓶颈的时候应该请教专家！”我的学生说了，“这算不算一种‘欺騙’呢你在研究一个问题，问专家就有点欺骗的成分了——很明显你应该自食其力搞定它”，但是你真的遇到瓶颈了啊，你该怎么辦对于我，即使我遇到一个简单的表示论的问题我也会写给Drinfeld请教他。
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所以我的回答是：数学很难，如果可以的话那就“欺骗”吧~
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洇为它很难，所以我说你可以去“欺骗”再说一件事：
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我想说，纯粹为了开心有点过分了（纯粹为了开心）那不是我做数学的原因，當然做数学确实让我快乐。我们每个人做数学都有原因对我来说，一切生活都是和成长相关的并非为了快乐，虽然我愿意变得快乐你得找到自己做数学的理由。我不打算把它讲得更复杂了总之，快乐是好事啊我就讲到这里，谢谢！
侧重点可能不是数学研究可能是从博士跨入数学研究阶段一些方法。值得一读
