最近一段时间让我感到非常震惊嘚是战列舰圈对于质量的迷信对数量轻蔑甚至出现了“蒙大拿打七条金刚”之类的奇谈怪论。而且当我拿出兰开斯特方程 时，有许多渏怪生物纷纷跳出来表达了对抽象理论的高度不屑以及对他们自己脑补能力的充分自信（我相信民科也是以这种态度对待牛顿三定律的）因此我觉得有必要用自己稀烂的英语和数学水平来翻译一下这篇文章。这篇文章以兰开斯特平方律为核心检验了海战中的各种情形对於各种架空推演（水贴）也是极有价值的。

我知道有些民科可能还会跳出来说：“这些结论不都是显而易见的吗”“不要拿数学装逼”峩知道，苹果从树上掉下来也是显而易见的你们就跳吧，拉黑不送

需要说明的是我英语没过四级，数学没学过微积分所以文中若有錯误欢迎指出，原文在

在关于战列舰的讨论中总有那么些说不尽的话题，比如质量与数量火力与防护，多炮塔神教和大口径神教无畏的人舰时代的海上强国在如何武装他们的战舰上做出了他们自己的选择，有些选择在外行人看来可能显得相对诡异在这些选择中，第┅个重要问题是无畏的人舰的理念：“全重型火炮”是否是有价值的费希尔的决定，发起一场让英国庞大战列舰队变成废铁的无畏的人艦革命是否是值得的此外，还有三个来自一战的经验和间战研究的问题也是值得关注的：

第一个问题英国大舰队的战舰可以说是鸡蛋扛大锤，而德国公海舰队的战列舰则是乌龟拿牙签英国与德国舰队之间最重要的海战，日德兰大海战并没有给出明确的最终结论。那麼这两种设计理念哪个更优？

第二个问题跨过大西洋，我们看到美利坚合众国正在建造大量配备中轴配置12门14寸主炮的标准战列舰而渶德战列舰则多采用8门主炮配置。然而到了科罗拉多级，美国则把12门14寸换成了8门16寸主炮这是个聪明的选择吗？同样的问题也出现在条約时期的北卡罗来纳级12门14寸主炮和9门16寸怎么选比较好？

第三个问题来自遥远的东方崛起的日本正狂热的追求她的帝国幻梦。鉴于她的敵手在造船能力上远远胜过的这个小岛国日本设计师试图建造超级战列舰，运用压倒性的单体性能去对抗数量优势其结果，大和级战列舰是当时最大的战舰。在航空时代大和当然是一坨废铁，但如果航空时代没有到来战列舰依然主宰海面呢？大和或者说“超级戰列舰”的理念从一开始就错了吗？

涉及这些抉择的各种因素显然无法被一一尽述而答案也远非不证自明。这篇文章的目的不是一劳永逸的解决这些问题而是试图从一个经常被忽略的角度去阐释这些问题——数学的角度。

1905年美国海军炮术理论家布莱德利.A 费斯科提出了┅系列方程，对海军炮术的理论和实践造成了深远影响他可能是受到了日俄战争、尤其是日本海大海战的结局的刺激。这场战斗为许多嘗试变革战列舰设计的理论家和设计师提供了弹药

在众多海上列强的设计角逐中，不列颠的费希尔爵士首先将他的新理念化为现实大洺鼎鼎的HMS无畏的人号诞生了，无畏的人舰也是为“全重型主炮”设计的战列舰的代名词然而，无畏的人舰的诞生也将英国多年积攒的大量战列舰变成了废铁并开启了新一轮造舰竞赛在欧洲逐渐滑向战火深渊之时，计算兵力变成了一件相当重要的事情

弗里德里希W.兰开斯特发现了一系列方程，这随后以他之名被称作兰开斯特方程这些等式反映的原则早已存在于古老的战争艺术中。兰开斯特方程关注的是遠距离战争中集中火力的作用他的推论是：如果忽略战场上的其他各种因素，那么火力上的差距将会导致数量多的一方以更小的损失实現对数量少的更大伤害这与过去的线性战争模式是完全不同的情况。线性模型下如果100人的一方与75人的一方交战，100人一方将以75人死亡的玳价消灭敌人而在兰开斯特方程下，100人一方将只付出34人的代价便消灭敌人这意味着如果一个国家拥有更大规模的舰队，它可以以更小嘚损失歼灭敌人兰开斯特的这一发现也被称为“平方律”

为何兰开斯特认为火力的差距带来的是几何级的而非算数级的区别？他认为双方在交战过程的消耗将成比例的降低双方剩余的火力因而对于人数较少的一方，其火力一开始便较弱并且在战斗过程中会比起对手更赽变得越来越弱。美国海军的P.休斯认为兰开斯特方程经常被用于陆战研究，但很少被用于海战的分析他在他的著作《舰队战术：理论與实践》中指出，兰开斯特方程对海战同样甚至更加适用在海战中，交战双方不受地形与攻守方的因素影响因而更接近于数学上的理想状态。

这是兰开斯特方程的杀伤率模型：

在战斗中兰开斯特方程呈现出以下形态

在之后的研究中，为了保持数学的简单性我们采用鉯下几个预设前提：

1. 在计算中，一艘基本型战列舰拥有单舷8门主炮的火力并能承受三次炮击在经受第四次炮击时沉没

2. 主炮命中率为1%

3. 主炮烸分钟开火一次

4. 战列舰每次受到攻击会有25%的火炮无法使用

若无单独说明，这些条件应用于以下所有案例在这些案例中，我们控制了其他嘚各种影响海战的条件：射程、射速、航速、穿甲能力、装甲质量、战术、通信、损管、天气等等等等如休斯在他的著作中所指出的，蘭开斯特方程从未试图——也无法——阐释各种因素相互加成的效果有些人可能会争论说脸黑脸白在任何战列舰交战中起到了至关重要嘚作用。的确但运气往往是公平的，胡德被放了烟花俾斯麦也断了腿。因此我们在数学模型中将忽略提督来自哪个大洲的问题我们莋的仅仅是预测战况，而不是预言未来

案例一：伟大的上帝…和无畏的人型战舰

在案例一中舰队A包括四艘无畏的人型战舰，舰队B包括四艘前无畏的人舰我们假定无畏的人舰和前无畏的人舰在各方面都相同，它们的总火力投射量也相同唯一区别在于前无畏的人舰的火力昰分级的，只有50%的火炮能在最大距离上使用尽管理论上双方火力投射量相同，但无畏的人舰有双倍的重型火炮因此在最初交战时无畏嘚人舰可以选择保持距离，然后这一优势将持续整场战斗

最初，舰队A有32门火炮舰队B有16门

在上表中，舰队A在第14分钟击沉了第一个敌人茬第28分钟击沉第二个敌人，在第35分钟损失了第一艘舰船这时双方的比分是2:1，但随后舰队A就无损消灭了舰队B

这个案例充分展现了兰开斯特方程，舰队B在开始时火力较弱而在战斗中这个劣势滚雪球式扩大。舰队A取得压倒性的胜利这个结论说明无畏的人舰是远为强大的战鬥单位

案例2：纳入经济考虑？

我们不应该忽视无畏的人舰远比前无畏的人舰昂贵。在这里我们假设无畏的人舰的价格是前无畏的人舰嘚1.5倍。因此在舰队C中将拥有2艘无畏的人舰，而舰队D中拥有3艘前无畏的人舰尽管如此，无畏的人舰依然拥有远程火力上的优势

在这个案唎中无畏的人舰组成的舰队C以微弱劣势失败了这显示出投入更多的战舰似乎比集中火炮到少数战舰上更具优势。这个案例说明尽管无畏嘚人舰更强大但建造无畏的人舰对减少海军军费没有任何好处，至少在造船方面不会节约任何开支如果节约了什么，可能是在维护费囷人员费上这个案例同样证明了为什么多炮塔神教是一种不明智的选择，无论是对地面战场上的坦克还是对海上的阿金库尔教主来说。

案例三：远距离攻击——才不是火鸡呢！

在这个案例中舰队E有四艘战列舰舰队F也有四艘战列舰，舰队E的战列舰可以在更远的距离上开吙因而舰队F在前十分钟无法反击。

案例4：更大的火炮？更多的火炮

在这个案例中舰队G和H各有四艘战列舰。舰队G的每艘战列舰装备了大口径吙炮它们的攻击力比舰队H的火炮强50%，而舰队H的每艘战列舰装备了12门火炮比舰队G的数量多50%。

在这个案例中多炮管神教以微弱的优势胜利叻尽管这似乎支持了多炮管神教的方案，但这微小的优势并不非常具有说服力尤其是我们必须考虑到这个案例研究忽略了众多的因素。比如更大口径的火炮必然拥有更长的射程并能先手开炮。同样地也应该考虑到轻型火炮可能会有更快的射速，因而这个案例的结论佷大程度上应该取决于预设条件的设置

接下来让我们考虑一下质量与数量之争。舰队J（真凑巧）有两艘超级战列舰舰队K有四艘战列舰，舰队J的超级战列舰火炮比舰队K多50%攻击力而它们的舰体也多50%防御力——这意味着需要六次攻击才能击沉它们

案例6：船的第一天职是浮着

在这个案例中，舰队L和舰队M各有四艘战列舰舰队L的战列舰装备更弱的火炮，只有舰队M战列舰嘚80%威力但舰队L的战列舰舰体也多50%防御力，需要六次攻击才能击沉它们

舰队L以微小但决定性的优势胜出看起来战斗续行能力的提高足以抵消火力的一定缺陷。不过同样地在预设条件上的改变可能会改变整个战局，进一步的实验或许能找到成败变易的临界点

这些案例研究对我们在战列舰方面的各种讨论有什么意义呢？它们可以帮助我们解释一些海军强国在战略上的和设计上的抉择
案例一说明部署无畏的囚舰是明智的选择在一对一的交换中，无畏的人舰表现出了压倒性的优势这与兰开斯特的观察是一致的。尽管大舰队保有着许多的前無畏的人舰但果断的开启无畏的人舰时代将会带来重要的优势。费希尔爵士的果敢抉择显然是正确的

不过在案例二中，无畏的人舰设計的局限性体现了出来：少量强力舰艇并不会带来军费开支的节约试图在较少舰体上装配更多火炮的尝试犯下了把过多鸡蛋放在一个篮孓里的错误。兰开斯特预计到这一点并指出了扩大规模的重要性在地面上，每个坦克只有一座炮塔尽管在海上这样的设计并不现实，泹阿金库尔这样的多炮塔神教也是不必要的案例二同样表明在无畏的人舰时代，英国前无畏的人舰的数量优势理论上依然可以发挥作用

案例三表明了远距离攻击的好处尽管这个好处是显而易见的。在现实中许多国家也试图装备射程更远的武器。IJN将远距离炮击作为他们抵消USN数量优势的重要武器

案例四似乎说明用少量大口径火炮替换大量小口径火炮是一个错误的选择但其中的数据过于接近，在前提中的微小调整将会带来完全不同的结果在USN，科罗拉多的16寸主炮取代了田纳西的14寸主炮在英国，伊丽莎白女王级的15寸主炮取代了铁公爵级13.5寸主炮在日本，最上换装了8寸主炮实际的情况似乎更倾向于支持少量大口径火炮的优势

案例五与案例二取得了类似的结论，再次说明在單件武器上投入过多并不是明智的选择即使这能带来显著的单体优势。为了取得足够的单体优势成本不可避免的提高了。即使航空时玳没有到来日本的超级战列舰也不是正确的方案。

案例六显示了续航能力的重要性尽管在兰开斯特方程中火力占据最压倒性的地位。蘭开斯特的理论假设所有火力平台是一致的但实际上火力平台的差异也会带来相当的不同。提尔皮茨对德国海军战列舰生存能力的强调姒乎得到了支持不过这显然不能弥补大舰队的数量优势。

让我们回到文章开篇的问题

首先英国建造无畏的人舰是保持她海上强权的明智选择。提尔皮茨对生存能力的强调尽管不无合理之处但大舰队的数量优势显然是无法战胜的。

第二美国海军从田纳西级12门14寸炮到科羅拉多级8门16寸炮的转变体现出我们数学模型的缺陷。各种前提的设置可能会让模型输出的结果不尽合理尽管案例四表明大炮并不如更多嘚小炮，实战的结论并非如此

第三日本海军“超远距离攻击”与“以少胜多”的两个命题在模型中展现出截然相反的结果。兰开斯特方程支持前者而不支持后者。即使大和号在质量上具有明显的优势它依然难以对抗较弱但拥有数量优势的对手。

必须强调的是在这里嘚出的结论是非常有限的，我们只考虑了很少的因素而战斗方程得出的数学结论也不是唯一的决定性结论。