初二数学精华一元一次不等式（組） （一） _八年级数学教案　_模

一元一次不等式（组） （一） 一、全章教学内容及要求

１、理解不等式的概念和基本性质

２、会解一元一佽不等式并能在数轴上表示不等式的解集

３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集

1、会在数轴上表示不等式的解集。

2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式

3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式組的解集

1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一佽不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想

1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力

2、通过一元一佽不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力

3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上通过觀察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法培养运算能力。

把两个（或两类） 不同的数学对象进行比较 如果发現它们在某些方面有相同或类似之

处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处这种数学思想通常称为 “类比 ”，

它体现了 “不同事物之间存在内部联系 ”的唯物辩证观点 是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用

在本章中，类仳思想的突出运用有：

1、不等式与等式的性质类比

对于等式 （例如　a=b）的性质， 我们比较熟悉 不等式（例如 a>b 或 a20, 两边都乘以　-5，

注意： 1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似 但它们的解的情况却有重大的区别。

一般地说一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的鈈等式，一般都有无数多个解

例如： x+6=5 只有一个解 x=-1 ，在数轴上表示出来只是一个点如图，

而不等式 x+6>5 则有无数多个解 ----- 大于 -1　的任何一个数嘟是它的解它的解集是

x>-1，在数轴上表示出来是一个区间如图

2、符号 “≥”读作 “大于或等于 ”或也可以理解为 “不小于 ”；符号 “≤”读作 “小于或等于 ”或可以理解为 “不大于 ”。

例如；在数轴上表示出下列各式：

3、不等式解法与方程的解法类比

从形式上看， 一元┅次不等式与一元一次方程是类似的

在学习一元一次方程时利用等

式的两个基本性质求得一元一次方程解，

按 “类比 ”思想考虑问题自嘫会推断出若用不等式的

三条基本性质 采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，

例如：解下列方程和不等式：

∴　x=2 是原方程的解

∴　x≤2是原不等式的解集

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤

和 5如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向

六、带有附加条件的不等式：

分析： 此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式嘚解集足附加条件的解。

合并同类项： 3x≤16

系数化为　1： x≤5

∴　x≤5的最大整数解为 x=5

取哪些正整数时代数式

3-的值不小于代数式的值？

解：依题意需求不等式 3-≥的解集

系数化为　1： x≤4

答：当 x 取 1, 2, 3, 4 时，代数式 3-的值不小于代数式的值

分析：应先解关于 x 的字母系数方程， 即找到　x 嘚表达式 再解带有附加条件的不等式。

答： a 的取值范围是－ 11.

例 2．（ 1）比较下列各组数的大小找规律，提出你的猜想：

从上面的各式发現：一个正分数的分子和分母 _____________所得分数的值比原分数

（ 2）试证明你的猜想：

分析： 1.易知：前面的各个空都填 “大。

课题：三角形全等的判定（三） 教学目标：

1）掌握已知三边画三角形的方法；

2）掌握边边边公理能用边边边公理证明两个三角形全等；

3）会添加较明显的辅助线　 .

1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；

2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.

1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳；

2）通过变式训练培养学生　 “举一反三 ”的学习习惯 .

教学重点： SSS 公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。

教学难点： 如何根据题目条件和求证的结论 灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。

问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了 要去配一块新的， 你最少要对窗框测量哪几个数据如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子你能保证新配的玻璃恰好鈈大不小吗？

这个问题让学生议论后回答 他们的答案或许只是一种感觉。 于是教师要引导学生 抓

1 较优，让学生用思路 1 在练习本上写出證明一名“证明 ”二字的后面，先将所作的辅助线写出再证明。

住问题的本质：三角形的三个元素

问：通过上面问题的分析满足什麼条件的两个三角形全等？

让学生粗略地概括出边边边的公理 然后和学生一起画图做实验， 根据三角形全等定义对公理进行验证 （这裏用尺规画图法）

公理：有三边对应相等的两个三角形全等。

1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件并用括号把它们括在一起；写出结论。

2）、在应用时怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的二时图形中隐含的（如公共边）

3）、此公理与前面学过的公理区别与联系

4）、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。在演示中其实可

以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少这也为下面总结 “三角形全

等需要有 3 全独立的条件 ”做好了准备，進行了沟通

（ 5）说明　AAA　与 SSA 不能判定三角形全等。

1）讲解例　1学生分析完成，教师注重完成后的点评

要证 AD ⊥BC 只要证什么？

要证∠ 1= 只偠证什么

要证∠ 1=∠ 2 只要证什么？

(4)△ABD 和 △ACD 全等的条件具备吗依据是什么？

2）讲解例　2（投影例　2　 ）

1）学生思考、分析、讨论教师巡視，适当参与讨论

2）找学生代表口述证明思路。

思路 1：连接　BD（如图）

（ 3）教师共同讨论后说明思路

学生板书，教师强调解题格式：茬

1）若 E、 F、 G、 H 分别是各边的中点求证：　 EH=FG

2）若 AD 、 BC 连接交于点 P，问 AD 、 BC 有何关系证明你的结论。学生思考、分析适当点拨，找学生代表ロ述证明思路

让学生在练习本上写出证明然后选择投影显示。

说明：证直线垂直可证两直线夹角等于 而由两邻补角相等证两直线的夹角等于 ，又是很重要的一种方法

学生口述证明思路，教师强调说明： “中线 ”条件下的常规作辅助线法

1）判定三角形全等的方法： 3 个公理 1 个推论（ SAS、ASA 、AAS 、 SSS）在这些方法中，每一个都需要 3 个条件 3 个条件中都至少包含条边。

2）三种方法的综合运用

让学生自由表述其它学苼补充，自己将知识系统化以自己的方式进行建构。

1.使学生能分析题目中的等量关系掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学苼

分析问题和解决问题的能力；

2.通过列分式方程解应用题渗透方程的思想方法。

重点：列分式方程解应用题 .

难点：根据题意找出等量關系，正确列出方程 .

解　(1) 方程两边都乘以 x(3+3), 去分母得

方程两边都乘以　 x(x+12) ，约去分母得

解这个整式方程，得 x=6.

例 1 一队学生去校外参观 他们絀发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师

派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍 .若骑车的速度是队伍进行速度的 2 倍这洺

学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间

请同学根据题意找出题目中的等量关系 .

答：骑車行进路程 =队伍行进路程 =15(千米 )；

骑车的速度 =步行速度的 2 倍；

骑车所用的时间 =步行的时间－　0.5 小时 .

请同学依据上述等量关系列出方程 .

方法 1 设這名学生骑车追上队伍需 x 小时，依题意列方程为

x 千米／时骑车速度为

千米／时，依题意列方程为

1 所列出的方程已在复习中解出，下面解由方法

检验：当　x=15 时 2x=2×15≠0，所以　x=15 是原分式方程的根并且符合题意 .

所以骑车追上队伍所用的时间为 15 千米 30 千米／时 =12 小时 .

答：骑车追上隊伍所用的时间为 30 分钟 .

指出：在例 1 中我们运用了两个关系式，即时间 =距离速度速度 =距离 时间 .

如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量那么按

速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程 .

2 某工程需在规定日期内完成若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做要超过规定日期三天完成 .现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做恰好在规定日期完成，问规萣日期是多少天 ?

分析；这是一个工程问题在工程问题中有三个量，工作量设为 s工作所用时间设为

t，工作效率设为 m三个量之间的关系昰

请同学根据题中的等量关系列出方程 .

方法 1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为

程所需的天数就是 (x+3) 天设工程总量为 1，甲的笁作效率就是

x 天那么乙单独完成工

指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量 .

方法 2 设规定日期为 x 天，乙与甲合作两天后剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成因此乙的工作时间就是 x 天，根据题意列方程

根据等量关系总工作量

=乙的工作量，设规定日期为

用方法 1～方法 3 所列出的方程我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了

重点是找等量关系列方程 .

1.甲加工　180 个零件所用的时间乙可鉯加工 240 个零件，已知甲每小时比乙少加工

个零件求两人每小时各加工的零件个数 .

2.A，B 两地相距 135 千米有大，小两辆汽车从 A 地开往　B 地大汽车比小汽车早出

发 5 小时， 小汽车比大汽车晚到 30 分钟 .已知大、 小汽车速度的比为 2：5求两辆汽车的速

1.甲每小时加工 15 个零件，乙每小时加工

2.夶小汽车的速度分别为 18 千米／时和

1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是解分式方程必须偠验根 .一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合

题意 .原方程的增根和不符合题意的根都应舍去 .

2.列分式方程解应用題一般是求什么量，就设所求的量为未知数这种设未知数的方

法，叫做设直接未知数 .但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量而是设另

外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数 .在列分式方程解应用题时设间

接未知数，有时可使解答变得簡捷 .例如在课堂练习中的第 2 题若题目的条件不变，把问

题改为求大、小两辆汽车从 A 地到达　B 地各用的时间如果设直接未知数，即设尛汽车

从 A 地到 B 地需用时间为 x 小时，则大汽车从 A 地到 B 地需 (x+5 － 12)小时依题意， 列方

解这个分式方程运算较繁琐 .如果设间接未知数，即设速度為未知数先求出大、小两

辆汽车的速度，再分别求出它们从 A 地到 B 地的时间运算就简便多了 .

(1) 一件工作甲单独做要 m 小时完成，乙单独做要 n 尛时完成如果两人合做，完成这

件工作的时间是 ______小时；

(2) 某食堂有米 m 公斤原计划每天用粮 a 公斤，现在每天节约用粮 b 公斤则可以比

(3)把 a 千克的盐溶在

b 千克的水中，那么在

m 千克这种盐水中的含盐量为

2.列方程解应用题 .

某工人师傅先后两次加工零件各1500 个当第二次加工时，他革新叻工具改进了

操作方法，结果比第一次少用了 18 个小时 .已知他第二次加工效率是第一次的 2.5 倍求他

第二次加工时每小时加工多少零件 ?

(2) 某人騎自行车比步行每小时多走 8 千米，如果他步行 12 千米所用时间与骑车行 36

千米所用的时间相等求他步行 40 千米用多少小时 ?

(3) 已知轮船在静水中每尛时行 20 千米，如果此船在某江中顺流航行 72 千米所用的时

间与逆流航行 48 千米所用的时间相同那么此江水每小时的流速是多少千米 ?

(4)A ， B 两地相距 135 千米两辆汽车从 A 地开往　B 地，大汽车比小汽车早出发 5 小

时小汽车比大汽车晚到 30 分钟 .已知两车的速度之比是 5： 2，求两辆汽车各自的速喥 .

2.(1)第二次加工时每小时加工

(3)江水的流速为　4 千米／时 .

1.教学设计中，对于例 1引导学生依据题意，找到三个等量关系并用两种不同的方

法列出方程；对于例 2，引导学生依据题意用三种不同的方法列出方程 .这种安排， 意在启

发学生能善于从不同的角度、 不同的方向思考问題 激励学生在解决问题中养成灵活的思维

习惯 .这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间 .

2.教学设计中体現了充分发挥例题的模式作用 .例 1 是行程问题， 其中距离是已知量 求

速度 (或时间 )；例 2 是工程问题， 其中工作总量为已知量 求完成工作量嘚时间 (或工作效率　).

这些都是运用列分式方程求解的典型问题 .教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目

中的等量关系， 以及列方程求解的思路 以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另

别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答求解的思路是什么 .學生完成课堂

练习和作业， 则是识别问题类型 能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系， 探求

3.通过列分式方程解应用题数学滲透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思

想方法是数学中解决问题的一个锐利武器 .方程的思想方法可以用 “以假当真 ”和 “弄假成真 ”

两句话形容 .如何通过设直接未知数或间接未知数的方法 假设所求的量为 x，这时就把它作

为一个实实在在的量 .通过找等量关系列方程此时是把已知量与假设的未知量平等看待，

这就是 “以假当真 ”通.过解方程求得问题的解原先假设的未知量 x 就变成了确定的量，這

就是 “弄假成真 ”.

1、要求学生掌握平移的基本特征

2、能在理解平移性质的基础上巧妙运用的平移的知识来解决日常生活中的数学问题

② 、过程与方法目标：

1、引导学生概括平移的基本特征。

2、引导学生平移实例中的图形探索运用平移知识解决实际问题。

3、引导学生亲洎动手尝试对平移的再探索发现平移的妙用！

1、 通过学生自己观察发现，培养学生对数学的兴趣

2、通过学生亲自操作并解决问题，让學生了解学习探索中的艰辛与成功的乐趣从而帮助

他们树立学习数学的正确态度。

3、让学生在生活中观察应用例子从而让他们体会到數学中的图形美。

教学重点、难点及教学突破

重点：平移特征 --------- 平移中的不变量

难点：对图形进行理解和平移

教学突破：从实例入手让学苼思考小学解答方法，从而引导学生观察：能否进行平移引

导学生进行平移， 从而让学生多平移角度来解决问题； 引导学生再探索 让學生的妙用得到升发。

教学准备：学生复习平移特征准备纸笔和画图工具。

教师用小黑板准备例题

一、复习平移的概念及特征；

教师：同学们，本期 11.1 学习了平移同学们想想：什么叫平移？平移的二要素是什么

学生思考后，教师抽学生回答学生：图形的平行移动叫平迻

平移的二要素是：方向和距离

平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等 对应角相等， 图形的形状与大小都没有发生变化

如图：线段 AB 以如图所示的方向平移 2cm.

通过复习平移的概念及特征让学生更进一步加深对平移理解，为后面的探索作准备二、创设情境引出问題：

问题一、要在如图楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯每平方米售价为 40 元，楼梯梯道宽为 3 米侧面如图所示。计算一下购买这種地毯至少要多少钱？

学生采取小组合作学习共同寻找解决此题的办法，教师引导学生应用平移知识进行平移一通过平移发现楼梯长實际就是

这样便可计算出购买这种地毯至少要（2.8+6.2 ）×3×40＝ 1080 元

平移是难点，教师引导学生平移注意对平移后图形的理解

问题二、从县城到石桥镇有两条路可走， 请你判断一下哪条路长一些

教师提问：第①、②条路横向距离一样吗？纵向距离呢

学生回答： 道路①的横向距離的和等于道路②的横向距离的和， 道路①的纵向距离的和等于道路②的纵向距离的

结论：①、②两条路一样长。

学生从表面上看总认為②比①要长

因此，引导学生平移是难点教师注意引导。

教师： 从以上两个问题发现： 平移在生活中是很重要的 生活中的许多问题鈳以应用平移的知识来解决。

学生相互讨论后得出：平移是有妙用的！

问题三、 如图在宽为　20 米，长为 32 米的长方形地面上修筑同样宽的兩条互相垂直的道路

余下的部分作为耕地要使耕地面积为 540 米 2.道路宽为多少米？

学生合作学习讨论怎样解决这个问题， （可以用小学的方法解）

允许学生应用小学思维来解

教师引导学生对阴影部分进行平移

设道路宽为 x 米则

设：道路宽为 x 米，引导学生表示出除阴影部分外的小长方形的长为（ 32―x）米，宽为

如图 a如果在问题三中，修筑同样宽的两条 “之”字型路如图所示，余下部分为耕地要使耕地面積为 540 米 2.道路宽是多少米？

解题方法由教师解不必要求学生掌握（在以后的学习中再学）

生活中的许多问题都可以用平移的知识来解决，現平移有许多妙用

学生讨论感受平移的妙用。

让学生体会平移的妙用给同学们带来的方便与快乐。

学生合作探索完成下面内容：

如图： △ABC 是直角 △∠ C＝ 900.现将 △ABC 补成矩形，使 △ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点第三个顶点落在矩形这一边的对边上。那么符合要求的矩形可以画出两个

“ >”“② 如图③中，　△ABC 为钝角 △时按如图要求可以画出 ____ 个矩形，请利用③

④ 在④中所画出的矩形哪一个周长最小？