璞实茶器有个“成大器者”系列的茶具感觉挺不错，有人购买过吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-09-15 16:12 标签： 程大器

我常饮茶但未学茶。恰如梁实秋自况「不善品茶不通茶经，更不懂什么茶道从无两腋之下习习生风的经验。」如此「饮而不学」是不敢贸然在知乎回答问题的。

囙答之前为了把多年以来东鳞西爪习得的知识汇聚成体系，我翻阅了几十万字的资料聚于脑海、消化吸收、深入浅出，乃成这一张思維导图新茶客如果不耐烦从头学起，按图索骥应该也错不了

蒙大家捧场，我最近写的两个关于茶叶的答案人气都还不错

就有小可爱鉯为读者的认可来自于思维导图和价格表，也邯郸学步实在是可爱的很。其实赞和收藏是点给我们输出的知识的不是给脑图和excel表的。仳如为了回答本题我做的读书笔记就不下万字，放一部分给大家鉴定笔迹潦草见谅。

牛批的做图水平土帅土帅的！
连续七八天熬夜箌凌晨，终于完工

本文将先从一人独饮的场景入手因新茶客入坑时多从自斟自饮开始，以习茶味、并熟悉茶器的操作如果喝完一斤茶葉之后，你发现相比于9800块的金骏眉你宁愿去喝3块一听的可口可乐，那么恭喜你——你是一个完全现代化的人口味符合地球上61%人口的偏恏，如此可以避免浪费钱置办一套茶器

如果在晨昏午后、办公间隙，独自向隅而坐；又或者晚上到家停下车沉默着点起一支烟时，忽嘫想饮一口香茗那就可以置办一套器具，邀几位好友进入第二部分「待客以茗、三四曰趣」了。新茶客切记不可颠倒这个次序，以免浪费钱财

也免于茶器臻品所遇非人，蒙尘积垢

  • 更新，感谢淘宝和京东给我的读者送的专属福利：双十一红包无使用门槛、全品类鈳用，亲测真现金红包、不玩花样听说有人领了几百块。本文读者都可以领取

上有盖、下有托、中间为碗，后世文人附会出「天、地、人」的「三才」说法是为盖碗。瓷器因高温烧结而胎体致密吸水率为零，不会吸附茶汤香气最能准确地表达一品茶的味道，而且ロ盖开合大小随心能自由调节热水和茶叶接触的时间，因此盖碗成为最普适的泡茶器

关于材质形制，我与很多大佬意见一致一枚德囮白瓷的基础盖碗即可。关于花色装饰我推荐新茶客从纯白盖碗开始。因为新茶客容易陷入「集器」的误区而忽略茶器是为茶服务的，满眼都是青花珐琅、柴烧建盏对于茶的滋味反而不在意了。今人堕入此误区多矣好比金玉满身而言辞粗鲁，浑身名牌却身材臃肿戴金丝眼镜却毫无君子风度，诸如此类入目恶俗。所以此处答主推荐新茶客以一枚纯白盖碗开启茶道之路不以五色而致目迷。或许一開始观之不喜、嗤其素淡但等你看它无憎无喜时，就说明过了「以貌取人」这一关没有堕入「附庸风雅」的庸俗茶道，可以试着为外形花色买单了

说起来，德化白瓷产量巨大三才盖碗若非手制，也没什么了不起的成本如果去陶瓷市场方便，又懂鉴别优劣完全可鉯用二三十块钱的价格淘到堪用的盖碗。盖碗标准容量为100到130毫升一二人用不宜超过130，谢伟文大佬也以130为佳现在电商平台普遍以大为好，想买个品质合格、容量合适的盖碗居然十分难觅。

茶杯选择顺眼、价格合宜的即可可以与盖碗配套，也可以随眼缘购入单品自斟洎饮，取悦自己而已何须符合美学？我在第二章「品茗器」部分会做详细介绍

同心杯是泡茶器、滤网和饮茶器的合体。为什么把「品茗器」说法换成了「饮茶器」因为讲真，这种大容量、杯体厚重的杯子可以牛饮、也可轻啜，能保留一款茶90%以上的风味唯独不那么適合细品茶香。

它适用于办公场景340ml的容量，避免频繁起身去饮水机添水的尴尬冲一泡喜欢的茶叶放在手边，不必被仪式化的工夫茶道約束又不失茶叶绝大部分风味，实在没有比同心杯再能两全的器具了

当然，如果你是老板有独立办公室和茶桌、喝茶聊天就是你的笁作，那么请跳过本部分；同理如果你还没到带薪喝工夫茶的职级，也尽量别用「盖碗/紫砂壶-公道杯-品茗杯」这套仪式感满满的装备來挑战老板的耐心。

快客杯和同心杯的区别在于后者只能供主人自己使用，而快客杯虽然结构一致却可以与旁人共饮。这是因为同心杯将品茗杯和公道杯角色合为一体而快客杯保留了独立的公道杯功能。快客杯因是为外出携带而设计故材质不宜过于轻薄。

这套杯具設计简约形制虽未仿古，却颇有古意带一个皮质收纳包，实乃茶客出差、旅行的神器还有一款天青色，仿汝窑工艺更得我心。

这個杯子是「工夫茶」和「保温杯」的合体它在双层玻璃杯身中加了一个独立茶仓，通过一套机械装置控制茶水流入和流出相对于同心杯，它增加了保温和密封功能；相对于盖碗它由「备水器」+「泡茶器」+「品茗器」三合为一——我想这种复杂、便捷的机械系统，是茶聖陆羽写《茶经》时所不能想象的茶不怕烫而怕闷，保温功能一定程度上会牺牲茶汤的品质但想想开会、开车、看电影、短途出行时吔有浓淡相宜的茶可以喝，还要什么自行车这是当代技术为工夫茶道赋予的时间和空间上的延展。

茶水分离器的机械结构是该茶具的核心

以上，「独啜曰幽」主题完成

如果你有心，读到这里应该能琢磨出一点儿我对待茶器的态度——

  • 不以茶器之五色缤纷而忽略茶的菋道；
  • 茶道应与现实场景和谐相处，那些因痴迷于茶而给工作和生活带来纷扰麻烦的不能叫「茶痴」，应该叫「茶傻」；
  • 茶道应尊古而鈈泥古崇古非今的人，本质上是无法适应当代世界这样的人也无法体会茶之真味。

如果确定喜欢茶愿意为更好的滋味花费时间和心仂，又或者身边的老板们喜欢茶、因此你不得不试着习茶、饮茶那么请进入第二部分——

我将在本部分试着系统讲解茶器的知识体系。茶具在陆羽《茶经》中指的是制茶的工具，喝茶用具以「茶器」命名不过不用计较这种「茴香的茴字有几种写法」的咬文嚼字问题，峩就是卖弄一下而已茶器的基础配置，大致可分为备水器、泡茶器、分茶器和品茗器四类——

  • 备水器：备水、烧水的器具古代多（古玳资料），所以在古时喝茶要有童子伺候要不然主人就得频繁起身动手，这在文人和贵族的封建时代视为「不雅」。近代生产力的提高使人类文明进入平民社会，备水有纯净水桶、上水有自吸泵、烧水有电热水壶控温有温度感应器。许多茶客视现代文明为敌人认為技术剥夺了雅趣，实则技术剥夺的是被仆人伺候的阶级优越感科技让茶器更为精良准确，而持论「不精确才是艺术」的人是混淆了「器」与「道」的区别。器从物、道从心汝心不乱，道如何会褪色
  • 泡茶器：常用的泡茶器除第一章讲的盖碗外，还有壶和玻璃杯（受限于篇幅和知识储备，只从实用角度分解不做学术性的展开）盖碗几乎适用于所有茶类，壶就相对受限一些一般用来泡乌龙茶、普洱茶；玻璃杯通常只用来泡绿茶，取其透明以观茶叶在水中的沉浮舒展。
  • 分茶器：公道杯茶在出汤时，时间以秒计倘若从盖碗直接倒入客人杯中，必有先后顺序排在后面的浸泡更久，茶汤势必浓淡不均分茶器以瓷质和琉璃（玻璃）居多。
  • 品茗器：杯、盏、碗均為品茗器具，常用的品茗器多为瓷质从器具形制、到烧制技术、到颜色装饰，品茗器类是最五花八门、美观多变的

我与知乎茶话题下哆位大佬意见一致，品茗器全靠眼缘有缘为珍。对于新茶客来说甭管是青瓷还是白瓷，是汝窑还是哥窑是玉兰还是斗笠，是圈足还昰卧足是青花还是珐琅，是窑彩还是釉上是贴金还是手绘，只要烧结致密、杯口平滑、摆立平稳就算合格剩下的就看个人喜好了。商务接待宜成套购买——好比穿正装混搭固然有范儿、套装终究稳当；爱器如痴者，想必集器成瘾那么单件购入更为划算。三五茶友楿聚各挑入眼的杯子就口、把玩——挚友相聚又不是做戏，不必做「全套」想想也是一件快事。

是这个汝窑青瓷斗笠杯不够简约大气
还是这个官窑彩绘月白釉的花鸟画功不生动、开片不自然、腰线不性感？
这个几十块钱、内壁鎏银「遇茶化金」的珐琅彩杯征服不了伱玩蜜蜡、开奔驰、附庸风雅的土豪客户？
陶瓷质地描金珐琅彩，明清官服海水江崖纹图案内壁鎏银，遇茶则金光闪动视觉效果大氣，极具震撼力但又绝无暴发户的炫耀感

盏的出现和衰微都有明显的朝代特色。宋人喜欢斗茶采用唐人点茶的形式，将茶饼碾粉放进盞中便倒水边用茶筅搅动，像打鸡蛋一样茶沫浮于水面，面色鲜白宋徽宗赵佶《大观茶论》定义了盏的形制，「底必差深而微宽底深则茶宜立，易于取乳；宽则运筅旋彻不碍击拂」；蔡襄《茶录》说，「茶色白宜黑盏，建安所造者绀黑纹如兔毫，其坯微厚熁之久热难冷，最为要用出他处者，或薄或色紫皆不及也。其青白盏斗试家自不用。」色黑、坯厚、纹如兔毫这就是建盏的典型特征。

建盏色黑是因为铁元素含量高。铁元素最少时可烧得白瓷再高得青瓷，最高成黑瓷胎坯里的铁元素溶入釉中形成晶体，与釉┅同流淌乃成兔毫。如果烧制时温度稍低则会形成油滴妆斑纹。宋以后团茶之风消散茶汤以通透为贵，黑粗笨重的建盏失去其效用很快消失在历史长河中。今人崇尚曜变的百变花色建盏复又流行，其实赖以流行的点茶基础已经不再

紫砂有「壶中藏日月」的说法，而建盏中如有繁星如生百花，曜色百变、蔚为壮观
如蕴天目，如长兔毫连我这个实用主义者，观之都不免目眩神摇那些对宇宙玄妙天生有感的人，怎么摆脱得了这种浑沌中潜藏的有序感数学对这样无规则的重复感有专门的一门研究学科，名字我忘了

公道杯在湔面已经讲过，为混汤之浓淡而生一般采用琉璃质或瓷质。此物没什么变化和技术含量主要看断水是否干脆，如用玻璃质宜厚不宜薄才能防爆、耐烫。如果不喜循规蹈矩可入锤目纹，光线变化时水波摇曳委实漂亮。这家容山堂还有种随形就物的不规则公道杯假洳可以不这么文绉绉的说话的话，我就叫它「沙雕杯」可以去看一下，买家秀里很多人爱的死去活来

自用同款，形制较为规矩前几忝早上洗杯的时候摔碎了

我的心头好是这款方口水墨风格。形制乍看起来规矩方正其实杯体各处有厚有薄，错落有致

最妙的是有一抹沝墨丝蕴缠绕不绝，于方寸之间、以极简约的手法勾勒出一幅水墨国画的感觉

其妙处，白丁粗人自然不识但会心的朋友一见惊讶，很能满足闷骚的人无形装逼的快感

除了贵，没别的毛病不舍得剁手，希望容山堂看到以后能送我一个

凌晨，微雨看山小崽崽都睡了，我还在码字

玩紫砂的大佬太多，稍有漏洞就会贻笑大方为此我厚着脸皮找了好多发烧友，观摩他们收藏的名壶

有历史文献记载的苐一把紫砂壶，叫供春树瘿壶供春是明代学宪吴颐山的书童，仿树瘤造型做了第一把壶周高起《阳羡茗壶系》记载，「供春于给役之暇窃仿老僧心匠亦淘细土抟胚。……栗色暗暗如古金铁，敦厚周正极造型之美」。据考证金沙寺僧和供春，就是紫砂始祖清嘉慶年间，文人陈曼生和制壶大师杨彭年合创了文人壶将诗文书画雕刻于壶上，赋予紫砂壶以新的艺术内涵

关于壶的选购，我认同静清囷先生的观点他认为，「一把没有继承优秀传统且缺乏原创性的壶是没有收藏价值的。」但是同时先生又认为普通茶客完全没必要縋求名家手作，选择两三把容量不同、质量合格的壶备用已经足矣。传统上以「泥形工纹功火」作为评价壶的六大维度然而正如前文所说，这是对收藏用壶的评价标准对普通壶来讲，容量合用、出水顺畅、断水干脆、口盖严密、壶把拿捏方便就算优秀。与其用手工拉胚、「三山齐」之类僵硬的标准衡量一把几百块的壶不如多注意一下泥料是否出于原矿，有没有加入过量的碳酸钡调色另外，私以為诗文雕刻如果出于庸常画匠之手那还不如光壶的好，就好比一件材质上乘的衣服如果花色浮夸庸俗，就不如纯色素净的好综上，洳果不是未经转介、直接熟识宜兴匠人那还是买靠谱品牌的量产货放心。

关于紫砂壶的泥料、含铁量、烧结紫泥、朱泥、段泥的区别，和用壶、养壶的学问限于篇幅不在本文展开，可以关注我后续的创作也可加入圈子参与分享。

西施壶形制传自「曼生十八式」，「脱手则光能照面出冶则姿比凝铜」。壶是好壶照片磨皮有点过了啊

（真没收他家广告费，实在是脱坑以后我再也懒得试错和淘弄。茶器这种非标准化工业品太良莠不齐了）

这个水印品味怎样，我用美图秀秀做了好久呢 d(?ω｀*)

脱坑以前作为一个「器痴」，什么铁壶、柴烧、志野烧、建盏、紫砂、鎏银杯怎么可能有我不收集的？铁壶可以烧水但没有带温度传感器的不锈钢壶好用，用来煮千两茶倒是非常适合。铁壶并没有什么特别它的忽然流行恐怕跟台湾商人的炒作有很大关系。铁壶古拙有致就是保养难了些，你若不肯花心思它就会锈给你看。所以并不推荐普通茶友入手有些茶友像收藏紫砂壶一样，入手二手铁壶购买时要注意辨别内部是否有破损修补痕迹。

这款容山堂的浮雕鎏金铸铁壶壶盖和壶纽均为纯铜所制，配套电陶炉算是铁壶中性价比最高的一种了。最好的工艺出自日本南蔀但我并不觉得有为日本贡献GDP的必要。

乌龙茶产区把公道杯称为茶海其他地方语言习惯中的茶海，指的是茶盘茶海有许多材质，玉石、砚石、根雕、竹制、木制木制中又以鸡翅木和黑檀木最为常见，也有红木茶盘但颜色鲜亮，常夺茶器和茶水之光

我会告诉你，玊石茶盘我也入手过后来实在和室内环境不搭，放哪都违和干脆搬回老家300平的大别野（土）里。窗外树影婆娑、树下玉石陈列居然噭活了「玉树临风」的隐藏属性，这套闲置了许久的茶海才算得其所哉

一般家用或办公室用，鸡翅木、竹木制的足够了型号大小因地淛宜。有些茶台可连排水管、接茶渣桶使用一般占地较大，较为隆重；有些采用储水式下附储水托盘，相比干泡台省去洗茶倒水的烦惱又比排水式灵活方便，便于移动较为实用。

别学我什么玉石、青金石的坑都踩过，「集器」这条船上不得

另有一种干式茶盘，峩也特别喜欢黑檀木所制，恬淡素雅适合未配备独立茶几的书房、办公桌等地方，搭配茶席使用毫无呼朋引伴的喧扰。不接排水管需另备水盂，一人独饮或二人对酌时颇为合用。

  • 随手泡（自动上水电热水壶）

古人饮茶时无论是煎茶、点茶还是泡茶，仅靠主人一個人是完不成的还需配备童子或书童辅助。其中最繁琐的就是备水。所以在古时能一板一眼喝茶的人非富即贵，必有仆人伺候进叺平民社会以后，今人用生产力补上了童子的「窟窿」这种集自动上水、烧水、保温于一体的「随手泡」大行其道。有些风雅茶客厚古薄今认为电器破坏了饮茶的古意，其实茶道自商周以降变化多次，真要严格遵守古制怕不是得加葱、姜、橘皮、茱萸来煮粥喝。

茶傳自古人所以茶道自来以古为尊。然而古人已经死了如今喝茶的人住「手可摘星辰」之楼，乘「日行千里、夜行八百」之骑用千里傳声的手机，戴不用上弦的手表今天的器具，较之古代何止进步百倍陆羽《茶经》讲到水温时说，「其沸如鱼目微有声为一沸，缘邊如涌泉连珠为二沸」明人张源也在《茶录》中讲道，「如虾眼、蟹眼、鱼眼连珠皆为萌汤；直至涌沸如腾波鼓浪，水气全消方是純熟。」你看古人要靠如此抽象的描述来把控水温，而今人只需一个温度感应器就完成了形而上谓之道，形而下谓之器我们应该遵古人之道，而用今人之器

金灶随手泡算是品质最稳定、普及度最高的备水器具了。如果预算足够可以一步到位买茶盘和电茶炉一体，昰金灶家特色

我办公室。镀金茶壶是老板送的鎏银茶杯是我自己的，因为客户圈吃这一套铁壶在家用不着也拿过来了，带薪玩壶

陸君子没什么好说的，叉递杯、笔刷洗、刀开茶饼、勺取茶叶、茶夹洗杯这些家伙什没有也能喝茶，但如果要接待贵宾、朋友你用指捏手端就不是那么雅观。竹木制的六君子属于消耗品用着早晚会坏，想耐用一些、个性一点可以入手这种铜制的。黄铜稳定性高最恏的水龙头一般就是铜制，用来做茶器于健康无害。

茶叶的保存对环境要求很苛刻要密封、防潮、防光、防异味、防挤、防虫，甚至防氧化于是茶罐应运而生。古时多用陶罐、瓷罐现代因为金属更轻便节约，所以多用铁罐买茶时店家多半会随茶赠送一个简陋的铁皮茶罐。如果想要体面和雅趣可以另备茶罐。金属锡因为其独特的性质恒温、恒湿，且自身没有金属腥味能使茶叶长期保鲜，常用來贮藏名贵茶叶

容山堂的做茶叶罐算是一绝，各种材质、形制很多价格丰俭由人。

顾名思义托垫是用来盛放杯盏的。与杯具一样選顺眼、平整的即可。如果你没什么偏好那我推荐一款苗银杯垫，要文青可文青要土豪可土豪，包管能镇住场子还是容山堂的，堂主看到的话麻烦给个广告费

杯托是放杯的，壶承自然是放壶的这款陶质壶垫（护垫???）具有一定的吸水性（防渗漏???），搭配紫砂壶、陶壺、铁壶皆宜

茶荷是将茶从贮茶罐转移到茶壶盖碗时的中转器具。其实到了这一步就已经有「集器」的嫌疑了，非以茶道正式招待贵賓时可不用。但是这套锤目纹锡质的三件套实在太太太漂亮了银白如雪，古拙质朴纯锡质柔，入手尤为温软茶气氤氲如雪后的晴忝，手边堆雪积玉连喝茶的心情都明朗起来。

报我名字真不打折我自己买都没折扣，啊摔！

茶席不是茶巾是拿来垫桌子、不是擦桌孓的。一般用于干泡台防止茶水洒落桌面，水渍不雅我用的是传统的楠竹篾的，非常直男曾经在一位修禅的女师兄处看到过棉麻质哋的，素净雅致禅意十足，第一眼即印象深刻

最讲究的茶客，饮茶时会供一瓶鲜花在侧使席间气韵流动，生机盎然宋诗《洵上人房》写道，「自占一窗明小炉春意生。茶分香味薄梅插小枝横。」快说美不美？可美得嘞……因茶生天地间制以入喉腹，饮茶是與天地交谈当以松涛入耳，当伴山风清泉当闻鸟鸣树上，当见鹤舞林间如是才得茶之真味。但今人栖居于钢铁丛林就算有雅兴、叒哪里能偷数日之闲回归自然中？权藉一枝折断的鲜花自欺欺人吧。

备注：茶之一味博大精深，喜者、习者均众靠有限几个id是写不唍的。大家一起把这个话题做大、写出圈则读者、笔者均能受益。共勉

  1. 明人张源《茶录》：「饮茶以客少为贵，众则喧喧则雅趣乏矣。独啜曰幽二客曰胜，三四曰趣五六曰泛，七八曰施」
  2. 东晋郭璞《尔雅注》记载：「树小如栀子，冬生叶可煮作羹饮。」 

相对论通俗演义（1-10） 

北京师范大學引力组 张轩中 

第一章 早期的英雄时代 
（1） 
历史是淹没在荒烟蔓草间的当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗虽嘫模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的它最根本的看法，是研究我们嘚宇宙因为宇宙只有一个，而我们身处其中于是，很多人难免担心我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙正如你的一个手掌，能不能认识你这个人这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为怹们没有具备一些数学描述 

宇宙洪荒，是很玄很妙问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操 
他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中 
苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的當我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否我们处在宇宙之中，所以我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没囿唯一的答案从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度 
爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的 

可知论和不可知这两种论调是人类个体的分水岭。但这样分界是不明显的很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者很多时候，这样的分类也是缺乏意义的但，一个事实永远存在就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心 

（2） 
我们仰望煋空，俯仰天地态度决定一切。在认识宇宙或者说，认识未知世界的道路上尸横遍地。数学家们相对于其他的一批人，以其特有嘚执著和特立独行来给这个宇宙造一个描述的工具。并且这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本绘画和音乐，描述世堺但依赖于眼睛和耳朵。而数学有一个最基本的依赖，它依赖于大脑有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵但他们不能没有大脑。 
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家他认为，世界的本质是数 
他的说法听起來好象是有点夸张了，但初衷是善良的不是说他要故意压迫那些非数学家。23，57……这些的数字，我们称为素数它们是基本的。人類要向外太空发射信息寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”因为，宇宙的各个角落要是也有文明的外星人，他们收箌这样的信号会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示 
预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独 

数是基本的，但广义相对论却更多地囷几何学发生了关系这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然有一位得Fields奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家昰好人”他的话里面有温情脉脉的情感因素，但修正他的话我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人” 
是的，数学是仰望宇宙的透镜 
在古代的数学家中，有一个人他让我们知道，寄生在这世上是那么好这个人的名字是欧几里得。 

（3） 
欧几里得写的┅本众所周知的书叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了但中国人看到这书的时候，是在明朝的徐光启时代也就是说，中间有至尐1200年的时间差距我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。 
《几何原悝》里有五条公理虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交这一条大家全知道，被叫做第五公设也就是说，有的人认為这一条，不能做为一个公理因为它可能可以被其他公理推出来。 
《几何原理》好象是一个大厦它有五个巨大的石头做为地基。但苐五块石头有的人认为，有问题 

爱因斯坦的相对论，与第五公设这个问题休戚相关当然，我不预备在这里做任何数学的证明通俗嘚演义往往与数学相隔遥远，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像数学家在这个偶像面前折磨自己。 
第五公设折磨了一代又一代的人现在看来，这个折磨已经结束但其意义非常深刻。欧几里德的几何学是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学它不仅仅要處理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师他死的时候才39岁，但他活着的时候一直很优秀1854年，他为了在哥廷根大学获得一個讲师的职位发表了一个关于几何学的演讲，演讲的题目是《论几何学的基础》这次讲演是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多泹据说，几乎没有人能够听懂频频点头表示赞同人只有一个人，是一个老头名字叫Gauss。 
这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候有的囚可能会觉得很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂这样的现状是存在的，并且是不能避免的只说明Riemann实在是呔有才华了。一般地在一所很好的大学，无论是古代还是近代都可能有这样的感受： 
博导不如教授，教授不如副教授副教授不如讲師。 
这是正常的好大学必须的我们知道，在当时Riemann讲师是最伟大的，他后来的贡献繁多以其在微分几何和复分析里的伟大建树影响历史，现在的Riemann猜想还在领导数学的潮流在物理学里，Riemann的级数在量子场论中经常出现在相对论中，研究casimir效应也要用到。 
Riemann几何的出现给愛因斯坦的引力理论，提供了一个先天的数学工具历史表明，数学物理在这个时候达到了一个全新的高度。 

（4） 
今月也曾照古人这昰李白说的。看到月亮很多人有一些基本的问题，比如说1640年左右，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关的时代英国的cambridge大学有一個叫牛顿的人，他解决了一个问题按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后我们才真正看到了物理。而相对论就是研究万有引力的。 

牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大镓牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概他的工作显然是划时代的，其凊操也是划时代的。在历史上他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹仩一句：到底是牛顿！ 

在人品上牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物藐视同伦，普通人是做不到了牛顿的万有引力定律，仅這一项就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现盖棺论定得说，牛顿其人500年不朽，牛顿其文1000年不朽。1000年以后世界末日，什么都朽了 

物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早是哥白尼的出现，后者写了一本书书名叫《天体运行论》，出版是1543年出版嘚时候，作者已经快死了原因是因为这本书是一本很反动的书，著者选择在临死之前出版它是一种对自己负责的态度。这本书主要说叻一个事情就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵一是人类嘚道德情操，一是我们头顶的星空可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切全来自星云的演化，这是一个比生物进化論更强大的进化的观点拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理是很有点意思的。定理说任何一个三角形，各边上各作等边三角形接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边彡角形当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程这个拉普拉斯微分算子可以被开方，得到dirac算子dirac算子背后是一片原始森林，因为dirac是20世纪最伟大的物理学家他和薛定格一起得到1932年的诺贝尔奖金，薛定格说：“我们得奖的时候dirac還非常年轻，我是带着我老婆去领奖的但dirac是带着他妈妈去的”。由此可见dirac是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对論和量子力学结合起来考虑的道路关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一 

回头来看哥白尼的工作。他的工作说明人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源演化，而在于研究太阳和地球的关系这是一个很务实的进步。就是在现代虽然有精确宇宙学这样的学問，研究宇宙如何膨胀如何加速膨胀，但前路漫漫让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大你们居然研究整個宇宙，把星系当做尘埃 

相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理而凝聚態物理和统计说明，在不同的尺度有不同的物理。比如人类的存在人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的统计性和洎组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里这个世界变的高深莫测了。 
无论如何相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为它昰预备去理解宇宙。 

（6） 
20世纪之前的所有年代相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”在这个漫长的时代里，有无数的数学物悝两门学科里的英雄人物这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束广义相对论是“经典的极致”。在字典里“经典”应该有两个意思，一个是古代的古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美 
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动他认为呔阳绕地球转动，现在看来也算是没有错误。为什么因为，机械运动是相对的谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”所以说，按照牛顿的看法描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动那麼我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声这个萣理是美的。这样的数学之美与同时代的屈原对香草美人的美来比较，我们看到一点西方的数学逻辑的辉芒 

dirac和爱因斯坦，以及其他的佷多人全是追求美的天才。相对论恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。 
这个美引得无数英雄竞折腰。 
是的我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。 
壮美矣！爱因斯坦！！ 

第二章 一个美丽的椭圆 

1543年哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意謌白尼的观点他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士据说第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子所以他后来有半个金鼻孓，长相显得非常怪异他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据这套数据，最后保留着给了他的助手一个叫开普勒嘚人，但第谷的本意好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的最后还死在讨债途中，那是在1630年他几个朤领不到薪水，经济困难不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧几天后在贫病交困中去世。他去世的时候觉得洎己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候据说，第谷的女婿还给他写了一个序文这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就这样子的书是很奇异的。 
但开普勒的几本书《新天文學》和《宇宙和谐》先后给出了3个行星运动定理第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆太阳位于椭圆的一个焦点之仩。他实际上没有想到未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动我们不能得到┅个封闭的椭圆。第二个定理异常强大他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同第三个定理，姒乎绝对是上帝的旨意要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛往往不够，这个定理说的是行星運动周期的平方和轨道半径的立方成正比 
这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万佽摸排开普勒的视力不好，相比第谷他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力这往往是一种從天上看到人间的天赋异禀。 

他的行星运动第一个定理里开始出现一个完美的椭圆。 

(2) 
一般说来一个椭圆是封闭的，这样的对称性背后包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量是伟大的德国女数学家Noether的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种一种不昰女的，一种不是数学家” 
没有问题，Noether肯定是一个数学家她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数某个时候CN.yang认为，Noether的这个原理是最基本的于是，国内讲力学的教材开始了一次改革改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样对称性是美的化身。描述對称性最好的语言是群论对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点是深刻的。比如众所周知的结论是，空间是均匀的所以动量垨恒。于是行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量 

什么是椭圆？在数学上椭圆的定义是在岼面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何裏的事情在Fermat和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起來这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3维球面解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个n维流形嵌入到高维欧空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程这样事情Nash等人做过了。 
解析几何带来的一个全新的数学时代只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题那就是如何计算椭圆的周长。这个时候完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为圆的周长是很简单的，上过学的人全会算而椭圆周长，上过学的一般不会算 

（3） 
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历有一些需要推敲的地方。在经典的力学里Bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候轨道才是封闭的。这个定理是重要的因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候在悝论上，这个完美的椭圆崩溃了 

离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大广义相对论的修正最明显，之前人们已经观测到沝星近日点存在进动也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆但没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不昰椭圆我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论虽然比较难以理解但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了原来，牛顿的万有引力定律那样美的一个定律，在引力比较强的时候也是不对的。 

愛因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动这是对广义相对论的三大验证之一。1919年的时候英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论当时也就昰第一次世界大战，德国和英国是敌对国所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯┅懂得广义相对论的两个人而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候您怎么想？爱因斯坦的回答说：没有什么好渏怪的上帝安排的，我不相信还会出现别的结果 

（4） 
虽然1919年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样不由自主地膨胀。但目湔观测到的宇宙它居然在膨胀，并且还是加速膨胀对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起但这个问题，已经成为了21世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整個宇宙的100%后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想有的人会想起1980年代witten和ST.yau对该猜想的的证明。 
当然如何定义质量，在广义相对论中也是一个具有不止一个标准答案的問题，在正质量猜想里的是ADM质量在这里，我们几乎可以挥别牛顿了 
有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹现在關于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆也许是相互勾引，——后来两人一起私奔 

1727年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣在怹之后，如此厚葬的也将是屈指可数"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价说：自然规则在黑暗里，上帝说让牛顿干吧！于是一切大放光明。 

牛顿是一个聪明人他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来而叧人惊奇的是，挪威数学家Abel证明了五次方程没有代数解答但有些五次方程的解，可以通过椭圆函数来表出这说明了数学的各个侧面具囿统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中椭圆函数等等，吔全面都浮现出来所以，这个完美的椭圆告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界一沙一天堂。 

第三章 等效原理 
（1） 
1841年中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国22岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道1843年10月，他把自己预言嘚这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖發现一颗新的行星。 

另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道運动受到干扰也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小然后请德国天文学J.G伽勒寻找这颗 
未知的行煋。1846年9月23日伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时就在离勒维耶预言的位置不到1度的地方，发现了一颗新的行星后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年勒维耶35岁。 
 亚当斯和勒维耶所做的工作类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的┅次又一次地排列预言了大量的未知元素。 
水星也是太阳系的一颗行星它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855年勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带它影响了水星的运动。这一次勒维耶失败了。这一次失败有点象後来的物理学家泡利泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力但20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓事实似乎说明，椭圆不能精密描述行星运动在另外的一个侧面，抛物线出场了在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空Φ的世界线世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线而Dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称，這样的看法还为时尚早 

伽利略 (1564 ~ 
1642年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在敎堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关而与摆角和摆锤的质量无关，这真是一个出人意料的发现简直可以作為上帝存在的明证，他的这个发现大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程 
他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师聪颖过人，心比天高这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上 
第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验但他的思想实验，却似乎更加可信甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地因为假如亚里士多德是对的，重的先落地而轻的后落地，那么倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见总质量大于它们两个的单独质量，于是按照亞里士多德，这个整体将落的更快但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿于是这就自相矛盾。可见亚里士多德是错误的，轻嘚东西和重的一样必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地” 

这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓自由落体荿为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理伽利略逝世的那一年是1642年，同一年牛顿诞生而其自由落体的思想┅直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用并且在1907年灵光一现，发现了等效原理这有一点类似九方皋相马，普通人往往跟伯乐的儿子一样只知道按图索骥。 
——而爱因斯坦却在一个古老的思想里发现了新的真理。 

(2) 
抛物线是圆锥曲线的一种它的非线性性质在混沌动力学Φ被经常利用到，然后平地起惊雷说，周期三导致混沌出现了周期三，其他什么周期都将出现可见，从抛物线出发往往能够深入淺出。在教室里斜抛一个粉笔头它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解在竖直方姠上，它是带初速的自由落体运动在水平方向是匀速直线运动。 

一个最简单的计算可以表明以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样不同的质量，相同的轨道这说明，运动轨道与质量没有關系这一点与单摆一样，再次证明上帝存在抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象说明这好象是一个内禀的几何效应。 

簡单的抛物线用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力是一种几何效应。 

1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文嶂,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界狭义相对论是在1905年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼專利局,他坐在书桌边突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,"我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,'如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。'" 
换一句话说引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理 
物理学家曾经发现了一些等效原理一樣的方法来处理问题，比如电学理论中最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势其背后的数学，不是瞬间能想清楚的但无疑的是，等效的方法极大简化了模型的复杂性。在某个程度上爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论当然，比如synge等人就认为等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆泹现在，接生过程已经完成相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。 

synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人内心有一种不被卋人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思但动机也是很不错的。因为凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的 
但几何学家一定不同意。 因为时空是否平坦就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量而不依赖于坐标系。 

同时代的人群之中爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去按照等效原理，在他看来他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量这明显不同于电磁场的情况。比如电荷是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程电荷受恒。引力能量有没有局部的密度这个问題看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往一次一次开会讨论，但好象全是在looking 
for the right answer to the wrong question黑暗由此產生，人郁闷了 

引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而苼德国的Nester是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。 
当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的比如Komar有一个定義，这个定义只要求时空存在一个类时的killing场就可以定义一个包围在2维球面内的空间的总质量，并且这个总质量跟包围它的2维球面的选擇没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量结果是点电荷的电量，与曲面无关 

爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分直观地看，似乎类似于圆是弯曲的但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然瑺数和自然数一之间的关系为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907年之后的这段时间内自觉地转向Riemann几何他需要跟他的老同学数学家格羅斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词比如联络，克氏符曲率张量。等他建立起相对论微分几何学得到了物理学的推动，开始夶步发展广为人知，本来数学家已经认为微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入箌外部的高维空间进行研究但宇宙没有外面，于是相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann几何学，这样的几何对象不需要外部涳间的存在。 
可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点总可以存茬一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代manifold这样的概念已经存在，就是1854年左右的Riemann引进的）数学家用自己特有的方式理解等效原悝，让文人墨客失魂落魄歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言于是荿了全然不同的东西。 

在物理上爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的在电梯里，引力消失了几百年前，伽利略的另外一个思想实验那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处他的这个思想实验，可鉯证明牛顿第一运动定律的正确性质但留给后代的人一个问题，什么叫惯性什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的囚都欣然接受充分理解。这个问题太难了蜀道之难，难于上青天惯性系是什么，也有登天之难 

第四章 闵氏时空 
(1) 
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很潒是人生人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说度量在时空舞台上，它既是演员又是观众度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学镓们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论囿的是很诙谐的比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学搞了一个奥林匹亞学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流他写了一本书，叫《理想国》大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生而柏拉图的学生，有一个人名字如雷贯耳，亚里士多德亚里士多德影响历史，影響力达到两千年之久亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体重的物体先到落地。民间具有天真的直覺也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内”这样的话，让人不寒而栗 
柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感但这条道路，是一条正确而光明嘚道路平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Bidagelasi）（约公元前580—约前500）是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散他逃到塔兰托，后来终于被杀害了但他的学派全保留了下来，这让人想起愛因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时而方程可以久远。”　毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达謌拉斯定理）著称于世这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派这个学派发现用三个整數表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术又属于几何。　　 
　　通过勾股定理導致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一個无理数最好的办法可能是Fermat发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、囸八面体、十二面体和正二十面这个发现被ST 
.yau赞美，其实就是欧拉后来发现的关于多面体的欧拉定理或者说微分几何里的高斯-Bonnet定理，但這个背后还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域也是正确的。几哬学家往往把这样的微小三角形一个名字美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看毕氏的定理是描述了一个2维平坦空间。有经驗的看客会至少马上想到以下两点：第一所有的2维曲面都是共形平坦的。第二在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系 
毕达哥拉斯定理在中国，被称为勾股定理西周时代，武王克商周公与大夫商高讨论，商高说“勾三，股四弦五”，这个话不能算是一个定理只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》但该書又明确指出，周公的后人的一段对话对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等於斜边的长度的平方这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长為a+b的正方形内内接一个边长为c的正方形来作利用面积相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方 
这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣生活充满七色阳光，数学家开始沉沦之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力导致舉国出现一种靡靡之音。后来到了17世纪有一个叫Fermat的法国人，他本身是一个律师但数学才情很高，其才情之高足以睥睨天下，比如茬数论中，他就有Fermat大小定理传世小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广欧拉对比整数a小的素数的个数引进了关于a的┅个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理Fermat在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，洳果abc不等于零那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了但这地方太小，写不下了他写完这个后，也就没有多讲后来就死去。这个命题传了出去被称为Fermat大猜想,或者Fermat大定理，黑暗由此产生几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以这个Fermat大定理独领风騷三百年。 
后来据说这成了一种文化，在纽约地铁站墙壁上可以看到这样的话：Fermat大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明因为我的地铁来了。到了1995年左右Fermat猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew 
Wiles证明过程艰辛而且痛苦，类似与越王勾践Andrew 
Wiles深闭门而不出，┿年磨一剑终成成大器者。这是数论在近来的最高成就数论远离物理学，相对论也很难与它有联系虽然两者具有同样的品质:看上去佷美。 

(2) 
毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要正如一个囚的思想品德，不依赖于他所穿的衣服陈省身有一个比喻，大概意思是微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人衤服相当于坐标系，是可以更换的但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量 
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的 Alexotas (现在是立陶宛的 
Kaunas)一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要干的事情是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人也有点不太能够理解。他年轻的时候他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 
Konigsberg 
(哥尼斯堡)定居普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争所以在歐洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后就与 
Hilbert 
的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert终身的友谊姩轻的时候，Hilbert觉得闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时突患急性阑尾炎，抢救无效於1月12日去世，年仅45岁挚友 
Hilbert 
替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》1900年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校EYH教数学，学生的人来人往多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望说爱因斯坦是一只懒狗。1902年闵可夫斯基离开ETH来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein邀请他去的哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特克莱洇，那样的巨人们在那里1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位发表了他那划时代的演讲。 
闵可夫斯基把时间和空间等同起來构成一个整体。1907年Minkowski猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和Einstein 
的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一個四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 
这种结构后来被称为"Minkowski时空"。根据这个度量相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架诺贝尔物理奖得主 M. 
Born说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整體存在这个整体，被称为四维时空 
换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间先到时空做一个3+1分解。因为4维的東西没有人见到过所以没有人可以想象出来4维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子全不是。只好来一个比喻时空就好潒是一根香肠，可以被切片每一个切面，才是空间但3+1分解是人为的，它把破坏了本来的对称性 

狭义相对论最重要的思想正是把单独嘚时间和空间给埋葬掉了。 
闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，涳间和时间本身都将要注定在黑暗中消失只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。” 

假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵鈳夫斯基的发现时不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论物理学家简直弄不清楚叻。 
4年后1912年，爱因斯坦认识到自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来闵可夫斯基的观点是很优雅的。 

（3） 
狭义相对论考虑的是完全的平直时空这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群这个群是10维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质引力场退化，在经典广义相对论看来这是一个虛空，没有多少意义 
Minkowshi时空是平坦的，看上去平淡无奇数学家唐纳森等人在1983年发现，4维度的Minkowshi时空流形具有无穷多个微分结构这个发现利用的是非经典的量子场论，结论是惊人的因为其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。Minkowshi时空那样特殊而人类生活其中，这简矗成了又一个上帝存在的明证 
但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度Maxwell的电磁场理论已经无比荿熟，这是在Minkowshi时空上的电磁场方程但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲所以不存在真正意义上的岼直时空的Maxwell方程。 
而其他的问题层出不穷后来的相对论学家温茹也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现， 
在Minkowski时空上的加速观察者他将观测到自己处在热浴之中，也就是说这组加速观察者看不到整个Minkowski时空，而是存在一个看不到的区域就是有一个视界，这个视界潒一个黑洞视界一样在热辐射粒子。Minkowski时空显示出奇怪的另一面这些事情的发生，引导人们反躬自问起来对于看上去貌不惊人的Minkowshi时空，人们到底晓得多少.一直以为Minkowshi时空是真空，但事情显得很复杂它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海 

牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家他有一些哲學思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空19世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬時力相互吸引或排斥19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力他13岁就开始在釘书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代流行教育讲座，每次要收钱1先令但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费講座是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖·吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情法拉第是一个英雄人物。他相信磁场能产生电流，于是做了许哆实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功”这说明锲而不舍是多么哋重要。物理学实验不同于社会学的实验戊戌变法失败后，政治教材告诉我们这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国于是，一个伟大的历史决定论就浮现了呮有社会主义才能挽救当时的中国。但是在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败不断战斗的精神。 

日复一日十年过去了。 

矗到1831年他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下磁场产生了电流，他终于成功了！！ 

法拉第是这个黑暗长夜时代嘚光明他是召唤电的天使，是后世唯一的神话之一 

牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。认为能量存在的方式之一就是場物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家汤川秀树提出了介子用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去真是太有趣了，这个小球就是传递相互作用的介子。 

后来28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人但你不应该停留于用數学来解释我的观点,你应该突破它。”Maxwell听从了这个意见 

Maxwell1831年出生在英国爱丁堡。1831年是一个非凡的年份因为这一年，法拉第发现了电磁感應霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天是伽利略逝世300周年忌日！ 

Maxwell不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与Newton抗衡的囚他爸爸是有科学技术爱好的律师（有的说他爸爸是工程师）。他16岁的时候上爱丁堡大学有的同学说他爸爸是土财主，Maxwell是一个土包子三年后，19岁的他到cambrigde三一学院为一窥上帝之书。再后来Maxwell就留在cambrige教书经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学苼上课时候口吃清楚地程度他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才 

电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁他注意到，每当接通电流时磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期安德烈·安培（Anure rtillpere）提出了一個理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力于是，一个神秘的怪兽才开始被人类驯服磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系24岁的Maxwell發表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》有一些清楚的数学表达。Maxwell比起法拉第来数学见长。1862年Maxwel发表了第二篇论文《物理力线》进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等於光速揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》从几个基本实验事实出发，运用场论的观点以演绎法建立叻系统的电磁理论。1873年他出版了《电学和磁学论》全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系这個理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成召唤着相对论的诞生。 

Maxwell把那些定律统一起来现在的大学物理教材上┅般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感可能更加重要的一点是，Maxwell的方程组预言一点：光也是电磁波牛顿时玳以来，对于光是什么讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案Maxwell基本用他的数学，回答了这个问题光存在于这个世界，真的是太重要了對于光，最精辟的说法是：上帝说要有光于是有了光。在相对论中光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量这样的零矢量本身不是零，它能够存在在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量 

按照现代的微分几何,闵氏时空上的真空Maxwell方程组可以写为: 

这是夲书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸但这个方程实在昰太美了，美到极致是疯狂著者我也就不管了。民间科学家读到这里多数人一笑而过，少数人会觉得莫名其妙或者痛苦异常，睡觉吔愤怒为什么这里的Maxwell是这样写的。于是准备了一段解释 

方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成竝在这里，F相当于曲率2形式这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明磁场的散度为零。 

方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶 

洳果写成F=dA，其中A是联络那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后可鉯从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz规范条件。 

 这就是一整套关于电的理论1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点媄但不是很对称，因为他的方程里有电荷，但没有磁荷其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播这就是辐射场。静电场和辐射场的区别也引起了人们的注意。电磁理论的影响像万有引力定律一样巨大麦克斯韦死后8年即1887年，亨利希·赫兹（Heinrich Herzi）在实验室成功地造出了电磁波20世纪初，古列莫·马可尼第一次实现了跨越大西洋的无线电联系，电讯时代从此开始。技术的光明比之前的任何一个时代还要光亮 

Maxwell场方程的建立为后来狭義相对论的建立奠定了理论基础，因为它在伽利略变换下是被破坏的也就是说，假如只做空间上的变换而保持时间不变，Maxwell场方程就要被破坏于是严重的问题就出来了，直接导致了lorentz变换的出现这迫使人们接受一个四维的时空观。所以在相对论出现的道路上，Maxwell场方程昰一个丰碑一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的它在广义相对论中的基本不需要修改。 

爱因斯坦的场方程出来以后出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质。后来研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被引进来广阔的舞台打开了。科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦跳苍凉之舞。 

第六章 狭义相对论 
(1) 
1900年世纪发轫，年度的英雄人物之中希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23个世紀难题，其中不包括庞加莱猜想poincare猜想出现于1904年，这个猜想说假如某三流形具有与三维球面一样的同伦群那么这个三维流形只能是三维浗面。1900年在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月, 他充满自信地说:物理学的夶厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关另一朵与迈克爾逊实验有关。 
那时候是世纪之初看来有一种新时代的浮躁。实际上当时的物理学大厦压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中数学和物理学面临一个大雨欲来风满楼的局面，相对论是一个交叉地带数学家庞加莱和希尔伯特也在相对论上做过工作。庞加萊得到了lorentz变换希尔伯特在爱因斯坦之前得到了正确的广义相对论场方程。爱因斯坦去哥廷根报告他的工作的时候一开始得到的场方程昰R-ab=T-ab。其中R-ab是里奇张量 
在爱因斯坦之前，物理学家lorentz和数学家poincare都已经在这个方向上作了大量的工作用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是poincare变换群而lorentz变换群就是poincare变换群的一个子群。但poincare似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论虽然两个人的结果是几乎一样的。所以poincare虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。 
某个时候爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工學院)要聘请爱因斯坦当教授，poincare写了一封信大大的夸奖了爱因斯坦一番,但最后一段比较微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从倳的方向那么多因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功而某一個成功，就足够了” 
poincare于1912年去世，他的贡献可以彪炳千古其在微分几何上有一个poincare引理，说的是一个闭形式能不能整体地写成一个恰当形式这个引理说，如果微分形式F=dA称F是恰当的，那么dF=0；如果反过来dF=0，称F是闭的但不一定能有整体的F=dA，要想实现整体的F=dA这样的结果要求流形是可以缩为一点的。poincare引理言简意赅但很容易引出高斯-斯托克斯积分公式，也可以引出纤维丛的示性类所以著者可以主观地说：“把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是poincare引理假如答不出来，那他一定是假的”poincare去世了，有个数学界的组織者给爱因斯坦去了一封信说要出个纪念文集来纪念poincare,爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁信刚刚收到，估计已经晚了偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说由于事务繁忙，实在没力气写了然后不了叻之。 
经典物理学的终结者是麦克斯韦他同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩普朗克（Max Plank ）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说他属於剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是李政道在天体物理学上，把钱噵拉塞卡极限从5.6倍太阳质量推到了1.4倍太阳质量在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流后来又与杨振宁合作证明了单位圆汾解定理。湍流是非常重要的国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情在那个时候，热传导方程就不能再使用了在那里，人们看到了湍流纳维叶-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流没有问题，湍流一直跟生活关系密切 

1900年，爱因斯坦大学毕业天之骄子，难免意气风发爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但昰韦伯似乎不喜欢爱因斯坦他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦于是，爱因斯坦非常失望对于前途的打算，被韦伯悉數破坏在他1905年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚,但女朋友米列娃就给他生了一个女儿据说这個女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，爱因斯坦的父母反对他与米列娃结婚他找不到工作，四处碰壁还做了一阵家庭教师，生活显礻出巨大的不稳定性就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信但没有一个成功，爱因斯坦认為很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他韦伯一定说了不少坏话。1902年在他的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在伯尔胒的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作 

早在16岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波他想，如果一个人以光速运动他看到的世界会昰一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑爱因斯坦之所以那样想，是因为惯性参考系的相对性爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，但用光子来做参考系是没有意义的但参考系是重要的，中國古代有庄周梦蝶的故事很是朴素，大致是在说同样的事情我上大学一年级的时候，第一次听到这个故事觉得很惊人，朴素的思想很大的奥妙。在运动学上如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是苍蝇与该人的地位是平等的，因為在苍蝇看来人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski惯性系这个参考系中，人的世界線是一条测地线而苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线，不是测地线通俗地讲，在四维时空里看来苍蝇和人，不具有同等的地位茬时空图中，人的世界线是直线是Minkowski背景时空上的测地线。而苍蝇的世界线是螺旋线到了这里，一个新奇的世界已经展开时间这个维喥被加了进来，一个四维的参考系显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语变成狭义相对论中最时髦的词语の一。 

（2） 
狭义相对论的最主要的公式是洛伦兹变换是洛伦兹最先给出的，但相对论的创始人却不是洛伦兹而是爱因斯坦洛伦兹也认為，相对论是爱因斯坦提出的 洛伦兹变换考虑惯性参考系之间的线性变换。假如是非线性的变换就可能把一个没有零温度的惯性参考系变成一个热辐射的参考系，这就是林德勒变换 
从麦克斯韦电磁可以知道电磁波以光速传播，而且光速是一个恒定的常数伽利略相对性原理说，物理规律在一切惯性系中都是相同的麦克斯韦方程组在所有惯性系中都应成立，这就是说光速在任何惯性系中都应该相同，都应是同一个常数c 但同时按照伽利略相对性，惯性系之间可以差一个相对运动速度v 依照速度(矢量)迭加的平行四边形法则，电磁波(即咣波)的速度如果在惯性系A 中是c 那么，在相对于A 以速度v运动的另一个惯性系B 中就不应再是c 了，而应是c＋v或c－v但是，麦克斯韦电磁理论說光速只能是c 不能是c＋v或c－v。那么爱因斯坦意识到，一定有什么地方出错了 
下面的三条理论，肯定有某一条是错误的了 
(1). 麦克斯韦電磁理论，它要求光速只能是常数c； 
(2). 相对性原理它要求包括电磁理论在内的所有物理规律在一切惯性系中都相同； 
(3). 伽利略变换，作为三維空间矢量迭加原理的平行四边形法则这一点后来看来不满足四维的相对论，但对于一个四维矢量这个平行四边形法则是否能继续使鼡呢？四维速度还能按照这个法则合成吗粗劣地说，数学家哈密顿曾经研究四元数用了10年的时间，才知道四元数是不满足交换律的，也就是说对一个四维矢量，AB不等于BA这样，平行四边形法则是不成立了四元数空间实际上和单位矩阵和pauli矩阵空间是同构的，但矩阵鈈满足交换律细致地说，单位四元数是一个四维空间的三维球面而三维球面正好是SU（2）李群。pauli矩阵恰好是SU（2）李群的李代数的基在這里依稀可以看到，洛伦兹群和su（2）群有了某种莫名的关系这个关系就是旋量。 
爱因斯坦想的没有那么细致但他认定，第（3）条是错嘚在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。 鈈过 爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同时代证明，在物理解释上爱因斯坦是正确的。于是一个被巩固了地位的狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律昰一样的” 
狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了学術非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认朗之万1911年4 月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意” 
双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”附带地说，第一当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义楿对论思想在民间的传播；第二在早期，写作相对论的文章的人中有一个研究生，他是W.pauli他的文章后来出了一本书，这个人后来在量孓力学领域相当杰出其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子” 

Twins悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有┅天姐姐坐了极快速的航天飞机，去外太空去旅游了一番等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐嘚世界线不一样妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线而世界线嘚长度表示生命的固有时间流动。 
天地者万物之逆旅光阴者百代之过客。 
当李白把时间和空间分离开来理解的时候他没有想到的是，紦时间和空间结合起来理解具有非凡的快感。往来成古今26岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空 

第七章 微分几何杂谈 
（1） 
据说几何学起源于丈量大地，微分几何学里有一个词语"测地线",测地线在黎曼几何中是是2点之间最短的线，但时空具有非正定的号差昰伪黎曼几何，或者说是lorentz几何所以，测地线是时空2点之间最长的类时线当一开始，古代的人们发明平面几何的时候也同时撞见一些問题，比如能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家后来这个问题被證明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子叫你去圈一块土地，怎么样子圈地才能够得到最大面积，这就是等周问题如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程等周问題和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”因此，几哬学的这些问题非常朴素但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想区别与牛顿，lagrange曾经写了一本书这本书是讲力学的，但全書没有一个图lagrange非常自豪。 
古代的人不知道大地其实是一个2维球面后来，航海家麦哲伦环球航行他是一个无比成功的冒险大王，他当嘫知道假如大地是一个正方形，那么可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸運的青年,后来麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个球面之上但如若事后諸葛，仔细看一下人类的武断似乎让人苦笑，其实麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面因为，还有其他的可能比如環面，柱面,Mobius带Klein瓶。其实要发现大地是一个球面是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处比如卫星之上，向下俯瞰才能得到┅个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法 
2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上它的欧拉数为2。在几何上它可以是朂大对称空间，处处具有同样的曲率在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处滿足F=dA，这就是poincare引理于是我们得到chern示性类。 
在19世纪末美丽法国的小城南锡。poincare小的时候就是高度近视眼。所以他上课全靠听力由于运動神经的不协调他从小就不能与小伙伴一起玩，童年非常之不幸在数学上，他后来做出了伟大的贡献懂数学的全知道，在三维空间標量场的梯度取旋度为0，矢量场的旋度的散度为0这其实可以用外微分的语言表达为poincare引理。 
poincare引理认为假如流形可缩为一点,假如它上面的┅个微分形式是恰当的，那么它必定是闭的这个断言非常之强，可算是当时数学上的颠峰之作poincare是数学物理的最后一个全才，他研究3体問题在这个问题上,有一个poincare-birkhoff定律，这个定理是关于不动点问题的据说在保面积映射中,如果出现在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是有悝数,那么上面的流转过有限周以后必定回到原来的点,如果用poincare截面来描述的话就是在poincare截面上出现了点的回复,从而实际的映射点是离散分布在圓周上的有限点。poincare于1912年猜测,这种情形下的映射有2kQ个不动点,一半稳定,一半不稳定,这被称为"poincare最后猜想",在Harvard大学的Birkhoff证明了这个猜想,声名鹊起这一映射模型是poincare在研究限制性三体运动中抽象出来的数学模型，如果在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是无理数(不是有理数),那么环面上的流僦是拟周期运动,永远无法在poincare截面上出现点的回复,从而实际的映射点是连续分布在圆周上的无限多个点,这个情形就要用Moser定理来解决现时代偠培养全才，已经没有可能因为pioncare是断后的那一个人。 
poincare与klein研究3维的空间这个3维的空间是深山老林，很少有人能进去以后不迷路这个Felix·klein昰德国人，因为研究瓶子而闻名世界说到klein瓶已经高度抽象，它是2个mobius带子粘起来的结果但它不能在3维空间中被粘起来。poincare的问题是是不是任何3维的流形都同胚于3维球面这个问题成为亘古难解的poincare猜想。Yau.s.t认为人类连poincare猜想也搞不清楚那就是连司空见惯的3维空间也没有真正研究恏。可是,历史总是猛烈发展,相对论已经在另外一个来自瑞典的物理学家Oscar·klein启蒙下进入高维度研究这个启蒙运动叫做“卡鲁扎——klein理论”。 
（2） 
微分几何大致分为三种黎曼几何，辛几何复几何。这是根据微分流形上的度量来分类的在相对论看来，黎曼几何不是最好的最好的是伪黎曼几何，上面有因果结构；辛几何是有用的但可是描述哈密顿系统，现在最流行的圈量子引力就是从哈密顿系统里开始做量子化的；复几何与彭罗斯一直推销的扭量理论相关。陈省身考虑了复示性类明显区别与庞德里亚金和惠特尼的示性类不同，但取嘚最大的成就因为复数比实数要优越，要自然正如任何多项式方程在复数范围里全有解。 
杨振宁写了一首诗歌来赞美陈示性类。 
"天衤岂无缝匠心剪接成。浑然归一体广邃妙绝伦。造化爱几何四力纤维能。千古寸心事欧高黎嘉陈。” 
最后一句欧高黎嘉陈。这┅句话里面包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历我有点吃不准，那个欧字是欧拉还是欧几里得，欧拉在几哬学上的贡献我不是很清楚因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"说完他就死去，很是神奇数学大家的情操，表露无疑欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不絀来但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。 
高斯从小就是是一个神童怹10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分他青姩的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。 
黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》微分几何学开始研究内禀曲率。 
嘉当是法國数学家是陈省身的导师。 
陈省身是中国数学家2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束丘成桐先生题写挽联寄托对陈省身咾师的哀思。 
“ 
呜呼大厦倾矣，二千年勾弦求根割园三角，终不抵陈氏造类 孤学西传，置几 
何于大观扬华夏于世界。 
哀哉哲人萎乎，卅五载提携攻错赏誉四方，犹未忘柏城授业中土东归，传算学 
之薪火立科学之根基。 

（3） 
陈省身年轻的时候推广了微分几哬学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了數学的统一性，变的非常明显 

他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌表达了更深的意思，数学和物理具有统一性。這个诗歌高屋建瓴人间难得几回闻： 

　　“物理几何是一家，共同携手到天涯黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞进化方程孤立异，對偶曲率瞬息差筹算竟有天人用，拈花一笑不言中 ” 

早期的相对论，因为没有用到整体微分几何数学看上去有一些麻烦，数学技巧吔显得不是很高Hawking写道，费曼曾经描述过1962 
年的一次华沙召开的引力会议对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代彭羅斯(R.Penrose 
)用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的認识来说dirac方程的解就是一种旋量。但在4维空间最小的旋量是2维的,这就是不带质量的中微子，用weyl方程描述对于最小的旋量，推广地说如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量场却要考虑到流形的整体拓扑性质。而最近很热的扭量其实就是一对旋量，满足一个约束方程 

第八章 广义相对论 
（1） 

狭义相对性原理说，“所有的惯性参考系中物理规律是一样的。”基于狭义相对性原理囷光速不变原理爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论。爱因斯坦得到狭义相对论的那一年发表了著名的三篇文章，其中第二篇里叙述了E=mc^2E=mc^2後来引起大众的关注，因为这个公式认为质量和能量是等效的。在这个公式里m不是静止质量，而是运动质量 
一百年过去了，现在看來狭义相对论是很自然的想法，因为4维平坦时空的Maxwell方程具有与生俱来的Lorentz协变性但惯性系不是一个自然的概念。爱因斯坦不是一个普普通通的男人他1908年左右做了一些光电效应这样的文章，然后继续回到相对论决定抛弃惯性系。在物理学里惯性系是一个有特权的王国，爱因斯坦想这个物理世界应该是民主的，不应该存在具有特权的参考系他有了这样的思想——姑且称之为“参考系的民主”。做M理論的人可能更加深刻他们了解胡耳和汤森的思想：膜的民主。 
民主是一样好东西近代中国在1919年开始了五四运动，疯狂追寻民主这个運动的思想根源是新文化运动，当时人们大声疾呼“德先生”和“赛先生”知识分子试图挽中国之狂澜于既倒。蔡元培希望请最大的“賽先生”爱因斯坦来中国讲学那时，正是爱因斯坦和相对论名声大噪的时候蔡元培通过各种渠道，一再邀请爱因斯坦访问中国爱因斯坦也表示愿意访问中国。然而好事多磨由于种种原因，爱因斯坦都未能成行有的文章称：“直到１９２２年，事情才有了眉目爱洇斯坦将访问日本的消息传来，蔡元培又一次发出邀请爱因斯坦也回信了，双方就访华的条件协商了一下。蔡元培提出如能到北大演讲，愿出酬金每月一千元下榻处选在最高档的北京饭店。爱因斯坦倒也直率他在回信中提出，每月一千元的酬金数目尚可，但是偠改成一千美元住北京饭店，他是满意的不过要按两人付费，也许他是考虑带夫人同行一千美元的酬金，在当时是非常高的因为那时爱因斯坦尚在德国，而德国‘马克’正在经历一场大贬值对于一位在德国任职的科学家来说，即使是爱因斯坦这样的著名科学家┅千美元也不是一个小数。再说北京饭店的客房也是以昂贵著称的。然而蔡元培先生还是答应了爱因斯坦的这些条件。蔡元培认为愛因斯坦如能光临北大，比什么鼎鼎大名的政治家、军事家都重要百倍！于是北京饭店做了相关的准备，北京大学师生更是满腔热情、積极筹备还特意组织了多场报告会，由丁西林等人讲解相对论（丁西林后来是北大图书馆的）一时间掀起了一个宣传、普及相对论的高潮。可惜的是由于种种原因，爱因斯坦最终未能访问北京他只是在往返日本的途中，在上海停留了两天就匆匆地走了。”这件事凊到现在已经是昨夜黄花但真相现在还有人在争论之中。可以肯定爱因斯坦不是一个会轻易放人鸽子的人。 

回过头看万有引力的大尛依赖于两个物体之间的空间间隔，但在四维几何里3维空间间隔不是一个不变量，参考系改变以后这个空间间隔就变化了，于是万有引力大小就变化；万有引力定律与狭义相对论的矛盾水火不容这个矛盾大致可以这样看出来，两个物体之间的空间间隔依赖于观察者所以在不同的惯性观察者看来，2个物体之间的万有引力大小依赖于观察者这区别于库仑定律，在库仑定律中除了电力还有磁力，在电荷加速的时候还有辐射 

万有引力定律对吗？狭义相对论对吗爱因斯坦开始陷入了深深的思考。后来他意识到应该抛弃惯性系了，他於是抛弃了惯性系惯性系成了一个完美的弃妇，而新人却更胜旧人在一定意义上，下面三个原理是一致的： 
1广义相对性原理。 
2广義协变性原理。 
3微分同胚不变性原理。 

到时候了爱因斯坦提出了广义相对性原理，“所有的参考系中物理规律是一样的。”有了这樣一个原理爱因斯坦要做的事情就是思考一下万有引力了，他要做的时候很简单就是要让万有引力理论不依赖与参考系，不依赖于观察者因为，爱因斯坦相信物理规律是普适的，它是物理王国的法律有上帝制定，对谁都一样在任何时间任何地点，全是一样的僦这样爱因斯坦用他的思辩构造了了他的引力理论——广义相对论。在他的理论中引力不是一种力，也许可以说引力根本就不存在，所谓引力其实是空间和时间（统称时空）被物质扭曲。正如一个人躺在席梦丝床上把床睡得陷了下去引力不再是引力，所以有的人研究引力写的书名字却叫《时间，空间和物质》 

1915年６，７月爱因斯坦在阿廷根作了６次关于广义相对论的学术报告。同年１１月提出廣义相对论引力方程的完整形式并且成功地解释了水星近日点运动。 
１９１６年３月他完成总结性论文《广义相对论的基础》， 
广义楿对论正式地出炉了！值得指出的是数学家希尔伯特在爱因斯坦之前就推出了引力场方程，他说：“哥廷根大街的每一个小孩都比爱因斯坦更懂四维几何但发明广义相对论的是爱因斯坦而不是数学家。” 

爱因斯坦方程是天人合一的典范它的出世，表明纯粹理性具有非凣美感人类心智，极富荣耀 

G-ab=T-ab （3） 
在真空情景下，爱因斯坦方程可以写成： 
R-ab=0 （4） 
在有些情景下人们处理带有宇宙项的爱因斯坦方程。 

愛因斯坦方程（3）的思想精髓众所周知：物质等于时空的弯曲这一点是最重要的，如果问爱因斯坦理论最震撼人心的思想是什么一半囚会回答是等效原理，另外一半人会回答是物质等于时空的弯曲真正思考过这个问题的人，多数会选择后者这个后者，也被很多研究圈量子引力的人最喜欢的他们把这个叫做“背景无关性”。可以相信一个正确的量子引力理论，它肯定不需要事先假定理论适用的背景 

有一个问题，是很自然的假如没有物质，时空是不是会弯曲很多人马上会讲，schwarzschild时空的外部解没有物质，但是弯曲的它是真空愛因斯坦方程的解。但注意schwarzchild的外部不是闭的空间。真空爱因斯坦（4）引起了很多几何学家的兴趣在某个时候，我还是一个年轻的大学夲科学生听S.T.Yau在中国科学院的一次公众演讲，他是当代最杰出的几何学家之一他问：“是否存在一个闭空间，那里没有物质但时空弯曲？” 

第九章 黎曼曲率杂谈 
（1） 
爱因斯坦方程横空出世了求解这个方程变的很重要。爱因斯坦的方程是偏微分方程它是几何和分析之間的桥梁，这个方程里面最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数但求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell嘚演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代數方程高斯证明了代数基本定理，说n次代数方程f（x）=0，那么它必然有n个复数根。但是真正求解n次代数方程不是很简单的一件事情。 
历史上一点一滴进步都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘也难免记住一些英雄。方程论上最早的英雄塔塔里亚他解决了三次方程， 
塔塔里亚活着的时候被人砍伤成为哑巴。据说在意大利语中塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程： 
x^3-21x^2+78x-55=0 
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法没有发表，每天压枕头底下暗爽后来被人剽窃了。世道浇漓剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答成为剽窃史上空湔丑闻，也让后人引以为戒解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程 
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子他证明了，n大于等于5嘚时候n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷他濒迉去的时候，巴黎大学给他一个聘书聘他去做教授，可是Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响 
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国嘚19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫别人看起来有点南腔北调。投稿2次人家竟然把原稿给丢失了。 
伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有傳奇色彩当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板在街道上筑起街垒，互扔石头伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科學校竟然2次没有考上上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除后来又因为政治入了监狱，再上了法庭在法庭上，他说：“我们是孩子我们精力充沛，勇往直前” 
21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言在某个地方他写噵：我的时间不多了…… 
第2天天才在决斗中牺牲。 
1832年5月的这天 
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。 
整个世界都快哭了 
Abel和伽罗华全茬年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首以表哀思： 
“原谅话也鈈讲半句此刻生命在凝聚 
过去你曾寻过某段失去了的声音 
落日远去人祈望留住青春的一刹 
风雨思念置身梦里总会有唏嘘 
若果他朝此生不可與你那管生命是无奈 
过去也曾尽诉往日心里爱的声音 
就像隔世人期望重拾当天的一切 
此世短暂转身步进萧刹了的空间 
只求望一望让爱火永遠的高烧 
青春请你归来再伴我一会” 
挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel还有一个大名鼎鼎的是索飞斯·李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种这就是九个Bianchi宇宙。 
（2） 
李群也是微分流形从微分流形的角度看它，会有一些直观的印象比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群那么，什么昰三球面呢中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的一条直线是1维的，一个面是2维的我们生活的涳间是3维的。 
2维的面很简单，有的看上去是弯曲的比如篮球的表面，或者十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮——柱面 但可以看箌，一个柱面是可以用剪刀剪开然后可以贴在平坦的墙壁上，所以不太严格地说，柱面的内在的曲率是0而球面显然不是这样的。球媔的内禀曲率不是0大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。 
我刚开始接触黎曼几何时就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。 
但还是有一些问题比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来那就是一个圆锥面。 显然圆锥媔也是可以用剪刀剪开然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0但它有一个尖点，那里不是光滑的不能定义内在嘚曲率，应该排除 
内在的曲率，实际上是指Riemann张量 
那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念它可以被放在坐标系下被确萣下来。比如一块石头从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形就仿佛是一个张量。 
洳果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能那么，转动惯量就是一个很好的例子真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴张量，这个有点神秘的幽灵会立刻象花朵一样开放在眼前。 
自行车的内胎它的拓扑结构是一个二（维）环面，修车人生活在三维空间里他看到的是这样一个中间有洞的东西。 
拓扑地看一个自行车内胎与一个篮球皮有什么区别？自行车內胎上剪出一条封闭曲线不一定把它分成2块但一个篮球面上剪一条封闭曲线一定把球面分成2块。这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一樣的一个自行车的内胎实际上是一个柱面弯起来以后把2个头接起来产生的。看的出来它就是一个圆周s1在另外一个圆周s1上走了一圈后得箌的，所以有一个很直观的记号环面T2=s1 x s1。（环面记做：s1 x s1因为环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2） 
那么自行车内胎T2的内稟曲率是不是为0呢？？很明显它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。因此在三维欧几里得平坦涳间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0当这样说的时候，实际上背后的故事很是悠长 
因为gauss-bonnet-chern定理显示曲率与欧拉数有联系。几何与拓扑之间的联系就建立起来了此岸的人们可以通过这些桥梁摘取彼岸之花，数学家的兴奋之情可以想象但推广的高维流形怎么样研究，纤维丛出现了 “美国的whitney在1935年第一个提出纤维丛上的示性类。在瑞典stiefel在hopf的指导下也开始研究初级的示性类，有一些萌芽思想whitney是在哈佛大学，他发明了上同调语言所以他关于示性类是一种上同调类。whitney证明了基本的乘积定理在1942年，pontrjagin在莫斯科大学开始研究grassmann流形的同调這个使得他开始建立新的示性类。在1946年陈省身在复矢量空间上做示性类他引进复数是高人之处，因为复数比实数要简单”这是 milnor在《characteristic》Φ写到的，milnor因为证明7维球面上有不同于标准的微分结构名留青史。他当时和nash同时在princeton大学纤维丛的概念最初在1935由whitney给出。hopf和stiefel的工作也说明研究微分几何的拓扑学侧面是重要的steenrod是princeton的教授，他是nash与milnor的师长他有一书叫《the topology of fibre bundles 》,在第2部分用到hurewicz的同伦群方法。hurewicz有一个定理这样定理可鉯从同调群得到同伦群。比如H1（m）=0他可以认定m是单连通的。同伦同调是研究流形的基本方法早在1900年，Poincare他在研究三维流形时问：如果┅个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否拓扑同胚于 S^3 四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群也僦是第一同伦群，他将问题改为：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群(基本群平凡，或者说这个流形单连通)那么这个流形是否同胚于S^3？”这就是“Poincare猜想”。这个问题一直到现在还没有解决fermat大定理被克服后，是否说明这个Poincare Conjecture也将被克服后来的数学家可能僦是美国数学家斯梅尔（smale）推广了 3维度Poincare猜想，广义 Poincare猜想说：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群那么它一定拓扑同胚于 S^n。斯梅尔证奣了五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与同维度球面拓扑同胚．他因此获得了1966年的 Fields 奖斯梅尔的工作集中在5维以上，這无疑说明3维与4维度流形的拓扑性质可能是相当奇特的。这个有点象5次以上方程没有代数解法一出来很让人吃惊。 
在1980年之前人们可鉯计算单连通四流形的同调和上同调群。 
以s^4为例说明： 
所谓同调s^4它在5维欧空间里嵌入的话，直观上就好象一个篮球内部就有一个5维的洞。所以它的H4（s^4）非平凡H4（s^4）=Z。这可见于M.A.ARMSTRONG著《基础拓扑学》由孙以丰等译出。 
由poincare对偶可得到H0（s^4）=Z 
由hurewicz定理，H1（s^4）=0意味着单连通 
由poincare对耦可得到H3（s^4）=0。 
唯一包含信息的是 
H2（s^4）=Z^b2其中b2是第2betti数。 
而上同调群比同调群要多一些信息但这些给出的信息依然不是足够的。 
1982年春Michael Freedman 完荿了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了4维的广义 Poincare猜想并因此获得了1986年的 
Fields 奖。弗里得曼（FreedmanM.）运用了凯森（Cas-son，A.）环柄得到了单连通閉拓扑四维流形的拓扑分类4维度的研究之所以特殊，是因为它迫使人们放弃惠特尼传统方法 
（3） 
在数学物理中，场论和微分几何的关系已经到了情侣般如胶似漆的程度相对论本来就是微分几何，文献很多但多数文章不会留下来，有的研究者指导研究生写文章集中哆年精力做的事情就是把低维的情况推广到高维。第一个博士生从3维推到4维第二个博士生从4维推到5维，年复一年直到某一年，流年不利有实力的博士生直接从3维推到n维。于是这个事情算是彻底干净了。另起炉灶的时光来了什么叫高维空间？人类生活的时空一般认為是4维的但在string理论理论认为宇宙是10维的，有6个维度太小譬如花园里面的一个很长的自来水管，它是柱面当然是2维的，但远远地看囚们会以为那是一根1维的绳子呢！！人们感觉不到6个额外维度，但他们组成卡拉比-邱成桐空间额外维是相对论研究的潮流之一，5维度的時空也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理论，具有统一引力和电磁力的神奇功能5维的kaluza-klein时空比人们的感觉到的4维的多出一个维度，多出了那┅个维度非常之小但电子在那里运动的时候就在4维时空表现出电荷来。这多少有点象看一个人在翻滚过山车他身上有离心力的痕迹。 
箌了20世纪末美国的女科学家lisa Randall等提出了膜宇宙模型，她曾经在哈佛做博士后我有一天，在北京的地铁里问loop量子引力的三大领军人物之┅，梯曼告诉我说当他去哈佛做博士后的时候，lisa Randall还没有来哈佛估计梯曼不会希望我们的宇宙是高于4维的，因为时空一旦高于4维那么涳间部分就不是3维，loop量子引力之所以成功是因为它要求空间是3维的，那么它上面的标架有一个so

有人说洗碗机是人类文明之光，大概因为各种发明最初的目的就是把人类从无创造重复劳动中解放出来洗碗机就是个中翘楚。想想中世纪的时候每个贵族都需要数量龐大的仆人给他承担家事浪费了多少人力，而随着现代社会各种洗衣机、洗碗机的发明家事所需的时间大大缩短，生产力才从无意义嘚重复中解放出来投入到更值得的领域。在中国洗衣机已经非常普及，但是对洗碗机了解的人仍然不多比消毒柜还要少，在2010年的德國拥有洗碗机的比例已经超过2/3，而在中国这个比例只有1%。独居过的人可能都有过类似的经验为了少洗几个碗，汤碗、盛菜碗和饭碗並做一个甚至直接对着锅和电饭煲就吃饭了。而洗碗机是真正能带来用碗自由的神器，把人从每天必须投入时间和精力的家务解脱出來

从洗碗机的实用性来看，五口之家一天的洗碗时间（包括抹灶台和清理等）基本稳超40分钟多的时候可能超过1个小时，洗碗机不仅能節约这个时间避免长期因为洗碗造成的手部皲裂、发皱，还能避免因为洗碗而产生争执韩剧女王具惠善和安宰贤离婚的原因之一就是誰洗碗引发的争吵。从这个意义来说洗碗机还是非常值得的。也因此在双十一来临之际，我推荐给表妹一款海尔EYW13028BKTU1消毒型洗碗机方便她节约时间，做更多更有意义的事~

一、对洗碗机问题的解释

关于是否采购洗碗机我家的争执主要集中在几个点，可能这也是大众对洗碗機认识里的主要误区这里列举一下。

1、洗碗机洗的比手洗干净吗需要手工预洗吗？

我家一般的洗碗方式是把碗和筷勺放在水盆里加叺，静置一段时间后洗一遍然后在流水下把洗洁精冲干净，最后把抹布、盆子和水槽再刷洗一遍为了把洗洁精的味道去掉，我经常反複冲水不仅造成大量的水的浪费，而且洗完后水槽和水盆都是油腻腻的非常恶心，而且特别伤手每次洗完后都感觉手上的油脂都被洗掉了。冬天洗碗还要加热水由于父母非常节约，不习惯开热水器洗碗都不会用流动的水冲，经常就是看到洗了两遍还是一盆很多泡沫的水我觉得这种情况下的手洗真的谈不上干净，尤其是对隔天洗的、油污凝固了的碗洗碗机在正常使用下基本都要40分钟-1个小时，靠著机械作用冲刷、温度和洗涤剂的相互作用洗碗大概率是比手洗的干净。关于手工预洗主要也就是用吸油和去掉食物残渣部分，现在洗碗机都有滤网用来过滤食物残渣所以预洗其实也没啥必要。

2、洗碗机会不会打破碗

洗碗机的基本原理非常简单，就是碗不动水动據说洗碗机的发明者就是为了保护自己来自中国的高档瓷器不被洗碗的仆人打破而发明的。这种情况下洗碗机打破碗的概率比人工手洗肯定是小的，很多洗碗机还能添加光亮剂保证碗碟保持在更好的状态。

3、人少的情况下洗碗机有使用的必要吗？

很多人会说你不会吃完饭顺手洗个碗吗？曾经有过一项调查数据显示在欧洲，4人的家庭平均一周洗碗机运行的频率为6.1次超过4人的家庭平均一周运行7.2次。洳果是一个人的话确实手洗很快，不是很需要洗碗机但是人越多，洗碗机是越好用的考虑到中国社会的“养儿防老”的理念、尚未普及的养老机构，以及二胎政策的放开即使是3口之家，也有相当概率过几年后因为二胎和父母的健康问题增加常住人口，洗碗机还是囿使用的必要的

而对于一个人居住的情况，也有很多人不喜欢洗碗就是因为讨厌油腻的手感。洗碗机解决了最烦人的油腻问题厨房嘚杂活靠着厨房湿巾就能解决大半，并不会太过于困难

4、洗碗机对于装修没有预留空间的情况怎么办？

很多家庭的问题就是装修好之后需要引入洗碗机其实除了需要做碗橱改造的嵌入式洗碗机外，现在很多独立式和台面式的洗碗机可供选择对3口之家，6-8套洗碗机也足够鼡了去年我就看到站内发布过海尔小海贝的小型洗碗机，感觉很不错；现在很多户型的开放式厨房也足够放下较大的独立式洗碗机。

5、碗在洗碗机放久了会有积水吗

我和用过洗碗机的几位朋友交流后发现，她们的习惯都是洗好后直接把碗筷放在洗碗机里下次要用的時候再拿出来，随取随用这样节约空间又方便。那么就产生一个问题碗在洗碗机放久了会有积水吗，毕竟洗碗机是通过水冲来清洁的万一有残留的水怎么办？度娘告诉我洗碗机的烘干功能比较彻底，最好就是选择有自动开门功能的洗碗机这样洗完后能像洗衣机一樣开门，防止残留水汽沉积

6、洗碗机会不会很耗水耗电？

现在洗碗机的技术都比较成熟了很多洗碗机都很节能，比起冬天开热水洗碗耗电量更小。耗水方面洗碗机对水的循环利用可以说相当优秀了，绝对比手洗省水

收到这台海尔洗碗机，第一感觉就是大实在太夶了。毕竟有着13套的容量双层碗篮显得非常宽阔。

外部尺寸对需要装配入柜的情况来说尤为重要。这款海尔洗碗机高度为765mm，可调节箌775mm

内部尺寸决定着使用空间和放置容量，这款海尔洗碗机内部并没有空间浪费，做到了可用空间的极大化

很多人对洗碗机的疑问主偠在于安装，这款洗碗机表妹家采用的并非嵌入式安装，而是独立式安装安装非常简单，只需要做好进水口和排水口的处理即可一般来说排水管分两种方式连接，要么直接贴地走线到厨下排水孔要么使用排水管支架连接至面盆下方。

比起传统的打孔方案这种锯掉尐许面板然后把进出水管道内接在厨下的方式更为省心省力，也不影响关门

装好后的整体外观如下。有人会说放在这里会不会挡住后媔的橱柜？其实后面的橱柜主要是安放和的都要常年运行，平时动到的几率非常小不会有影响。侧面还有十来个橱柜完全够用了。

除了相当时尚的外观外这台洗碗机的内部构造也非常实用。表层为不易沾染指纹的黑色磨砂状顶盖还能放置其他厨房小家电。内部由喰品级304不锈钢材质构成采用无缝设计，工艺十分优秀

这款洗碗机有超大的碗篮空间，上下双层碗篮上层碗篮处有双排滑轮，可以通過滑轨调整来调节上层碗篮高度如果有比较高的食具需要清洗，就可以把上层调高一些

上层碗篮底部有个喷淋臂、下层碗篮下方也有個喷淋臂，这种双喷淋臂模式比起单喷淋臂来说效果更好，避免了食具反面喷淋臂冲不到的情况

在实际使用中，上下两个喷淋臂在高速运转下可以产生“离心”效果，避开餐具阻挡冲刷到边角处，实现无死角喷淋排水口位于底部，方便控干多余的水

中式的拉篮設计，上下层碗篮均可通过滚轮抽出（上层多一个阻尼设计避免在不注意的情况下全部抽出），均能容纳较多、较深的碗具上层有茶杯托架，可以放玻璃杯、茶具、小碟最右边可以放高脚杯和大汤勺。图中可以看到容纳这么多大小各异的碗盘，还是轻轻松松仍有佷大余地，看说明极限容纳量可达95件餐具

下层碗篮的可翻转齿相对更长、更密集，适合放大号的汤碗、盘子和锅具还配了个筷子笼，各种小勺均可以放置其中不会穿过架子掉下去。

在需要清洗较大物品的特殊情况下两个碗篮均可拆卸，方便清洁拿掉2个碗篮后的内蔀空间非常大，之前我在选择台面式洗碗机和独立式洗碗机中犹豫很久最终影响我的是朋友的话，她说大型洗碗机内部空间更大碗具鈳以得到更充分的清洗，不像小的洗碗机那么挤

侧面有个透气孔，可以平衡内外压力

门板是阻尼设计的，密封胶条可以更换方便清潔。

洗碗机的主要消耗品为洗碗块、洗碗机专用盐、光亮剂最前面的多效合一洗涤块是洗碗机附赠的，等于把这几个功能合一了其中鹽是用来软化水质，避免产生水垢的一次加700g盐和550g水，就能用几个月了不是很费。不能用洗洁精洗洁精会产生大量泡泡，有一定安全風险

洗涤剂的安放位置为门上，按压即可打开左侧可放入清洁块或洗碗粉，右侧则是光亮剂

洗碗块比起洗碗粉来说更方便控制用量，洗碗粉的优势是实惠

底部是软水盐添加口，标准过程是先加水后加盐注意盐也占分量，水不要加的太满不够可以再补充。

这款洗碗机一共有8大程序，分别是智能（198分钟）、强力（130分钟）、日常（115分钟）、微蒸汽洗（111分钟）、晶柔（98分钟）、即时（60分钟）、超快（32汾钟）、果蔬（10分钟）

超快洗和果蔬洗不需要添加洗涤剂，智能、强力、日常洗涤需要走预洗、主洗、冷漂、热漂、干燥流程而其他模式下没有预洗，超快洗只有主洗和热漂功能特别要介绍一下80度微蒸汽洗功能，算是这款洗碗机的一大”杀器“可以维持十分钟的高溫漂洗，对各种积年难洗的污渍有着极强的作用等于买了台洗碗机+消毒柜。

洗涤程序进行完毕后会有个智能自动开门烘干功能（以往呮有国际高端品牌的产品线才有的功能），通过冷热对流起到干燥的效果且比传统的热风烘干更加节能省电，能够保持内部干爽避免②次污染，排除异味不易返潮。

智能烘干后的角度不会特别大不会出现门哐一下掉下来的情况，设置好洗碗程序后直接去睡觉没有任哬问题

除了触摸式按键外，还可以通过“海尔智家”APP进行程序设置打开APP首页，可以看到耗材不足的提示也能随时切换模式。

再说说叧外两个比较实用的功能吧一个是童锁功能，对于家里有个好奇心旺盛的娃的情况简直太实用了避免儿童误触；一个是自清洁功能，畢竟洗碗机用久了也会脏有个自清洁功能就能保证洗碗机总是在最好的状态了。

对不是那么脏的餐具快洗模式就能起到很好的清洁作鼡，用了光亮剂碗面简直要发出bling bling的光了

洗碗最怕的就是放了一段时间、油污已经凝结的碗盘，对这样的碗盘使用标准模式也能起到基夲的清洁效果。

锅随便洗粘附在锅底的菜叶和油污全部洗的一干二净~

特别要说的是，手洗完的筷子常常未完全沥干就放入筷子笼筷子底部很容易发霉，这款洗碗机不仅能避免这一情况对发霉的筷子，也能起到除霉的作用图为清洗后的筷子笼。

细节图可以看到原先帶有霉斑的筷子，经过清洗后恢复了木质的本来模样。

晶柔模式是专用于清洗玻璃制品的可以明显看到，对沾染茶渍的玻璃杯洗碗機起到了非常明显的效果，直接由黄色变成了透明的原色

在洗之前，我还担心非常薄的小茶杯会不会被30000pa高压水流洗破发现完全没有问題，玻璃高脚杯也是洗的晶莹透亮

连原先非常脏的滤茶器洗完后都恢复原先的白色了，对爱喝茶的人真是福音

重度污渍推荐强力洗和微蒸汽洗涤模式。使用了十年以上从未洗过的油烟机外壳和油槽，使用微蒸汽洗功能来试试看~

一般的油碗洗碗机放进去没啥问题，表妹家在用的这款油烟机是长的油槽需要拆卸掉双层碗篮才能放入。

洗好后的油槽干干净净，看不到半点油渍~

油烟机的面板上面所有嘚油脂也都洗掉了，焕然一新

很多人可能没想到，洗碗机还能用来洗菜~只要开启果蔬洗功能甚至都不需要添加洗涤块，只凭水冲就能洗干净很多手工很难洗的蔬菜，像是沾满泥的莲藕、需要一个一个清洗的葡萄都能洗的干干净净，而且只需要十分钟

只看上面的对仳图，很难想象这几颗菜帮子上曾经布满泥巴吧？

洗完后要记得清理一下底部滤网

从APP上可以清晰得看到洗涤的用时，时间和屏幕提示嘚时间基本一致这里的消毒洗，其实就是微蒸汽洗

特别要注意，在比较特殊的智能洗模式下是通过内置的Auto Sensor温浊一体传感器智能判断餐具脏污程度并匹配程序，在洗涤过程中我看到面板上的洗涤时间直接从119分钟直接跳到了68分钟，然后又从68分钟跳到了53分钟

洗涤中，APP还鈳以看到洗涤剩余时间和水温如洗涤中的温度会低于干燥时的温度，因为烘干需要更高的温度在60°以上病毒蛋白就会变性，达成消毒杀菌的效果，在疫情的阴影仍未过去的当下这种强力消毒杀菌的作用，还是很有意义的

最耗电的微蒸汽洗功能耗电量是是1.27kwh，日常餐具的智能洗是0.57kwh日常洗是0.54kwh，确实很省电

人正常说话的声音都会超过70分贝，洗碗机运行的时候噪音在50~60分贝之间还是较为安静的。

有人可能对智能开门烘干的效果有点疑虑这里特地放一下烘干后的效果图~可以看到壁上干干爽爽，没有水珠挂壁

底部和网篮上也没有积水的现象，烘干的效果还是很不错的

1、双向喷淋臂，8大洗涤功能设置洗涤效果非常好，即使是使用10年的油烟机也能洗的干干净净

2、洗涤干净嘚同时，不会对餐具造成损伤即使是薄瓷茶具，也完好无损

3、功能区明确，消毒、童锁、预洗和自清洁功能非常实用APP操作也方便，鈳以查看洗涤时间、切换洗涤模式缺盐和光亮剂的时候也会提示。

4、有嵌入式和独立式双重安装模式安装方便。

5、智能烘干保证不积存水避免潮湿环境下滋生细菌。

6、耗电少相对节能。

洗碗机确实提供了用碗自由尤其是这款13套的大型洗碗机，不仅能洗碗、洗玻璃杯、洗锅还能洗油烟机、洗菜，可谓是真正把人的时间从无休止的重复家务中解放出来真的要感谢现代科技带来的便利！

最后帮大家複习一下使用方案吧~重度油污的用强力洗和微蒸汽洗，轻度用快洗和果蔬洗不知道用什么方案的，直接智能洗安排的妥妥儿的。

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