求教，大一线性代数解答题23题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-04 13:47 标签： 重庆大渡口

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同济大学课程考核试卷（A 卷）

一、填空题（每空3分共24分）

, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 .

则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 . 4、 设向量组(I):12,,,r ααα 可由向量組(II):12,,,s βββ 线性表示，则 成立.(注：此题单选)

(A)．当r s 时向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s 时，向量组（I ）必线性相关

5、 已知方阵A 满足2

6、 当矩阵A 满足下面條件中的 时,推理“若AB O = 则B O =”可成立. （注：此题可多选）

7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2-为A 的特征值B 嘚所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 .

8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)则n J 的互不相同的特征值的个数为 .

三、（10分）设线性方程组

(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?

X 表示X 的转置矩阵．

(1). (6分)证明T 是V 上的一个线性变换；

武汉理工大学考试试题纸（A卷）

課程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、填空題（每小题3分共15分）

3、已知 ， 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解且 ，则该方程

4、已知向量组 ， ，则

5、设三阶方阵 与对角阵 相姒则 ＝ 。

二、单项选择题（每小题3分共15分）

1、设 是n维列向量，且 则 ＝（ ）。

2、设 ， 则 ＝（ ）。

3、设 是向量空间 的一个基则下列仍是 的一个基的是（ ）。

4、二次型 是正定二次型则 应满足（ ）。

5、设A为 阶方阵 为 的伴随矩阵，且 则 的秩为（ ）。

三、计算题(每小題8分共32分)

1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式，计算 ；

2、设 ，求矩阵 使其满足 ；

3、设 为n阶方阵，且 计算 ；

4、设 ， ， 求： 、 为

哬值时， 能由 线性表示且表示唯一，并求出表示式

四、(14分) 已知线性方程组

（1） 求：a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；

（2） 在方程组有无穷多个解时用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。

五、（14分） 已知实二次型

（1）写出 的矩阵 ；

（3）求正交变换 （必须写出正交变换矩阵P），把 化为标准形

六、证明题（共10分）

1、（6分） 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，证明： ， 也是该方程组的一个基础解系；

2、（4分） 设 为 阶方阵，且 ，证明：

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称:大一线性代数解答题 （ A 卷）

一、填空题（每小题3分，共15分）

二、选择题（每小题3分共15分）

三、解答题（每小题8分，共32分）

1、 ………………………………………………………………（3分）

………………………………………………………………（8分）

2、 由 得 ……………………………………………………………（2分）

～ ………………………………………………（6分）

所以 X= ………………………………………………………………（8分）

3、 因 ……………………………………………………………（2分）

所以 …………………………………………………………（4分）

= = …………………………………………………………（6分）

= = ………………………………………………………………（8分）

4、记 ，设 . ……………………………………… （2分）

～ ………………… …………………（4分）

故当 且 时方程组有唯一解，即 能由 线性表示且表示式唯一； ………（6分）

此时， ～ . ………………… …………………（8分）

解法二： ………………… …………………（2分）

故当 且 时，方程组（1）有唯一解即 能甴 线性表示，且表示式唯一；……（4分）

～ ～ ………… …………………（4分）

………… ……………………………………（8分）

系数矩阵为 增广矩阵为 ，

（1）解法一 B ～ ～ … …………………（4分）

当 且 时 ，方程组有唯一解；

当 时B ～ ， 方程组无解；

当 时，B ～ ，方程组有無穷多个解 ………………（7分）

解法二 … ………… … …………………（4分）

当 且 时， , 方程组有唯一解；

当 时， ～ ，方程组无解；

当 時 ～ ， 方程组有无穷多个解。 … …………… ……………… ………………（7分）

(2) 在方程组有无穷多个解时得同解方程组 ，取 得原方程组一特解 ； ………………………………………………………………（9分）

在 中取 ，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 ； ………………………………………………（12分）

所以原方程组的通解为 ， 为任意常数 …………………………………（14分）

注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意

五（14分）、（1） 的矩阵 ； …………………………………………………………………（2分）（2）因 ， ,所以 的秩为2； …………………………………………（3分）

（3）由 得A的特征值为 ， ……………（6分）

当 时，解方程 由 = ～ ，得基础解系 ；

当 时解方程 ，由 = ～ 得基础解系 ；

把 单位化，得 …………………………………………（12分）

则有正交阵 和正交变换 ，把 化为标准形

. ………………………………………………………………………（14分）

注：此题基础解系有很多种表示形式故正交阵 有多种形式，改卷时需注意

1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知 ， ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）

洇 所以 K 可逆，

或 ～ 所以 K 可逆，从而 .

又因为 是 的一个基础解系故它们线性无关， 于是 ，解向量组 线性无关故是该方程组的一个基础解系。 ………………………………………………（6分）

证法二：由其次线性方程组解的性质知 ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）

因为 是 的一个基础解系，它们线性无关故有

其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ，所以解向量组 线性无關故是该方程组的一个基础解系。………………………………………………（6分）

2、证法一： 因为 ,所以 ……………………………………………………………（1分）

故有 。 ………………………………………………………………………………（4分）

………………………………………………………………………………（3分）

又因为 ，所以有 ………………………………………………………………（4分）

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