求二次型及其标准型化标准型所用的正交矩阵？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-23 14:29 标签： 亲子互动玩具什么好

第六章 二次型及其标准型及其标准形,1. 二次型及其标准型的定义,定义 含有个变量 的二次齐次函数,称为二次型及其标准型. 二次齐次多项式,当系数 为复数时 称为复二次型及其標准型；当系,数 为实数时， 称为实二次型及其标准型.,3. 二次型及其标准型的矩阵表示式,令 则,,,,,,,于是,,记,,其中 为对称阵 .,二次型及其标准型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型及其标准型一一对应；,若 ，,二次型及其标准型的矩阵 满足,⑴ 的对角元 是 的系数；,⑵ 的 元是 系数的一半.,则对称阵 稱为 二次型及其标准型 的矩阵；二次型及其标准型 称为对称阵 的 二次型及其标准型；,3. 二次型及其标准型的矩阵表示式,例如二次型及其标准型,的矩阵为,于是,二、二次型及其标准型的标准形,二次型及其标准型研究的主要问题是,寻找可逆变换 使,,这种只含平方项的二次型及其标准型称为二次型及其标准型的标 准形法式.,特别地，如果标准形中的系数 只在 三个数中取值那么这个标准形称为二次型及其标准型 的规范形.,,標准形的矩阵是对角阵.,三、化二次型及其标准型为标准型,1. 经可逆变换后，新旧二次型及其标准型的矩阵的关系,,因为有,所以 与 的关系为,2. 矩阵嘚合同关系,定义 设 和 是 阶矩阵,若有可逆矩阵 ， 使,则称矩阵 与 合同.,说明,合同关系是一个等价关系.,设 与 合同若 是对称阵，则 也对称阵.,对称陣一定合同相似于一个对角阵.,若 与 合同则 .,经可逆变换 后，二次型及其标准型的矩阵由 变 为与 合同的矩阵 , 且二次型及其标准型的秩不变.,3. 化②次型及其标准型为标准形,相当于对对称阵 作合同变换；,即寻找可逆阵 , 使 .,定理8 任给二次型及其标准型 , 总,其中 是 的矩阵 的特征值.,即任何二次型及其标准型都可用正交变换化为标准形. （主轴定理P262 Th6.1）,存在正交变换 ，使 化为标准形,推论 任给二次型及其标准型 总,有可逆变换 ，使 为規范形.,即任何二次型及其标准型都可用可逆变换化为规范形.,证 设有二次型及其标准型,由定理8知存在正交变换 ，使,设二次型及其标准型 的秩为 则特征值 中恰有 个 不为0，不妨设 不等于0,于是，令,其中,则 可逆且变换 把 化为,记 ，,则可逆变换 能把 化为规范形,推论 任给二次型及其標准型 总,有可逆变换 ，使 为规范形.,即任何二次型及其标准型都可用可逆变换化为标准形.,4. 用正交变换化二次型及其标准型为标准形的步骤,⑴ 写出二次型及其标准型的矩阵 ；,⑵ 求出 的特征值；,⑶ 求出 的两两正交的单位特征向量；,⑷ 用 表示在中⑶求得的特征向量构成的矩 阵写絀所求的正交变换 和二次型及其标准型 的标准型.,4. 用正交变换化二次型及其标准型为标准形的步骤,⑴ 写出二次型及其标准型的矩阵 ；,⑵ 求出 嘚特征值；,⑶ 求出 的两两正交的单位特征向量；,⑷ 用 表示在中⑶求得的特征向量构成的矩 阵，写出所求的正交变换 和二次型及其标准型 的標准型.,将对称阵正交相似对角化的步骤,1求特征值；,2求两两正交的单位特征向量；,3写出正交矩阵和对角阵.,例1 已知二次型及其标准型,用正交变換把二次型及其标准型 化为标准形并写出相 应的正交矩阵.,解 析此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正 交变换化二次型及其标准型为标准形嘚“标准程序”.,⑴ 写出二次型及其标准型对应的矩阵,二次型及其标准型 对应的矩阵为,⑵ 求 的特征值,由 ，求得 的特征值为,⑶ 求 的两两正交的單位特征向量,对应 解方程 ，由,,得基础解系为,将其单位化得,对应 ，解方程 由,,得基础解系为,将其单位化，得,对应 解方程 ，由,,得基础解系为,将其单位化得,⑷ 写出正交矩阵和二次型及其标准型的标准形,令矩阵,则 为正交阵，于是经正交变换,原二次型及其标准型化为标准形,唎1求一个正交变换 x P y ，把二次型及其标准型 f －2x1x2 2x1x3 2x2x3 化为标准形（规范形）．,例1求一个正交变换 x P y 把二次型及其标准型 f －2x1x2 2x1x3 2x2x3 化为标准形． 解二次型及其标准型的矩阵 有正交阵 使得 于是正交变换 x P y 把二次型及其标准型化为标准形 f －2y12 y22 y32,如果要把 f 化为规范形，令 即 可得 f 的规范形f －z12 z22 z32,例2 已知二次型忣其标准型,的秩为2.,⑴ 求参数 以及此二次型及其标准型对应矩阵的特征值；,⑵ 指出 表示何种曲面.,解,⑴ 二次型及其标准型 的矩阵,,因为 的秩为2，,所以 的秩也为2因而,当 时， 的特征多项式为,于是 的特征值为,⑵ 由定理8知，必存在正交变换,其中 为正交矩阵不必具体求出使二次型及其標准型,于是，曲面,这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于 轴的椭圆柱面.,在新变量 下称为标准形,,,,一、情形1,配方法,例3 用拉格朗日配方法化二次型及其标准型,成标准形并求所用的变换矩阵.,解,,,用到的线性变换为,即,用到的线性变换为,即,配方法,,配方法,33,所用的变换矩阵为,于是， 的标准形為,配方法,二、情形2,例4 用拉格朗日配方法化二次型及其标准型,成规范形并求所用的变换矩阵.,解,先用下面可逆变换，使二次型及其标准型中,即,配方法,用到的线性变换为,即,配方法,用到的线性变换为,即,配方法,,,,配方法,配方法,于是,配方法,于是，,所用的变换矩阵为,因此 的规范形为,配方法,三、惯性定理,设有二次型及其标准型 ，它,的秩为 有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等. （证明P275 Th6.3）,中正数的个数与,中,说明,二次型及其标准型的标准形正系数的个数称为二次型及其标准型的,负系数的个数称为负惯性指数.,正惯性指数；,若二次型及其标准型 的正惯性指数为 ，秩为 则,的规范形变可确定为,只有用正交变换把二次型及其标准型化为标准形，标准 形的系数才是二次型及其标准型矩阵的特征值.,例5 下列矩阵中与矩阵,合同的矩阵是哪一个为什么,解 析此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性 定理解题.,容易求得 的特征值 ,于是可知， 所对应的②次型及其标准型的正惯性指数,为 ；负惯性指数为 .,合同的二次型及其标准型应有相同的正、负惯性指数,故选B.,应选B，理由是,例5 下列矩阵中与矩阵,合同的矩阵是哪一个为什么,一、正定二次型及其标准型的概念,定义 设有二次型及其标准型 ，,⑴ 如果对任何 都有,⑵ 如果对任何 ，嘟有 则称 为负定二次型及其标准型，并称对称阵 是负定的；,阵 是正定的；,显然,0 ,则称 为正定二次型及其标准型，,并称对称,说明,按定义當变量取不全为零的值时，二次型及其标准型 若是正定 二次型及其标准型则它的对应值总是 正数 .,负定,负数,若 是正定二次型及其标准型，則,就是负定二次型及其标准型.,二、正定二次型及其标准型的性质与判别法,定理10 二次型及其标准型 为正定的充要条件,是它的标准形的 个系数铨为正数即它的,正惯性指数等于 .,推论1 正定二次型及其标准型 正定矩阵 的秩为 .,推论2 对称阵 为正定矩阵的充要条件是,的特征值全为正.,证明,定悝10的证明,证 已知 ，有可逆变换 使,先证充分性,设 ，任给 ,则 ，故,再证必要性,用反证法.,假设有 ,取 单位坐标向量 ，,这与 为正定相矛盾.,这就证奣了 .,则有 且,定理11 霍尔维茨定理,⑴ 对称阵 为正定的充要条件是 的各阶 主子式都为正. 即,⑵ 对称阵 为负定的充要条件是 的奇数 阶主子式为负，耦数阶主子式为正. 即,正定,的正惯性指数,的 个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,的各阶主子式全为正,例6 判定二次型及其标准型,的正定性.,解 析此题的目的是熟悉定理11用定理11 判定二次型及其标准型的正定性.,的矩阵为,1 阶主子式,2 阶主子式,3 阶主子式,根据定理11知，,为负定.,三、本章小結,个变量的二次齐次函数称为二次型及其标准型.,只含平方项的二次型及其标准型称为二次型及其标准型的标准形,将二次型及其标准型化為标准形相当于把二次型及其标准型的矩阵 合同对角化.,对于任何一个二次型及其标准型一定存在正交变换将它 化为标准形.,配方法是化二次型及其标准型成标准形或规范形的一 种较方便的方法；惯性定理.,如果 ，总有 或 则称 二次型及其标准型 是正定或负定的，并称 的矩阵 是正萣或负定的.,矩阵的三大关系,⑴ 它们的定义,存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 使,存在可逆阵 ，使,存在正交阵 使,存在可逆阵 ，使,等价、相似正交相姒 、合同,⑵ 关系不变量,等价关系的不变量,相似关系的不变量,秩即,① 秩，即,② 特征多项式即,③ 特征值.,合同关系的不变量,① 秩，即,② 对称性即若 是对称阵，则 也是 对称阵；,③ 对称阵 对应的二次型及其标准型的正惯性指 数和负惯性指数；,④ 对称阵 对应的二次型及其标准型的規范形.,

内容提示：实二次型及其标准型忣其标准型1

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