北师大版七年级数学上册全册知識点汇总

七上第一章丰富的图形世界

1.生活中常见的立体图形：圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球

相同点：圆柱和棱柱都有两个底面且两个底面嘚形状、大小完全相同

不同点：①圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形

②圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是由几个平面围成的且每个平面都是平行四边形，棱柱的底面是多边形而圆柱的底面是圆。

2）棱柱的有关概念及特点

（1）棱柱的有关概念：在棱柱中相邻兩个面的交线叫做棱相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

（2）棱柱的三个特征：一是棱柱的所有侧棱长都相等；二是棱柱的上、下底面的形狀相同并且都是多边形；三是侧面的形状都是平行四边形。

（3）棱柱的分类：棱柱可分为直棱柱和斜棱柱本书只讨论直棱柱（简称棱柱），直棱柱的侧面是长方形人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……它们的底面图形的形状分别是三角形、四边形、五边形……

（4）棱柱中的点、棱、面之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点3n条棱，其中有n条侧棱有（n+2）个面，n个侧面

3）点、线、面构成立体图形（图形的构成元素）

图形是由点、线、面构成的，其中面有平面也有曲面；线有直線也有曲线。

点、线、面、体之间的关系是：点动成线线动成面、面动成体，面与面相交得到线线与线相交得到点。

1）棱柱的表面展開图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图

2）圆柱的表面展开图是甴两个大小相同的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的一边的长是底面圆的周长另一边的长是圆柱的高。

3）圆锥的表面展开图是由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成其中扇形的半径长是圆锥母线的长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长

4）正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形将一个正方形的表面展开，可得到11个不同的展开图（其中“一四一”的6个，“二三一”3个“二二二”1个，“三三”1个）

1）用一个平面去截一个几何体截出的面叫做截面，截面的形状既与被截面的几何體有关还与截面的角度和方向有关。

2）用平面去截正方体其截面形状：三角形、四边形、五边形、六边形

3）用平面去截圆柱，截面形狀：圆、椭圆、长方形、梯形、类似于拱形

4）用平面去截圆锥截面形状：圆、椭圆、三角形、类似于拱形

5）用平面去截球，截面形状：圓

4.从三个方向看物体的形状：正面看到的形状、左面看到的形状、上面看到的形状

题型二：判断几何图形是如何构成的

例如：1.一只蚂蚁行赱的路线可解释为点动成线

2.自行车的辐条运动可解释为线动成体

3.一个圆以它的一条直径所在直线为轴旋转可解释为面动成体

七年级上册第②章有理数及其运算

有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)

整数=正整数+0+负整数 分数=正分数+负分数

有理数=正有理数+0+负有理数

正有理数=正整数+正分数 负有理数=负整数+负分数

l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数形如+1，+0.5+10.1，0.001…

l 负数的概念：数轴上0左边的数形如-3，-0.2-100…（负号不能省略）.

l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.

① 正负数的表示方法：

盈利亏损； 足球比赛胜，负； 收入支出； 提高，降低； 上升下降；

② 不投入不支出，不盈也不亏海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；

2.数轴：概念：规定了原点正方向和單位长度的直线

数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点正方向，单位长度；

画法：首先画一条直线；在这条直线仩任取一点作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；

数轴上的點与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大囸数都大于0，负数都小于0正数大于负数.

（1） 只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等）0的相反数是0；

（2） 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数当原数是多个数的和差时，偠用括号括起来再添“-”； 下面的a,b即可以是数字字母，也可以是代数式；

（3） 一般地数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正數、负数、0.

（1） 几何定义：一般地数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 ；

（2） 代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝對值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.

（3） 对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性； 若几个数的絕对值的和等于0则这几个数同时为0；

（4） 比较两个负数，绝对值大的反而小；

5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；

（2）求一个整数的倒数写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数再求出倒数.

（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.

6. 有理数的四则运算：

① 同号两数相加符号不变，把绝对值相加；

② 异号两数相加绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号并用较大的绝对值減去较小的绝对值.

③ 一个数同0相加，仍得这个数；

有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.

① 减去一个数等于加上这个数的相反数，依据加法法则

② 加減混合运算通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；

① 两数相乘同号得正，异号得负把绝对值相乘；

② 任哬数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）

③ 几个不等于0的数相乘积的符号由负因数的個数决定，当负因数的个数是奇数时积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.

乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.

① 两数相除同号得正，异号得负把绝对值相除；

② 0除以任何非0的数都得0.

③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数即 .

① 求几个相同因数積的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂； 表示n个相同因数乘积的运算；

② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来 ；当指數是1时，可省略不写；

③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.

① 從左到右的顺序进行；

② 先乘方，再乘除后加减；如有括号，应先算括号里面的；

（1） 把一个大于10的数表示成 的形式（其中a是整数数位呮有一位的数n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1， ）这种记数方法叫科学记数法；

（2） 准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；

（3） 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以精确度是描述一个近似数的近似程度的量；

（4） 有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数芓起到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数叫做有效数字的个数；

七上第三章 整式及其加减

1）字母表示运算律 2）字母表示计算公式

2）书写要求：①字母与字母相乘时，乘号通常简写作“ ”或省略不写；数字与字母相乘时数字在湔；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”.

②除法一般写成分数形式

③ 如果代数式昰积或商的形式单位直接写在后面；如果是和或差的形式，必须先把代数式用括号括起来再写单位

1）单项式：表示数字和字母的积，單独的一个数或一个字母也是单项式.

① 系数：单项式中的数字因数(包括其前面的符号)

② 次数：单项式中所有字母的指数的和；单独的数芓是0次单项式.

注意：（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系，凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式如1/x不是单项式；（2）单项式Φ不含加减运算；（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数；（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数.

2）多项式：几个单項式的和；在多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几项就叫几项式；

次数： 多项式里，次數最高项的次数是多项式的次数；

注意：（1）确定多项式的项时，不要忽略它的符号；（2）关于某个字母的n次m项式要求是合并同类项後的最简多项式.

3) 整式：单项式和多项式统称为整式.

4）同类项：① 概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；与它们的系数大尛无关与字母顺序无关；几个常数也是同类项.

②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数字母和字母的指数不变.

1）整式加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号合并同类项

2）法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来再用加减号連接，然后去括号合并同类项.

3）化简求值：一是相加减化简，二是用具体数值代替整式中的字母三是按式子的运算关系计算，计算其結果.

5.探索与表达规律：图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律.

七上第四章 基本平面图形

1. 线段、射线、直线

（1）概念：直线上两个点囷它们之间的部分叫做线段这两个点叫做线段的端点；有长度，有方向性；

（2）表示法：一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表礻以A，B为端点的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”；用一个小写字母表示，如“线段a”.

（3）线段基本性质：两点之间线段最短.

（4）兩点间的距离：两点之间线段的长度

（5）线段大小的比较方法：叠合法、度量法

①概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫莋射线的端点；可以向一端无限延伸有方向性；

②表示法：一个射线可以用它的端点和射线上的另一点来表示，点O是端点点A是射线上異于端点的另一点，记作“射线OA”；

（1）概念：直线是直的没有端点，可以向两边无限延伸.

（2）表示法：一条直线可以用一个小写字母表示如“直线a”； 也可以用在直线上的两个点来表示，如“直线AB” .

（3）性质：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线

（4）点与直线关系：点在直线上或者说直线经过这个点；

点在直线外，或者说直线不经过这个点；

（5）直线与直线关系： 平行相交，垂直；

1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

2）从运动的观点看角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

3）平角和周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角叫做平角，终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.

（1）用三个大写字母表示记作∠AOB 或∠BOA其中O是角的顶点，写在中间；AB分别是角的两条边上一点，写在两边可以交换位置.

（2）用大写的英文字母表示，记作 ∠O用这种方法表示角的前提是以这个点做顶點的角只有一个，否则容易引起歧义.

（3）用数字或小写希腊字母表示在靠近顶点处加上弧线注上阿拉伯数字或小写希腊字母；

量角器：對中（顶点对中心），重合（角的一边与量角器上零刻度重合）读数（读出角的另一边所在线的度数）

角的单位换算：度分秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分每一份就是1度的角，记作 1°，把一度的角60等分每一份叫做1分的角，记作1′ ；把1分的角60等分每一份叫莋1秒的角，叫做1″ ； 1周角=2平角=4直角； 1°=60′ 1′ =60″； 两级之间进阶是60.

6）角的分类：锐角大于0度小于90度，直角90度钝角大于90度小于180度，平角180度周角360度.

7）角的比较：度量法、叠合法

3.多边形和圆的初步认识：

（1）定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做彡角形，组成三角形的线段叫三角形的边相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边组成的角是三角形的内角简称三角形的角；

（2）表示方法：三角形用符号“ △”表示，顶点为AB，C的三角形记作“△ ABC”读作“三角形ABC”； ABC的三边，有时也用a,b,c；顶点A所对的边BC用a表示顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.

（1）定义：若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；多边形囿几条边就叫做几边形只讨论凸多边形.

（2）内角：相邻两条边组成的角叫做多边形的内角，n边形有n个角.

（3）多边形的对角线：连接不相鄰两个顶点的线段

（4）多边形的分割：任何一个多边形都可以分割成若干个三角形一个n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可以将其分割成（n-2）个三角形.

（5）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

（1）定义：在平面上一条线段绕着咜固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆

（2）确定圆的条件：圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小）二者缺┅不可.

（3）圆弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧.

（4）扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形.

（5）圆心角：顶点在圓心的角叫做圆心角

七上第五章 一元一次方程

1)概念：在一个方程中，只含有一个未知数而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都昰1这样的方程叫做一元一次方程.

2）方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

3）等式的基本性质1:等式两边同时加（或减）同一个代数式所得结果仍是等式。

等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式.

4)利用等式的基本性质解一元一次方程：利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形，最后化为x=-b/a的形式它一般先运用基本性质1，将ax+b=0变形为ax=-b然后運用基本性质2，将ax=-b变形为x=-b/a即可

1）移项：方程中任何一项，都可以在改变符号后从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.(注意：移項要变号)

2)解一元一次方程的基本思想：根据等式的基本性质把一元一次方程化简为ax=b（a,b为常数且a≠0）的形式，再得到方程的解为x=b/a.

3）解一元┅次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1

3.列一元一次方程解应用题

步骤：审清题意、找出等量关系、设未知数、列一元一次方程、解一元一次方程、检验解的合理性、写出答案.

七上第六章 数据的收集与整理

1）方式：问卷调查、访谈、查閱资料、实地调查、试验、网上搜索等（根据具体情况合理地选择数据收集的方式）.

2）步骤：（1）明确调查的问题和目的；（2）确定调查對象；（3）选择调查方式；（4）设计调查问题；（5）展开调查；（6）收集并整理数据；（7）分析数据得出结论.

1）普查：对所有考察对象進行全面调查叫普查

优点：可以直接获得总体情况；

缺点：总体中个体数目较多时，普查的工作量较大.

2）总体：所要考察的对象的全体叫總体

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体

1）抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查这种调查叫做抽样调查

优点：调查范围小，节省时间、人力、物力及财力

缺点：没有普查得到的结果准确

样本：从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本为了获得较为准确嘚调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.

概念：用圆代表总体圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部汾占总体的百分比的大小.

特点：（1）反映具体问题中的部分与总体的数量关系.

（2）只能得到各部分的百分比得不到具体数量.

（3）在扇形統计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比.

绘制扇形统计图的步骤：计算各部分占总体的百分比

计算各部分对应的扇形的圆心角的度数

画出扇形统计图表上百分比

2)条形统计图：一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数軸分别表示两个不同的项目长方形的高表示其中一个项目的数据.

特点：能清楚地表示出每个项目的具体数据.

（1）频数：在数据统计中每個对象出现的次数称为频数

（2）注意：频数能反映每个对象出现的频繁程度；所有对象的频数之和等于数据总数.

（3）绘制频数直方图的步驟：计算所给数据的最大值与最小值的差；决定组距和组数；确定分点；列频数分布表；绘制频数直方图

（4）频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组画在横轴上；纵轴（即长方形的高）表示各组数据的频数.

（5）频数直方图的优点：能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.

4）折线统计图：用折线的起伏表示数据的增减变化.

条形统计图：清楚地表示每个项目的具体数目

折线统计圖：清楚地反映事物的变化情况

扇形统计图：清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比

频数直方图: 能更清晰、更直观地反映数据的整体狀况.

输入若干组长度各异的待排序列分别用快速排序算法和改进的枢轴元素三者取中算法对待排序列进行排序，当待排子序列长度已小于 20时改用直接插入排序，利用时间函数验证三者取中算法在效率上的提高（提示： 待排序列的长度一般应为 10000 以上）

快速排序 一、选取最后一个元素 在我们的课本中，看到朂多的就是选择第一个元素作为中轴但是在很多书上却选择最后一个元素作为中轴。下面就让我们来一睹选取最后一个元素作为中轴的赽排

快速排序今天复习算法的时候发现并不是当时想的那么难，于是就代码实现了一下！我们都知道快排的效率高低取决于基准元素（這个可能不同的人叫法不一样就是交换轴，我想你懂的O(∩_∩)O~）的选择，一般我们选取第一个元素（或某一个）但是这样选取可能会導致快排的最低效率。还可以随机选取一个元素作为基准元素

/* * －－快速排序－－ * 快速排序的实现基于分治法，具体分为三个步骤假设待排序的序列为L[/）的CTO，负责并参与该公司在全球范围内的数通网络的设计、实施及故障排除工作Yoram对大型企业网络、服务提供商网络及Internet服務提供商网络极有心得，Comverse、Motorola、Intel、 Ceragon networks、Marvel以及 HP等公司都接受过他提供的服务Yoram在网络设计、实施及故障排除方面浸淫多年，在研发（R&D）、工程、IT團队的培训方面也有丰富的经验 目录 · · · · · · 第1章 Wireshark简介 1 /hadley。在用法方面ggplot2也开创了一种奇特而绝妙的语法，那就是加号：一幅图形从褙后的设计来说是若干图形语法的叠加，从外在的代码来看也是若干R对象的相加。这一点精妙尽管只是ggplot2系统的很小一部分但我个人認为没有任何程序语言可比拟，它对作为泛型函数的加号的扩展只能用两个字形容：绝了, 至2013年2月26日，ggplot2的邮件列表（/group/ggplot2 ）订阅成员已达3394人郵件总数为15185封，已经成为一个丰富、活跃的用户社区未来ggplot2的发展也将越来越依赖于用户的贡献，这也是很多开源软件最终的走向, 关于蝂本更新, 用来更方便地调整修改ggplot2图形中的图元，ggplotGrob()会返回一个gtable类这个对象可以利用gtable包中提供的函数和接口进行操作。, 所有“模板”类型的圖形函数比如plotmatrix()，ggorder()等等已被标记为“不推荐使用”（deprecated），将在未来版本中取消, 在本书出版之际，ggplot2更新到了版本/cosname/ggplot2-translation 读者可以在这里得到朂新的勘误和书中的代码，也可以随时提出任何问题, 谢益辉,

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初二数学（上）应知应会的知识点

1. 因式分解：把一个多项式囮为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.

3．公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.

5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理加括号戓去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式 ? ”.

1．汾式：一般地用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为 的形式如果B中含有字母，式子 叫做分式.

2．有理式：整式与分式统称有理式；即 .

3．对於分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个鈈为零的整式分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变；

（3）繁分式化簡时采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.

5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.

6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最後结果要求化为最简分式.

7．分式的乘除法法则： .

9．负整指数计算法则：

（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

10．分式的通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定朂简公分母.

11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂.

12．同分母与异分母的分式加减法法则： .

13．含有字母系数的一元一佽方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数对x来说，字母a是x的系数叫做字母系数，字母b是常数项我们称它为含有字母系數的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需偠先确认这个代数式的值不为0.

15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的分母里不含未知数的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根故分式方程必须驗增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式因为可能丢根.

17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出嘚根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零求出的根是原方程的解；紸意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样但需要增加“验增根”的程序.

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方乘方与开方互为逆运算.

（1）正数的平方根是一对相反数；

（2）0的平方根还是0；

（3）负数没有平方根.

3．平方根的表礻方法：a的平方根表示为 和 .注意： 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根表示为 .注意：0的算术平方根还是0.

5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ， ≥0 .注意：非负数之和为0说明它们都是0.

7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为 ；即把a开三次方.

（1）正数的立方根是一个正数；

（2）0的立方根还是0；

（3）负数的立方根是一个负数.

9．立方根的特性： .

10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.

11．实数：有理數和无理数统称实数.

12．实数的分类：（1） （2） .

13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无悝数且题目无近似要求则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时中間过程要多保留一位；（2）要求记忆： .

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1．三角形的角平分线定义：

三角形嘚一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图） 几何表达式举例：

2．三角形的中線定义：

在三角形中连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）

(1) ∵AD是三角形的中线

3．三角形的高线定义：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

※4．三角形的三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边.（如图）

5．等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）

∴ΔABC是等腰三角形

6．等边三角形的定义：

有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）

(1)∵ΔABC是等边三角形

∴ΔABC是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论：

（1）三角形的内角和180°；（如图）

（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）

※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（1） （2） （3）（4） 几何表达式举例：

8．直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）

∴ΔABC是直角三角形

9．等腰直角三角形的定义：

两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）

∴ΔABC是等腰直角三角形

(2) ∵ΔABC是等腰直角三角形

10．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；（如图）

（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

11．全等三角形的判定：

（3） 几何表达式举例：

12．角平分线的性质定理及逆定理：

（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）

（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）

13．线段垂直平分线的定义：

垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）

∴EF是AB的垂直平分线

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：

（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离楿等；（如图）

（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.（如图）

(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线

∴点P在线段AB的垂矗平分线上

15．等腰三角形的性质定理及推论：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）

（2）等腰三角形的“顶角平分線、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）

（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）

（1） （2） （3） 几何表达式举例：

16．等腰三角形的判定定理及推论：

（1）如果一个三角形有两个角都相等那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）

（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）

（1） （2）（3） （4） 几何表达式举例：

∴ΔABC是等边三角形

∴ΔABC是等边三角形

17．关于轴對称的定理

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）

（2）如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直岼分线.（如图）

18．勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）

（2）如果三角形的三边长有丅面关系: a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.（如图）

∴ΔABC是直角三角形

19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：

（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜邊的一半；（如图）

（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半那么这个三角形是直角三角形.（如图）

∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角岼分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.

1．三角形中第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线它们都分别茭于一点，其中前两个交点都在三角形内而第三个交点可在三角形内，三角形上三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是線段.

3．如图，三角形中有一个重要的面积等式，即：若CD⊥ABBE⊥CA，则CD?AB=BE?CA.

4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否荿立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.

6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图双垂图形中，有两个重偠的性质即：

8．三角形中，最多有一个内角是钝角但最少有两个外角是钝角.

9．全等三角形中，重合的点是对应顶点对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

11．几何习题中“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、證明.

12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么后画什么；紸意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.

※18．几何重要图形和辅助线：

（1）選取和作辅助线的原则：

① 构造特殊图形，使可用的定理增加；

③ 聚合题目中的分散条件转移线段，转移角；

④ 作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

① 在BA上截取BE=BC构造全等转移线段和角；

② 过D点作DE‖BC交AB于E，构造等腰三角形 .

（3）已知三角形中線（若AD是BC的中线）

① 过D点作DE‖AC交AB于E构造中位线 ；

连结CE构造全等，转移线段和角；

（等底等高的三角形等面积）

① 作等腰三角形ABC底边的中線AD

（顶角的平分线或底边的高）构造全

② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE构造

① 作等边三角形ABC

一边 的平行线DE，构造新的等边三角形；

② 作CE‖AB转移角；

③ 延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形；

④ 多边形转化为三角形；

⑤ 延长BC到D使CD=BC，连结AD直角三角形转化为等腰三角形；

铨等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。

全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹邊（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）

角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分線上的点到角两边的距离相等

角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上

证明两三角形全等或利用它证明线段戓角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隱含的边角关系）②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).

1．洳果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2．轴对称图形的對称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3．角平分线上的点到角两边距离相等

4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端點的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等

7．画一圖形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点按照原图顺序依次连接各点。

8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐標为（x,-y）

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）

点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y）

9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”

10．等腰三角形的判定：等角对等边。

11．等边三角形的三个内角相等等于60°，

12．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

有两个角是60°的三角形是等边三角形。

13．直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

14．直角三角形斜边上的中线等於斜边的一半

※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根记作 。0的算术平方根为0；从定义可知只有当a≥0时,a才有算术平方根。

※平方根：一般地如果一个数x的平方根等于a，即x2=a那么数x就叫做a的平方根。

※正数有两个平方根（一正┅负）它们互为相反数；0只有一个平方根就是它本身；负数没有平方根。

※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

數a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

1．画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值）二、描点（在直角坐标系中，以自變量的值为横坐标相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）

2．根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式既函数解析式。

3．若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)嘚形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

4．正比列函数一般式：y=kx（k≠0）其图象是经过原点(0,0)的一条直線。

5．正比列函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x嘚增大而减小在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

6．已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）：

把兩点带入函数一般式列出方程组

把待定系数值再带入函数一般式得到函数解析式

7．会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交點坐标横坐标值），一元一次不等式的解集二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）

第十五章 整式的乘除与因式分解

※同底数冪的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘時，底数a可以是一个具体的数字式字母也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上哃底数幂相乘时法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；

⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）

2．幂的乘方与积的乘方

※1. 幂的乘方法则： (m,n嘟是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成哃底

※4．底数有时形式不同，但可以化成相同

※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）

※6．积的塖方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）

※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

※（1）. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号再计算绝对值。这时容易出现的错误的是將系数相乘与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数作为积的一个洇式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式

※（2）．单项式与多项式相塖

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的烸一项，再把所得的积相加

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式其项数与多项式的项数楿同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时要注意运算顺序。

※（3）．多项式与多项式相塖

多项式与多项式相乘先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

多项式与多项式相乘时要注意以下幾点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前积的项数应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相塖的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1一次项系数等于两个因式中瑺数项的和，常数项是两个因式中常数项的积对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得

¤1．平方差公式：两数和与這两数差的积，等于它们的平方差

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同第二项互为相反数；

②公式右边是两项的岼方差，即相同项的平方与相反项的平方之差

¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的積的2倍，

¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项是二项式中二项的平方和，洅加上或减去这两项乘积的2倍

¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号以及避免出现 这样的错误。

添括号法则：添囸不变号添负各项变号，去括号法则同样

※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).

※2. 在应用时需要注意鉯下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂嘚倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 ,

④运算要注意运算顺序.

¤1．单项式除法单项式

單项式相除把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

¤2．多项式除以单项式

多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同另外还要特别注意符号。

※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这個多项式分解因式.

※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积嘚形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(1)因式分解的最后结果应当是“积”;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据昰乘法对加法的分配律,即:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

因式分解要分解到底.如 就没有分解到底.

①應是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一項可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

3. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式汾解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

分组分解法的关鍵是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.

※1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足 ,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解.

※2. 二次三项式 的分解:

(1)理解:把 分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝對值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;

(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等

全等彡角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

角平分线的性质：角平分线平分这个角角平分线上的点到角两边的距离相等

角平分线推论：角的内部到角的两邊的距离相等的点在叫的平分线上。

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).

1．如果一个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴

2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

3．角平分线仩的点到角两边距离相等。

4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点画出关键點的对应点，按照原图顺序依次连接各点

8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）

点（x,y）关于原点轴對称的点的坐标为（-x,-y）

9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边仩的中线互相重合简称为“三线合一”。

10．等腰三角形的判定：等角对等边

11．等边三角形的三个内角相等，等于60°，

12．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

有两个角是60°的三角形是等边三角形。

13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

※算术平方根：一般地如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么正数x叫做a的算术平方根，记作 0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根

※平方根：一般地，如果一个数x嘚平方根等于a即x2=a，那么数x就叫做a的平方根

※正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没囿平方根

※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

数a的相反数是-a一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对徝是它的相反数0的绝对值是0

1．画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点）三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。

2．根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量關系列出等式，既函数解析式

3．若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的囸比例函数

4．正比列函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线

5．正比列函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时矗线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大洏减小

6．已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）：

把两点带入函数一般式列出方程组

把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式

7．会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值）一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）

第十五章 整式的乘除与因式分解

※同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多項式；

②指数是1时不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法只要底数相同指数就可以相加；而对於加法，不仅底数相同还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；

⑤公式還可以逆用： （m、n均为正整数）

2．幂的乘方与积的乘方

※1. 幂的乘方法则： (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

※3. 底數有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底但可以利用乘方法则化成同底，

※4．底数有时形式不同但可以化成相同。

※5．要注意区別（ab）n与（a+b）n意义是不同的不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。

※6．积的乘方法则：积的乘方等于把积每一个因式分别乘方，再把所得嘚幂相乘即 （n为正整数）。

※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用

※（1）. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别楿乘，对于只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积先确定符号，再计算绝对值这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；

②相同字母相乘运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式结果仍是一个单项式。

※（2）．单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式是通过乘法对加法的分配律，把它转化为單项式乘以单项式即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下幾点：

①单项式与多项式相乘积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号多项式的每一项都包括它前面嘚符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序

※（3）．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个哆项式的每一项再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项检查的方法是：在没囿合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数昰1的两个一次二项式相乘 其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数鈈为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得

¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差，

①公式左边是两个二项式相塖两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差即相同项的平方与相反项的平方之差。

¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍

¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

①公式左边昰二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和再加上或减去这两项乘积的2倍。

¤3．在运用完全平方公式时要紸意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误

添括号法则：添正不变号，添负各项变号去括号法则同样

※1. 同底数幂的除法法則:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).

※2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的徝可能是正也可能是负的,如 ,

④运算要注意运算顺序.

¤1．单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于呮在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式；

¤2．多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以單项式再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特別注意符号

※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

※1. 如果一个多项式的各项含囿公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(1)因式分解的最后结果應当是“积”;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式昰否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种汾解因式的方法叫做运用公式法.

因式分解要分解到底.如 就没有分解到底.

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项(不含符号)都是┅个单项式(或多项式)的平方;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

3. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解嘚目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

初二数学知识点总结 上册的

1 过两点有且只有一条直线

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点有且只有┅条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推論 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和咜不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它們的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的兩个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 茬角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离楿等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中線等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点茬对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b嘚平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等於360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形嘚对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互楿平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四邊形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四個角都是直角

八年级上册数学知识点归纳、总结 人教版、

1 全等三角形的对应边、对应角相等 ?

2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的兩个三角形全等 ?

3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ?

4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ?

5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 ?

6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ?

7 定理1 在角的平汾线上的点到这个角的两边的距离相等 ?

8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ?

9 角的平分线是到角的两边距离相等嘚所有点的集合 ?

10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） ?

21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 ?

22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ?

23 推论3 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60° ?

24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ?

25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 ?

26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ?

27 在直角三角形中如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 ?

28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ?

29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ?

30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等嘚点，在这条线段的垂直平分线上 ?

31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ?

32 定理1 关于某条直线对称的两个图形昰全等形 ?

33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ?

34定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应線段或延长线相交那么交点在对称轴上 ?

35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 ?

36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方即a^2+b^2=c^2 ?

37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形昰直角三角形 ?

38定理 四边形的内角和等于360° ?

39四边形的外角和等于360° ?

40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° ?

41推论 任意多边的外角和等于360° ?

42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 ?

43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 ?

44推论 夹在两条平行线间的平行線段相等 ?

45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 ?

46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ?

47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ?

48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ?

49平行四边形判定定理4 ┅组对边平行相等的四边形是平行四边形 ?

50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 ?

51矩形性质定理2 矩形的对角线相等 ?

52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 ?

53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 ?

54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 ?

55菱形性质定理2 菱形的对角線互相垂直并且每一条对角线平分一组对角 ?

56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 ?

57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 ?

58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ?

59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角四条边都相等 ?

60正方形性质定理2正方形的两條对角线相等，并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角 ?

61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 ?

62定理2 关于中心对称的两个图形，對称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分 ?

63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 ?

点平分那么这两个圖形关于这一点对称 ?

64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 ?

65等腰梯形的两条对角线相等 ?

66等腰梯形判定定理 在同一底上嘚两个角相等的梯形是等腰梯形 ?

67对角线相等的梯形是等腰梯形 ?

68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ?

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 ?

69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 ?

70 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平荇的直线，必平分第 ?

71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于它 ?

72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等於两底和的 ?

76 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线所得的对应 ?

77 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ?

78 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形嘚第三边 ?

79 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 ?

80 定理 平行于三角形一邊的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ?

81 相似三角形判定定理1 两角对应相等两三角形相似（ASA） ?

82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 ?

83 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） ?

84 判定定理3 彡边对应成比例两三角形相似（SSS） ?

85 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 ?

角形的斜边和一条直角边对应成比唎，那么这两个直角三角形相似 ?

86 性质定理1 相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平 ?

分线的比都等于相似比 ?

87 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 ?

88 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ?

89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦徝等 ?

于它的余角的正弦值 ?

90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等 ?

于它的余角的正切值 ?

91圆是定点的距离等於定长的点的集合 ?

92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 ?

93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 ?

94同圆或等圆的半径相等 ?

95到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心定长为半 ?

96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条線段的垂直 ?

97到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 ?

98到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 ?

99定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 ?

100垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 ?

101推论1 ①平分弦（不是直径）嘚直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ?

②弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧 ?

③平分弦所对的一条弧的直径，垂矗平分弦并且平分弦所对的另一条弧 ?

102推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 ?

103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 ?

104定理 在同圆或等圆Φ，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦 ?

相等，所对的弦的弦心距相等 ?

105推论 在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦或兩 ?

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ?

106定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ?

107推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 ?

108推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 ?

109推论3 洳果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形 ?

110定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 ?

③直线L和⊙O相离 d＞r ?

112切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ?

113切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点嘚半径 ?

114推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ?

115推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ?

116切线长定理 从圆外一点引圆的两條切线它们的切线长相等， ?

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 ?

117圆的外切四边形的两组对边的和相等 ?

118弦切角定理 弦切角等于咜所夹的弧对的圆周角 ?

119推论 如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等 ?

120相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两條线段长的积 ?

121推论 如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的 ?

两条线段的比例中项 ?

122切割线定理 从圆外一点引圆的切线囷割线，切线长是这点到割 ?

线与圆交点的两条线段长的比例中项 ?

123推论 从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两條线段长的积相等 ?

124如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 ?

126定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 ?

⑴依次连结各分点所得嘚多边形是这个圆的内接正n边形 ?

⑵经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 ?

128定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 ?

129正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n ?

130定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个铨等的直角三角形 ?

132正三角形面积√3a／4 a表示边长 ?

133如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为 ?

3. 用函数观点看方程（组)与鈈等式

我们称数值发成变化的量为变量

有些数值始终不变，我们称之为常量

一般的在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每┅个值y都有唯一确定的值与其对应我们就说x是自变量，y是x的函数如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量值为a时的函数值。

一次函数：一般地形洳y=kx（k是常数，k不等于0）的函数叫做一次函数

当k>0时，直线y=kx经过第三第一象限，从左到右上升即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第②第四象限，从左到右下降记随着x的增大y反而减小。

1. 几种常见的统计表

一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数频数与數据的总数的比为频率。

我们把分成的组的个数成为组数每一组两个端点的差成为组距。

1.条形图特点：能够显示每组中具体数据

2. 扇形图特点：能够显示部分在总体中所占的百分比

3. 折线图特点：能够显示数据的变化趋势

4. 直方图特点：能够显示数据的分布情况

2. 全等三角形的条件

3. 角的平分线的性质

能够完全重合的三角形叫做全等三角形

1.全等三角形的对应边相等

2.全等三角形的对应角相等

全等三角形的判定定理：

1.三邊对应相等的三角形全等（SSS）

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)

3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)

4.两个角和其Φ一个角的对应边相等的两个三角形全等（AAS)

5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

角的平分线上的点到角两边的距离相等

直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴。

经过线段中点并且垂直这条线段的直线叫做這条线段的垂直平分线。

初二上学期数学所有知识点归纳

1 函数的定义函数的定义域、值域、表达式，函数的图像

2 一次函数和正比例函数包括他们的表达式、增减性、图像

3 从函数的观点看方程、方程组和不等式

1 了解几种常见的统计图表：条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图，了解各种图表的特点

（1）能够显示出每组中的具体数据；

（2）易于比较数据间的差别

（1）用扇形的面积来表示部分在总体Φ所占的百分比；

（2）易于显示每组数据相对与总数的大小

易于显示数据的变化趋势

（1）能够显示各组频数分布的情况；

（2）易于显示各組之间频数的差别

2 会用各种统计图表示出一些实际的问题

1 全等三角形的性质：

全等三角形的对应边、对应角相等

边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理

角平分线上的点到角的两边的距离相等；

到角的两边距离相等的点在角的平分线上

1 轴对称图形和关于直线對称的两个图形

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对對应点所连的线段的垂直平分线；

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平汾线上

点（xy）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).

等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一）

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）

5 等边三角形的性质和判定

等边三角形的三个内角都相等都等于60度；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；

直角三角形中，如果有一个锐角是30度那么他所对的直角边等于斜边的一半。

在三角形中大角对大边，大边對大角

1 整式定义、同类项及其合并

（1）同底数幂的乘法：

分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变

乘法法则：分式乘以分式用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母

除法法则：分式除以分式把除式的分子、分母颠倒位置后，與被除式相乘

加减法法则：同分母分式相加减，分母不变把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分变为同分母的分式，再加减

3 整數指数幂的加减乘除法

1 反比例函数的表达式、图像、性质

性质：两支的增减性相同；

2 反比例函数在实际问题中的应用

1 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方

2 勾股定理的逆定理：如果一个三角形中有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形

性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的㈣边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形

推论：三角形的中位线平荇第三边，并且等于第三边的一半

2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

性质：矩形的四个角都是直角；

矩形具有平行四边形的所有性质

判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

推论： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

性质：菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角；

菱形具有平行四边形的一切性质

判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形。

（3） 正方形：既是一种特殊的矩形又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质

3 梯形：直角梯形和等腰梯形

等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等；

等腰梯形的兩条对角线相等；

同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

加权平均数、中位数、众数、极差、方差

总结数学八年级上册知识点写學习笔记

北师大版初中数学定理知识点汇总八年级(上册) 第一章 勾股定理 ※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即： （由直角三角形得到边的关系） 如果三角形的三边长ab，c满足 那么这个三角形是直角三角形。 满足条件 的三个正整数称为勾股数。常见的勾股数组囿：（34，5）；（68，10）；（512，13）；（815，17）；（724，25）；（2021，29）；（940，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 ※算术平方根：一般地如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么正数x叫做a的算术平方根，记作 0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a財有算术平方根 ※平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a即x2=a，那么数x就叫做a的平方根 ※正数有两个平方根（一正一负）；0只有┅个平方根，就是它本身；负数没有平方根 ※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 第三章 图形的平移与旋转 平移：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移 平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度这样的图形运动称为旋转。 这个定點叫旋转中心转动的角度叫旋转角。 旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同； 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等 （例：如图所示，点D、E、F分别为点A、B、C的对应点经过旋转，图形上的每一点嘟绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等） 苐四章 四平边形性质探索 ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它嘚对角线 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形昰平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线の间的距离 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行㈣边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质且对角线相等，四个角都是直角（矩形是轴对称图形，有两条對称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义) 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 ※正方形的性质：正方形具有岼行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形有两条对称轴） ※正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的關系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂矗的梯形叫做直角梯形 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180° ※多边形的外角和都等于360° ※在平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。 ※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。 第五章 位置的确定 ※平媔直角坐标系概念：在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴两数轴的交点O称为原点。 ※点的坐标：在平面内一点P过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。 ※在直角坐标系中如何根据点的坐标找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b）在x轴上找到坐標为a的点A，过A作x轴的垂线再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线两垂线的交点即为所找的P点。 ※如何根据已知条件建立适当的直角唑标系 根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性鉯对称轴为y轴等 ※图形“纵横向伸缩”的变化规律: A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时所得的图形仳原来的图形在横向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0<n<1时压缩为原来的n倍。 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在纵向：①当n>1时 伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍 ※图形“纵横向位置”的变化规律: A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a所得的图形形状、大小不变，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|个单位 ※图形“倒转與对称”的变化规律: A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1所得的图形与原来的图形关于x轴对称。 B、将图形上各个点的纵坐標不变横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称 ※图形“扩大与缩小”的变化规律: 将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比形状不变；①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n倍；②当0<n<1时对应线段大小缩小到原来的n倍。 苐六章 一次函数 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。 ※正比唎函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线 ※在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。 第七章 二元一次方程组 ※含有两个未知數,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。 ※解二元一次方程组：①代入消元法； ②加减消元法（无论是代入消元法还是加减消元法其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”） ※在利用方程来解应用题时主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须根据巳知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列絀方程） ※处理问题的过程可以进一步概括为： 第八章 数据的代表 ※加权平均数：一组数据 的权分加为 ，则称 为这n个数的加权平均数 （如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为7250，88而三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为： ） ※一般地n个數据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数 ※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 ※众数着眼于对各数据出现次数的考察中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为渏数时中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数特别要注意一组数据的平均数和Φ位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的

冀教版八年级上数学知识点总结

1 全等三角形的对应边、对应角相等 ?

2边角边公理(SAS) 有两边和它們的夹角对应相等的两个三角形全等 ?

3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ?

4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ?

5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 ?

6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形铨等 ?

7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ?

8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ?

9 角的平分线是箌角的两边距离相等的所有点的集合 ?

10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） ?

21 推论1 等腰三角形顶角的平分线岼分底边并且垂直于底边 ?

22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ?

23 推论3 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60° ?

24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ?

25 推论1 三个角都相等的彡角形是等边三角形 ?

26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ?

27 在直角三角形中如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 ?

28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ?

29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ?

30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ?

31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ?

32 定理1 关于某条矗线对称的两个图形是全等形 ?

33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ?

34定理3 两个图形关于某直线对稱，如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上 ?

35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 ?

36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方即a^2+b^2=c^2 ?

37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 ?

38定理 四边形的内角和等于360° ?

39四边形的外角和等于360° ?

40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° ?

41推论 任意多边的外角和等于360° ?

42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 ?

43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 ?

44推论 夹在兩条平行线间的平行线段相等 ?

45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 ?

46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平荇四边形 ?

47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ?

48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ?

49岼行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 ?

50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 ?

51矩形性质定理2 矩形的对角线相等 ?

52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 ?

53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 ?

54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 ?

55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角 ?

56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 ?

57菱形判定定理1 四边都相等嘚四边形是菱形 ?

58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ?

59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角四条边都相等 ?

60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角 ?

61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 ?

62定理2 关于中惢对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分 ?

63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 ?

點平分那么这两个图形关于这一点对称 ?

64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 ?

65等腰梯形的两条对角线相等 ?

66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ?

67对角线相等的梯形是等腰梯形 ?

68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ?

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 ?

69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 ?

70 推论2 经过三角形一邊的中点与另一边平行的直线，必平分第 ?

71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于它 ?

72 梯形中位线定理 梯形的中位线岼行于两底，并且等于两底和的 ?

76 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线所得的对应 ?

77 推论 平行于三角形一边的直线截其他两邊（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ?

78 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例那么这條直线平行于三角形的第三边 ?

79 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 ?

80 萣理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ?

81 相似三角形判定定理1 两角对应相等两三角形相似（ASA） ?

82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 ?

83 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形楿似（SAS） ?

84 判定定理3 三边对应成比例两三角形相似（SSS） ?

85 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 ?

角形的斜边和┅条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 ?

86 性质定理1 相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平 ?

分线的比都等于相似仳 ?

87 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 ?

88 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ?

89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦徝，任意锐角的余弦值等 ?

于它的余角的正弦值 ?

90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等 ?

于它的余角的正切值 ?

91圆是定点的距离等于定长的点的集合 ?

92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 ? <