Go the distance 1 复合函数的定义域例题的定义域囷解析式以及单调性复合函数的定义域例题的定义域和解析式以及单调性 【复合函数的定义域例题相关知识】【复合函数的定义域例题相關知识】 1 1、复合函数的定义域例题的定义、复合函数的定义域例题的定义 如果y是u的函数u又是x的函数，即( )yf u?( )ug x?，那么y关于x的 函数( ( ))yf g x?叫做函数( )yf u?（外函数）和( )ug x?（内函数）的复合函数的定义域例题其中u是中间变量，自变量为x函数值为y 例如：函数212xy?? 是由2uy ?和21ux?? 复合而荿立。 说明：说明：⑴复合函数的定义域例题的定义域就是复合函数的定义域例题( ( ))yf g x?中x的取值范围。 ⑵x称为直接变量u称为中间变量，u嘚取值范围即为( )g x的值域 ⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数的定义域例题。 2 2．求有关复合函数的定义域例题的．求有关复合函数的定义域例题的定義域定义域 ① 已知)(xf的定义域为)(ba,求))((xgf的定义域的方法： 已知)(xf的定义域为)(ba,，求))((xgf的定义域实际上是已知中间变量的u的取值范围，即)(bau,?)()(baxg,?。通過解不等式bxga??)(求得x的范围即为))((xgf的定义域。 ② 已知))((xgf的定义域为)(ba，求)(xf的定义域的方法： 若已知))((xgf的定义域为)(ba，求)(xf的定义域实际上是已知直接变量x的取值范围，即)(bax?。先利用bxa??求得)(xg的范围则)(xg的范围即是)(xf的定义域。 3 3．求有关复合函数的定义域例题的解析式．求有关复匼函数的定义域例题的解析式 ①已知)(xf求复合函数的定义域例题)]([xgf的解析式直接把)(xf中的x换成)(xg即可。 ②已知)]([xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法 配凑法：就是在)]([xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换 成x而得)(xf 换元法： 就是先设txg?)(， 从中解出x（即用t表示x） 再把x（关于t的式子） 直接代入)]([xgfGo the distance 2 中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf 4 4. .求复合函数的定义域例题的单调性求复合函数的定义域例题的单调性 若若)(xgu ? )(xfy ? 则则)]([xgfy ? 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减同增异减”法则 5 5. .复合函数的萣义域例题的奇偶性复合函数的定义域例题的奇偶性 ②已知221)1(xxxxf???，求) 1( ?xf． 例例 6 ①已知)(xf是一次函数满足172) 1(2) 1(3?????xxfxf，求)(xf； ②已知xxfxf4)1(2)(3??求)(xf． 二、复合函数的定义域例题单调性及其值域二、复合函数的定义域例题单调性及其值域 ①①初等函数复合求单调区间与值域初等函数複合求单调区间与值域 例例 1 1 已知函数2251 3xx 221(log)log52yxx??? 在区间[2,4]上的最大值和最小值 变式练习变式练习 3 3 1.求函数)45(log)(2 2xxxf???的单调区间及值域 2.求函数2log?y2x·4log2x])81 [(,?x的朂大值和最小值. ②②含参数的复合函数的定义域例题单调性与值域问题含参数的复合函数的定义域例题单调性与值域问题 例例 4 4 已知函数)253(log)(2???xxxfa（0?a且1?a）试讨论其单调性。 例例 5 5 求函数)2(log2x aaaxy???的值域 变式练习变式练习 4 4 1.讨论函数) 1(log??x aay的单调性其中0?a，且1?a． Go the distance 5 ③③根据复合函数嘚定义域例题单调性或值域求参数取值范围根据复合函数的定义域例题单调性或值域求参数取值范围 例例 6 6 设函数) 12lg()(2???xaxxf 若)(xf 的值域为R ，求實数 的取值范围． 例例7 7 已知)2(logaxya??在区间] 10[ ,上时减函数求a的取值范围. 例例8 若函数) 3(log2???axxya在区间]21(a,??上为减函数，求实数a的取值范围. 变式练习變式练习 5 5 已知函数122????axxy在区间??3 ,??上是增函数,求a的范围. 解:令12????axxu,则原函数是由12????axxu与uy2?复合而成.?原函数在区间??3 ,??上是增函数,而外层函数uy2?始终是增函数,则易知内层函数12????axxu在区间??3 ,??上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是????????2,a,由??3 ,???????????2,a得32?a,即6?a. 【过关检测】【过关检测】 1 1. . ?和xy3?的值域相同； ③函数121 21 ???xy与xxxy2)21 (2???都是奇函数； ④函数2) 1( ?? xy与12??xy在区间), 0[ ??上都是增函数 其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）

• 1、对数函数的概念，判断对数函数要注意三点：(1)底数$a$为大于$0$且不为$1$的常数(2)嫃数位置上只能有$x$这一项。(3)整个对数式的系数必须是$1$且后面不能有不为零的常数。对数函数的定义域为$(0,＋\infty )$确定底数$a$可以采用待定系数法，但不能带入$(1,0)$因为对数函数的图象一定经过点$(1,0)$
  2、 $0＜a＜1$时，图象下降函数递减。当$a＞1$时图象上升，函数递增
  3、 图象都在$y$轴右侧，$y$軸是它们的渐近线值域为$R$。且都经过$(1,0)$这个定点若两个对数函数的底数互为倒数。它们的图象总关于$x$轴对称
  4、 对比指数函数的图像，咜们的定义域和值域恰好相反都过定点。且单调性受$a$影响的规律是一致的即底数$0＜a＜1$,两种函数都是单减的；$a＞1$都是单增的。
  

• 1、两类绝對值函数的图象及常用规律
  2、 一种是套$x$的类型图象左右对称。根据$a$的范围分为喇叭口朝下和朝上两种图象。常见的还有它的平移变换後的函数变换依旧遵循“左加右减”原则。对称轴为$x=-k$
  3、 第二种是整体套类型图象都为$v$型，顶点都为$(1,0)$但要注意$a$会影响每段图象对应的解析式，在画图时不妨也写出每段的解析式
  4、 两种套法相结合的绝对值函数，作图象时按前面两种画法分步操作即可。图象为关于$x=-k$对稱的断开的“$vv$”型两个顶点在$x$轴上，分别为$(-1-k,0)$和$(1-k,0)$
  

• 1、一种是由单调性求字母范围由函数递减推出$0＜a＜1$，由函数递增推出$a＞1$涉及分段函数單调性满足的条件，以及通过图像判断字母参数的范围要注意结对数函数的应用—对数函数的单调性与值域合二次函数的知识
  2、 第二种昰值域相关的题目。当底数固定时根据单调性，结合图象就能求出相应区间内的值域；当底数有未知字母时若条件给出的是最值之和，则不需要准确知道哪个是最大值哪个是最小值，故不需要分类讨论若给出的是最值之差，或倍数关系则需要搞清哪个是最大值，哪个是最小值此时需要按底数分类讨论
  

• 1、常见的对数不等式有三类
  2、 对于第一类对数不等式，解法是将常数$b$化为以$a$为底数的对数$log_{a}a^{b}$再根據对数函数$y=log_{a}x$的单调性来得到真数$f(x)$与$a^{b}$的大小关系，同时要注意真数$f(x)＞0$
  3、 对于第二类对数不等式根据底数决定的外层对数函数的单调性，得箌内层函数$f(x)$与$g(x)$的大小关系不过要注意，真数都是要大于$0$的所以我们一般会得到三个不等式组成的不等式组
  4、 如果不等式两侧底数不同，就要进行化同底化同底采用的基本原理一般是换底公式的推论$1$。如果两个对数的底数不能直接相互转化就要把它们的底数转化成另外同一个数
  5、 如果对数式的底数含有参数，就要分类讨论最后一道题要注意的是，在通过不等式组求交集时要利用底数分类的前提条件
  

• 1、讲解两种解对数不等式的高级方法：换元法与图象法
  2、 对于第三类对数不等式，及可以化为这种形式的不等式可以采用是换元法
  3、 通过两边同时平方，化同底取对数等处理，某些不等式都能变成第三类对数不等式的基本形式注意，在通过$t$的范围求$x$的范围时真数$x$偠满足大于$0$的前提
  4、 对于含$x$的项较多，且无法用换元法化简的对数不等式要尝试用图象法去解决。把含对数式的项和其他类型的项分别放在不等号两边观察出它们属于那种函数结构，通过图像的上下关系来求不等式的解集
  

• 1、利用构造函数法，解决不规则的指数不等式、对数不等式
  2、 可以通过移项使不等号两侧结构相同，根据相似结构构造函数
  3、 也可以通过每一项都除以同一个指数式整体构造出一個单调性确定的函数
  4、 对于更加不规则的对数不等式，需要通过换元恒等式等数学工具进行转化
  

• 1、主要内容就是利用构造函数法，解决鈈规则的指数不等式、对数不等式
  2、 可以通过移项使不等号两侧结构相同，根据相似结构构造函数
  3、 也可以通过每一项都除以同一个指數式整体构造出一个单调性确定的函数
  4、 对于更加不规则的对数不等式，需要通过换元恒等式等数学工具进行转化。最后一道题就是┅个很典型的例子同学们要好好揣摩这两大技巧和思维步骤
  

• 1、利用图像法和换底法解决第二类—底数不同，真数相同的对数式大小比较問题
  2、 图像法的关键是要记住底数和图像位置关系的规律。通过这个规律就能画出底数不同的对数函数图像的大致位置关系再用一根玳表相同真数的竖线，根据交点的上下关系就能判断出对数值的大小关系。当然也能反用，通过图像判断底数的大小关系
  3、 换底法，即把题目化为以同底数对数为分母的倒数的大小比较问题
  

• 1、处理底数、真数都不同的对数式的大小比较的两种方法是标准值法和图像法
  2、 对于标准值法可以选取$0$或$\pm 1$作为标准值。同时要记住一个常用规律：如果底数与真数同大于$1$或同小于$1$那么对数值大于$0$；如果底数与真數一个大于$1$，一个小于$1$那么对数值小于$0$
  3、 对于图像法，在同一坐标系中画出每个函数的图像然后找真数对应的点，通过点的高低判断夶小关系
  

• 1、对数型复合函数的定义域例题求定义域依然遵行“由外向内”的原则对于外层为对数函数的类型，首先要保证真数$f(x)$大于$0$然後再考虑内层函数$f(x)$的定义域。切忌随意合并原函数否则会改变定义域。对于内层为对数函数的类型首先考虑外层函数$y=f(u)$的定义域，求出$u$嘚范围即$log_{a}x$的范围，再求出$x$的范围得到定义域
  2、 过定点的问题也非常简单，对于外层为对数函数的复合函数的定义域例题若$f(m)=1$，则图象過定点$(m,0)$对于内层为指数函数的复合函数的定义域例题，图象过定点$(1,f(0))$
  

• 1、对数型复合函数的定义域例题的单调性依然遵循“同增异减”的原則千万不要忘记真数大于$0$的定义域的潜在限定
  2、 对于组合型的对数型复合函数的定义域例题，先尝试根据组合函数单调性的规律来判断如果行不通，就要进行合并但要先求定义域，因为合并会改变原函数定义域
  

• 1、本节课介绍了外层为对数函数的复合函数的定义域例题$y=log_{a}f(x)$的值域求解技巧
  2、 原理是先在定义域的基础上求出内层函数$y=log_{a}u$的值域，再将它作为外层对数函数的定义域从而求出$y$的范围，即复合函数嘚定义域例题值域
  3、 然后还介绍了一类常见题型：什么情况下$y=log_{a}f(x)$的定义域为$R$什么情况下它的值域为$R$。注意借助图象研究会更直观
  

• 1、本节視频主要内容是内层为对数函数的复合函数的定义域例题的值域求解技巧
  2、 基本方法和普通复合函数的定义域例题求值域的方法一样，结匼图像去分析需要注意使用的技巧主要有：对数式化同底，含参二次函数最值讨论其中最后一道例题含金量很高，体现了非常严谨的數学思维同学们要注意体会
  

精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创 PAGE1 / NUMPAGES1 复合函数的定义域例题练习题 一、复合函数的定义域例题定义： 设y=f的定义域为Au=g的值域为B，若A ?B则y关于x函数嘚y=f［g］叫做函数f与g的复合函数的定义域例题，u叫中间量. 二、复合函数的定义域例题定义域问题： 例题剖析： 、已知f的定义域求f?g?的定义域 思路：设函数f的定义域为D，即x?D所以f的作用范围为D，又f对g作用作用范围不变，所以g?D解得x?E，E为f?g?的定义域 例1. 设函数f的定义域为，则函数f嘚定义域为_____________ 解析：函数f的定义域为即u?，所以f的作用范围为 又f对lnx作用作用范围不变，所以0?lnx?1 解得x?故函数f的定义域为 1 故函数f?f?的定义域为x?R|x??1且x??、已知f?g?的定义域，求f的定义域 思路：设f?g?的定义域为D即x?D，由此得g?E所以f的作用范围为E，又f对x作用作用范围不变，所以x?EE为f的定义域。 例3. 巳知f的定义域为x??12，则函数f的定义域为_________ 解得x2?4?4，f的作用范围为又f对x作用，作用范围不变所以 x?，即f的定义域为 、已知f?g?的定义域求f?h?的定義域 思路：设f?g?的定义域为D，即x?D由此得g?E，f的作用范围为E又f对h作用，作用范围不变所以h?E，解得x?FF为f?h?的定义域。 x 例5. 若函数f的定义域为?11，則f的定义域为____________ ?? xx 评注：函数定义域是自变量x的取值范围f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨 同步练习： 2 1、 已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域 答案：[?1,1] 2、 已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域 答案：[?3,9] 3、