原标题：专升本数学必考点 | 闭区間上连续函数连续的问题

闭区间上连续函数连续的性质

闭区间上连续函数连续的性质是专升本高等数学中纯理论证明题之一很多同学不能理解。在此小编将几个性质利用图形的方式来帮助同学们理解定理的内容。同时附有常考题型以及对应的解题思路希望对大家有所幫助。

若函数连续f(x)在闭区间[a,b]上连续则一定有最大值与最小值。

图形解释：在区间[a,b]上函数连续f(x)是连续的，ξ1,ξ2处所对应的函数连续值即為整个区间[a,b]上的最大值与最小值

若有最值怎可无界？？

毕竟f(x)在闭区间上有m≤f(x)≤M所以函数连续f(x)有界。

?性质三 零点性（零点定理）

图形解释：零点定理就是找使得函数连续值为0的x的值这样的点可能有一个，也可能有多个所以定理内容中出现的是“至少存在一点”。

補充：所谓根即函数连续值为零时的x值。所以以零点定理更为适用，此时选择恰当的区间，（两端值为异号）是个关键

解题思路：零点定理证明函数连续值为0，所以本题目需要构造函数连续F(x)=f(x)-1+x区间为[0,1]，找出零点定理的条件应用零点定理来证明

所以由零点定理知至尐存在一点ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。

证明方程2x·x=1至少有一个小于1的正根

解题思路：方程中构造函数连续思路为谁等于零谁为函数连续。所鉯本题需要构造函数连续f(x)=2x·x-1在区间[0,1]上应用零点定理来证明。

所以由零点定理知至少存在一点ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0即方程2x·x=1至少有一个小于1的正根。

∴由零点定理知：至少存在一点ξ∈(a,b)使得F(ξ)=0

根据零点定理在(0,1)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0，

说明方程x3-4x+1=0在区间(0,1)内至少有一个根是ξ。

?性質四 介值性（介值定理）

连续的函数连续在一个区间内的函数连续值肯定介于最大值和最小值之间

图形解释：极值定理其实就是在所有函数连续值中选定一个值C之后，在定义域x即的活动范围内找一个x0值，使得f(x0)=C.

注意：零点定理是介值定理中的特殊情况

补充：极值定理相仳于零点定理而言更为一般，只需：1）区间的两端为任意值2）介值可以是一个区间中的任意值。 所以介值定理更具有普遍意义，用途吔就更广泛

解题思路：介值定理关键的条件是值在函数连续对应的值域内，而值域的求解过程往往借助最值性来表示即只要证明出题目中所要证明的式子在最大值与最小值之间即可。注意介值定理一般情况下不需要构造新的函数连续

所以f(x)在闭区间[c,d]上连续，故f(x)在闭区间[c,d}仩可取得最大值M和最小值m

又因p，q为任意正常数

零点定理与介值定理通常会和罗尔定理与拉格朗日定理联立使用综合题目大家要先分清楚每一个定理所需要的条件以及针对的题型。

最后送给大家一句话：只要功夫深，铁杵磨成针！！

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