学数学要“熟”、“练”、“化”

——华罗庚先生向北京师大附中高中学生讲话摘要

今天我来给大家谈谈学习数学的方法问题。我准备讲“熟”、“练”、“化”三个芓其中重点讲“化”字。我认为学习数学要达到“化”的标准为什么要达到“化”的标准，怎样才能达到达到了又有什么好处呢？峩下面就着重讲讲“化”的问题

首先“化”，就是不要死记硬背

最近，我看到不少中学生有这样的情况：念书时念到后面忘了前面；課本讲的都会但一到活用时就不会了；有的上课时，老师讲的能听懂一做习题困难就来了；有的学生只会做书上的题，另外出题稍┅灵活就不行了，等等原因在哪儿呢？原因就在于学的东西没有消化知识不消化，不把书本上的知识变成自己消化、理解了的东西茬运用中自然会遇到很多因难。

比如在学习解一元二次方程的时候有的同学死记公式  ，满以为就够了就会做习题和应付考试了，但是過了些时间就模糊了-b有没有负号，没把握了；b?-4ac也许记成b?-ac了这就是不消化的后果。 

相反如果不是死记公式，而是记住了“配方”嘚原则就是公式偶尔忘了，只要配了方公式是照样可以写出来的。因此我认为着重搞清“配方”是很重要的，不要认为“配方”只昰在解二方程时才用其实中学里用到“配方”的地方很多，特别是不等式的处理就是学高等数学也要用“配方”(比如二次型，泛函分析正交级数等等都要用“配方”)。

从上述例子看出初中学的“配方”是一条基本原理，如果学习时把这条基本原理消化了尽管各个階段不同，知识加深了但可以用同一原理去解决，而不必去死记各种公式知识要能灵活运用。

数学是一种工具学习的目的在于实际運用。做习题是运用；但更重要的是你们将来参加社会主义建设以后的实际运用你们知道在社会主义建设中遇到的问题，是不可能标上苻号告诉你们可以用代数第几册第几定理去解决的，甚至不知道是不是数学问题也不知道用什么方法才能解决。要解决这样的问题朂重要的一点就是学得的知识要消化，要养成独立思考的能力有时有这样的情况，即在解决同一问题时有的人因为把知识消化了，很嫆易地用初等数学就解决了可是自己没有消化，虽然学了不少数学但费尽了思索，却怎么也找不到解决的途径

我认为做到“化”有鉯下几点好处：

消化是┅个过程，不能着急知识不是一下子就能消化得了的。某些知识和技能甚至需要几个反复才能消化和掌握，但是每走一步都细细咀嚼┅下消化就会好一些。在消化的过程中适当做点儿难题是有好处的。做难题可以达到进一步训练思维的目的可以开阔眼界，使得思維更灵活

有的同学怕做难题，我认为是不必怕的要知道做一道难题所遇到的因难和你们将来参加会主义建设所遇到的困难相比，是算鈈了什么的而且我们所说的这些难题都离不开书本，既是书本上有的东西肯定是能够用书本上的知识来解决的。

当然我也不提倡一菋的做难题。所谓难题是比较而言的而且是在学好基本知识、练好基本功的前提下，有一部分同学可以适当的做些难题如果为做难题洏做难题，不注意扎扎实实地学好基本知识是不妥当的。

把书本上的题都演了算不算达到“化”了呢？不算但是“化”的标准也不昰高不可攀的。“化”的标准就是我们常说的“由薄到厚”再“由厚到薄”在学习的过程中，听老师讲解后懂得的东西多了原先不懂嘚，现在懂了这也就是“由薄到厚。而“由厚到薄”不是说把学的东西忘了，而是经常体会、运用、理解了消化了。

大家可以回忆：学二元一次方程组时学了好几种解答的方法，有消元法、代人法、公式法等至少有五、六种。书上讲一种方法篇幅要占两页，学陸种方法就有十几页事实上，需不需要记住那么多呢实际上，解二元一次方程组的要点是消掉一个变数留下一个变数，各种方法都昰为了达到这目的解三元一次方程组，同样是先消去一个变数留下两个变数，然后再消去一个变数留下一个变数。高三的同学学过叻行列式（编者注：现行高中教材中没有行列式的知识）你们知道，对于计算行列式消元法也是很重要的。不论一个方程组有多少个未知数去解时都要用消元法。

因此“化”的标准就是要看，在学习以后究竟变“薄”了没有也就是说，是否概括掌握所学的知识的偠点是否掌握到问题的本质，是否能够举一反三触类旁通。

要达到“化”就要“熟”和“练”。

同学可以说学知识要消化，我们哃意但怎样才能达到消化的程度呢？我认为要达到“化”不外“熟”和 “练”。

什么叫“熟”把知识念“熟”很重要，但是我说的“熟”不是和尚念经那样的熟而是消化了的“熟”，就是每复习一遍都有所提高什么叫“练”呢？大家可能想“练”就是多做习题這当然不错，但是练不能盲目的练要有先复习后作题的习惯，要会分析题真正弄明白了再去做习题，不要机械地套公式练也不只是哆练，经常练而且更重要的是活练。比如同学们家中可能有小弟弟，小妺妹他(她)们来问你问题，你不愿回答这样，一是风格不够高再就是你失去了一个练的机会。这实际上是一个很好的锻炼机会看了会不会，会就启发小弟弟小妹妹去做，不会你就复习复习，说明有些东西过去没搞清楚再加加工这是好机会，别等数学考试考不出来才去复习

在锻炼里，最重要的问题是“活练”也是今天講的中心问题。活练的意思是：看见问题就想一想问一问为什么？动动手看会不会

有没有问题？问题多得很如茶杯有没有问题，有囚说这是喝茶的没有数学问题。其实看到茶杯可以想到很多数学问题：第一从来没有见到茶杯盖掉进茶杯里，但方的茶叶筒盖子却经瑺掉进去椭圆的也会掉进去。思考问题就来了：是不是还有别的形状的盖子不能掉进去这样后来试了试，方的不行六角的、八角的，椭圆的都不行这样就会想到，除了圆以外都不行了但我要告诉大家，的确有别的图形掉不进去如拿一个两脚规，固定一端为圆心劃弧然后把另一端固定在所划弧上，以同样半径划弧再以两弧的交点为圆心，以同样的半径划弧就得到三个弧交点的图形(图1)。这样嘚图形掉得下去否大家不妨试一下，想一想

图1 Reuleaux三角形，由机械师Reuleaux发现的他发现用这样的形状代替圆盘可以节约材料

又例如，在搞农業硏究时研究光合作用，需要量稻叶的面积怎么量？同学的回答一定是不会量因为大家只学了三角形、四边形和圆的面积。农业科學家有一个办法他们是用长度ⅹ宽度/1.2的公式，长是稻叶顶端到柄的距离宽是叶子最宽的地方。这公式是根据统计材料得出来的是一個植物学家量了多少万张稻叶得出来的这个规律。但有一次在一实验里密植高度的情况下，他们也这么量长宽相乘再除1.2，我说这个不能除1.2如果这样做误差太大了。一量的确是误差很大他们很奇怪，就问我“为什么你能说误差很大呢”学过数学的人听了这个方法就偠想一想，1.2是什么意思首先我想到如果是两个长方形加一个三角形(图2)，不是6：5吗刚好是1.2，所以如果稻叶收尖在2/3的地方这个方法是误差不大的，但是密植出来的稻叶收尖开始得早了再用这个公式当然就不合适了。

类似这样的问题很多甚至走路都会走出问题来。比如当我们看到城市里指挥交通的红、黄、绿三种灯时，就出现了是否要三盏灯的问题(两盏行不行，先思考一下再考虑一下红灯是停止信号，黄灯有透雾作用等等)

上面讲到茶杯，就会想到茶杯为什么不矮一点呢立刻就会想到：一个茶杯盛同样多的水，怎样构造用的材料最少高中的同学都可试试想能不能解决这个问题，假定是圆柱体分有盖、没盖两种情况来研究。

这个图是取自 Peter Lax 等著《微积分及其应鼡》（林开亮等译科学出版社，2018年）

再例如看到房梁就会想到，如果给了一块木头要做一个方梁，怎样截取受压最好的问题这牵扯到材料力学了，同学们还解决不了我告诉大家一个切法。如果给的是一个圆柱那么可以把它的值径分成三等分(图3)，在距直径一端1/3的哋方向上作垂线和圆相交于一点，连接这点和直径的两端同样，在距直径另一端为1/3的地方向下作垂线，也可以得到另外一交点连接这个点和直径的两端。按这样的图形切下来的方梁受压最好 

再以计算洲际导弹射程为例：如果从地球北半球上某一地点向南面某一地區——比如象图5所表示的有P?，P?P?，P?四点坐标的地区——发射洲际导弹我们可以从这已知的四点算出导弹的射程有多少；也可以找到它的发射地点。试想一想为什么看了四点就知道射程了呢？ 

我们还是先来看个例子普通打枪打炮时，他一定会给出一个扇形的危險区域因为打炮时有两种可能性，一种是炮口上下摆动；一种是炮口左右摆动出发点是同一个。如果要防止别人受伤一定要给个有紦握的范围，这样就给出了扇形的上下和左右边我们一知道范围，就知道炮弹是从那儿打出来的即扇形左右两边延长线的交点就是(图4)。

现在我们把洲际导弹射达区域放到地球上 (P?P?，P?P?）来，见图5不解释大家也知道，通过左面两点和球心作一平面再过右面两點和球心作一平面，得到两个大圆它们在球面上的交点，就是我们所要找的发射地点了当然是不会那么准确。因为这是中学生的办法这个问题不只启发了这一点，还可以把它的准确度算来还有，上面的两点距离长下面的两点距离短，是因为它的射程超过了地球周長的1/4为了帮助低年级的同学们了解得更好，我们用一个更简单的办注拿一个地球仪来，把这四点的位置钉上大头针用两根铅丝做成兩个和地球仪赤道半径相同的圆周，通过给定的左面和右面的两点套上去这样两个圆的交点就是我们所要求的地方。有人问：“哪一年級的学生能算出来”我认为，念过立体几何的可以试一试学过立体解析几何的一定行。当然学过球面三角会更好些。对数学好一点嘚人没学过立体几何也能算出来。

从这里看出要学好数学，一定要经过艰苦的劳动不断的思考问题，经过失败然后才能解决问题。有的同学问学数学是不是要有天才，我个人看法最主要的还是在于努力。两个人有一个天资稍差一点，但他努力主观上艰苦些，碰到问题多想想反而还会长进得快些。

大家一定很爱看课外读物像《十万个为什么？》等书这是好书，我个人也很喜欢看这些書主要问题是用什么样的水乎去看，你是用小孩的身份看还是用大人身份看。象《十万个为什么》这样类型的通俗读物有些同学看了哆想一想，很可能想出的比十万个问题还多

例如有些书上说人造卫星第一宇宙速度是8公里/秒，一般书上说的理由是圆形的轨道就掉不丅来。但是椭圆轨道的人造卫星不是也掉不下来吗为什么8公里得出圆形轨道？又说卫星有时走得快有时走得慢，书上也有个解答难噵这些就能满足我们的求知欲吗？(这些问题大家念到微积分时就可以进一步得到解答。)

最近我看了一批通俗书，谈到关于蜂房的问题书上是这么说的：

有些同学可能也看到过这个问题碰到这个问題是不是就来个“有趣”，等于看了段《西游记》就过去了呢不能这样，要问一问我们是不是能算出109°28′？由这个问题启发我思考了恏几个月困难在那里？首先这个问题题不能成为数学问题因为它是六角形，钝角是109°28′锐角是70°32′，我不懂六角形内角和是720°，平均一个角是120°，每一个角都比120°大，它所说的最大的不过是109°28′，这是什么意思又说是菱形，怎么立体图形是六角形又是菱形猜过來猜过去不对头，刚巧有机会碰到一位昆虫学家给我个蜂窝看看，看过之后了解了确实挺简单，几分钟内就解决了现在给大家介绍┅下。

给了个六棱柱(图6)。它的一端的形状是ABCDEF正六角形通过AC，一刀切(斜切)下一角拿这个角(四面体)过去，装到顶上过AE，CE如此同样各切┅刀所堆成的形状(图7)就是蜂房底部的形状。

数学老师要求你们学好数学有三点：一是熟练的运算能力；二是严格的逻辑推理；三是空间嘚几何想象能力刚才讲的是一个六棱柱，通过不相邻的两个顶点切下来的是一个四面体然后将这三个四面体堆在六棱柱顶上，四面体嘚顶点(BD，F三点)和底面的中心重合这样就成为以六棱柱为基础的三块菱形收尖的形状的物体(图7)。书上说的那个角度就是这个菱形的角喥，不是六角形的角度它的底是一个六棱柱，顶是个尖顶形

大家看了后，脑子会糊涂我们用个简单问题启发一下，例如一个四方柱(圖8)可以切成许多不同的形状，一个办法是在距一双对边各1/4的两个地方切下来(斜切)然后把它们竖到顶上。这样得到一个上面象一个房顶(屋脊)下部是一个四方柱的物体(图9)。

还有许多别的切法如过相邻两边的中点切下来，得到四个四面体(图10)将它们竖到四方柱的顶上得到┅个下部是四方柱，上部是四个菱形收尖的物体(图11)看了这两个例子，六棱柱的切法就容易想象了

现在我先提一个初等问题，然后再说難一点的问题还是拿六柱来作例子(图6)，通过AC两点在B棱上取X长切下来，然后过C、E点在D棱上取X长切下来在下棱上过A，E两点和上面作法一樣现在问：怎样的X，使所得的尖顶六棱柱表面积最小这问题比较好办。这样就把原先是几何问题化成了代数问题变成X在什么情况下，函数取最小值的问题

把问题从几何学问题转到求最小值的问题，像我们念过高等数学的知道用微积分一下就出来了。但不能满足峩还要对中学生作报告，就想想能不能用初等方法(例如高中数学)来解决我给了四个方法，后来我去南京师院附中给学生讲过后他们来彡个方法，有一个高的同学也拿来做了北京师大女附中的一位高一同学也给了我一个很好的解法，所以这个问题不是个难题

可是，这個题还末达到应有的高度因为我们还要想一想，是不是只有这一个切法为什么只能从六棱柱切下来，用四棱柱是不是好一点这样出現的题就更多了。所以问题的真正提法是，不提四棱、六棱只告诉要造一个对象，凑起来填满空间需要的材料最少是什么这个问题難了，不是中学生的水平能解决的

同学们不妨试一试：求出使切出的面积最小的X，看菱形的角度是不是109°28′70°32′。第二个问题是六棱柱有没有别的切法也能达到同样的作用(可以填满空间)如果是切拼后的四方柱，是不是对得起来在什么样的情况下，用的材料最少表媔积最小。大家可以拿这几个问题练练功

注意练完不能就算完了，还可以再想一想例如蜂房这个图形在别的地方见到过没有，看到这個109°28′很怪实际上在结晶学和化学中都有这种情况，这样我们就发现这并不是从天上掉下来的。 

我讲的主要目的是给大家上一堂补充課有的同学让我谈数学有什么用场，为什么学数学我讲到这几点，大家可以看出数学有这么多用场，而且在许多领城中都会用到為什么？这是因为数学是研究数量关系和空间形式的科学凡是有数量关系的地方，都有数学问题在日常生活和生产劳动中，有很多重偠的数量问题需要我们去解决因此，数学是一门重要课程在中学时代必须认真学好这门课程，掌握这一工具把基础打好。

现代技术科学知识发展极为迅速为了尽快地把我国建成为社会主义的强国，党号召我们树雄心立大志，攀登世界科学技术高峰在攀登科学技術高峰中，数学是其中的一个重要方面同时也是其它科学的主要工具和助手。我希望你们努力学好这门课程将来在祖国的建设事业中莋出更多的贡献来。