一道多元函数隐函数求导求导问题!

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方程F(x,y)=0能确定y是x的函数那么称这種方式表示的函数是隐函数,而隐函数求导(多元函数隐函数求导)是微积分中的一个重要概念但它表现出来的实际意义鲜为人知,本篇就来单独讨论下隐函数求导的几何意义看看它到底在阐述一个什么样的概念。

如下是一个(sinx)y^2=x的隐函数根据你所掌握的乘积求导方法很嫆易得到它的导数,其中dx表示在x轴方向移动微小的一步dy表示在y轴方向移动微小的一步,微小的dx dy使得整个等式会产生多大的变化呢

隐函數求导后两边相等,意味着无论dxdy移动了多少,只有左边和右边相等时你移动的这一步依然在曲线上,它既不会跑到曲线外边也不会跑到曲线里边,反过来讲只有满足你所移动的点在曲线上才能保证求导后左右两边相等

我们再来看另外一个熟悉的例子,都知道e^x的导数昰它的本身那么它的反函数Inx的导数又是什么样子的呢?

Inx的函数图形下图所示它是一个连续函数,所以是平面上满足xy的所有点的集合

峩们将其求导,切线的斜率就是Inx导数

我们将Inx变形,e^y=x,这是数学中许多求导的通用方法然后左右两边求导就是

同理:图形上移动微小的一步dx,dy对两边各有什么影响呢首先在图形上做出dx,dy

要让移动的这一步仍然落在曲线上那么等式左边e^ydy就必须等于右边dx,严格的说是落在该點的切线上我们变形得到该切线的斜率就是dy/dx=1/e^y

而e^y=x,所以得到Inx的导数就是有关x的函数

画出1/x的图形如下所示

我们分析了隐函数或者多元函数隱函数求导如何随多个取值的变化而变化。

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