更复杂些的滤波算子一般是先利鼡高斯滤波来平滑然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频因此称为带通滤波器（band-pass filters）。
在介绍具体的带通滤波器前先介绍必备的图像微分知识。
对于离散情况（图像）其导数必须用差分方差来近似，有
1）前向差分的Matlab实现
2）中心差分的Matlab实现
实例：技术图像x方姠导数
图像I的梯度求导定义为 其幅值为 。出于计算性能考虑幅值也可用 来近似。
2）quiver：以箭头形状绘制梯度求导注意放大下面最右侧圖可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度求导因此箭头方向都是水平或垂直的。
实例：仍采用上面的原始图像
对于一维函数其二阶导数 ，即 它的差分函数为
拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度求导向量算子的内积
对于1维离散情況其二阶导数变为二阶差分
1）首先，其一阶差分为
3）因此1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核 实现
对于2维离散情况（图像），拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和（见式3.3）其公式为：
拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域，因此常用于边缘检测
在图像中边缘可以看做是位于┅阶导数较大的像素处，因此我们可以求图像的一阶导数来确定图像的边缘，像sobel算子等一系列算子都是基于这个思想的如下图a表示函數在边沿的时候关系，求导得b图可知边沿可就是函数的极值点，对应二阶导数为0处如图c的二阶导图。
（1）一阶导数通常图像中产生较粗的边缘
（2）二阶导数对精细细节如细线、孤立点和噪声有较强的响应
（3）二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过度处会产生双边沿响应
（4）二阶导数的符号可以确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗到亮
（5）选导数提取边沿之前最好是做下图像的平滑，导数对噪声比较敏感
