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前言：还记得去年从登上离开的飞机开始，哥就掏出笔本开始写游记，几个小时写了密密麻麻正反面19页，太多的不舍让我暗下决心一定还会回来！
也许是和去年的“相约”，今年冥冥之中的又一次选择了，经过前期“别有用心”的准备，在充分借鉴去年自驾经验的基础上，哥带着女猪脚开启了第2季之旅。
与去年第一次到蜜月游的“青涩”自驾不同，这次完全是开出了“狂野”与“激情”，去年14天只开了3500公里，今年少了4天却几乎翻了一倍，回想起这10天的深刻经历，跨了老美7个州（加利福尼亚、内华达、亚利桑那、犹他、爱达荷、怀俄明、蒙大拿，其中有3个州被交警唠嗑），6座国家公园（大峡谷&、拱门、大、、死亡谷、优胜美地），途径40多个小镇吃饭、加油、休息，U盘里的几百首歌曲循环播放了足足5遍，也许再让我开一次恐怕完不成了。
OK，正式进入小汉汉第2季游记主题，游记写得好的大师太多，在充分汲取第1季精华和分析不足的同时，今年加入了所拍摄的沿途自驾美景，并尽可能多地在旅途中发现他人尚未开发的风景，用心即是能够做到的！
总体行程安排：
&———拱门国家公园&—&&—大国家公园—&&———&&——
提示：每个人心中都有一份属于自己OR更适合自己的完美计划，小汉汉的这份并不一定最合适你，但其中涉及到朋友们经过的经典线路、地点等相关信息，哥都用心标记出来，肯定对你是有借鉴作用的！
希望，今后去的其中一个你，当经过某一个地方，看到某一处风景时，能够记得，哎呀，我曾经在小汉汉的帖子里看到他提到过这，异国他乡的共鸣是很让人开心满足的哦！
分割线---------------------------------------------
机票篇：吃了去年订机票的亏之后，今年从7月份就一直在网上观望，往返价格一直在6000左右徘徊；突然在8月1日那天，出现了3800块特价机票&，这种机会当然不能错过，果断出手，最终特价机票也就在当月1号和2号出现，后面又回到越来越贵的状态，一阵窃喜！
TIPS：下个携程软件，把确定好的往返地点、时间提前输入，每天打开看一下就OK啦，能不能碰上特价机票放出需要一点点运气，但最好在出发前一个月时就得搞定，越往后越贵！
租车篇：ALAMO公司，预付全款（打印提车单、驾照原件、国际驾照、信用卡）。
与去年一样，还是在租租车官网（http://www.zuzuche.com）上选的大切诺基系列（10天含超级补充全险3400块，后面车险篇会提到），本以为带着某宝买的特色小纪念品能选到大切，店员说完感谢送了句“GOOD&LUCK”。到了停车场SUV区果然别说大切了，排量大的几乎不见。。。总不能又像去年再选个自由光了吧，不甘心的又转了一圈，瞅着更高档区的&、卡迪拉克、英菲尼迪眼里放光了都，突然发现有一辆福特探路者是可以选的，3.0排量非常适合这次狂野的国家公园之旅有木有！
结果车上已经坐上了一位游客，然而几秒钟下了车，他说这款车太大，自己一个人就换了个小车，心里一阵激动，赶紧把行李往上放，37000多英里正是最好开的时候，全时四驱+无钥匙进入大赞啊！（也没白沾光，后面居然又和这位哥们见面了，先卖个关子~）
特别提示：本次租租车免费赠送了一本国际驾照，与驾照翻译件相比有一定区别，也有固定模板很好办理；但是作用要比翻译件好使，尤其是碰上警察的时候（后面开专题报道）！
保险篇：车险去年选的是超级全险，然后到了取车地又被忽悠了65刀的道路救援险（含车窗被砸、轮胎故障、拖车等）；
今年租租车推出一款超级补充全险，包含了道路救援、车窗和轮胎保险等，含租车10天下来3400块（分享到朋友圈可以帮你砍价，24小时广志们还帮俺砍了167块，在此特别感谢！）
人身险还是出发前在穷游上买了个美亚保险，出去多少天买多少天的，计划就够。（注意，它是按档分的，不是按具体的某一天，例如你的行程中安排了15天，那么可能是在15-18那一档，所以完全可以选个前后都算进去的18天，花同样的钱多保两天！）
加油篇：感觉老美今年要比去年整体油价还要低了一些，本次全程加油基本都是在2.2-2.5刀/加仑，沿途小镇相比市里面便宜一点，越靠近景区油价越贵，这次就在优胜美地公园东门外附近入住的Mammoth&lakes小镇大放血，3.3刀啊，女猪脚心疼的怒吃一打零食。
原以为选的这个3.0排量的探路者会很耗油，由于哥每天基本都在100迈以上开，平均油耗大概22-24英里/加仑，折合百公里也就10升油，比在帝都开个2.0的还要省呢。
导航、无线网、电话卡篇：去年哥在游记里这样写道“想省钱、省心、省地儿的朋友们，听哥们一句，去特么的各种导航吧，一张AT&T电话卡足够！！！”
当时觉得谷歌地图虽然好用，但毕竟自己也没去几个国家公园，究竟这次行不行，至少出发之前哥们还是信心满满的，结果虽被打脸数次，但是哥显然是有备而来的，那就是—探途离线导航&http://www.tantu.com/
（这是由租租车公司自己开发的一款离线就能在境外导航的软件，出发前把7个州的离线地图都下载安装好，发现真的很赞，所经过的不仅6个国家公园精华地点都包含，就连各市甚至沿途小镇所拥有的风景、名胜等各种位置全部收入囊中，而且真的不需要网络，非常精确！）
所以，哥们这次基本上把路趟平了，一张AT&T电话卡+探途离线导航绝对够用，通杀各大国家公园，各种羊肠小道！
AT&T当前探测范围：整个木有信号！（AT&T公司是不是对这个州有很大仇恨呢？）
大峡谷游客中心及部分景点有信号，不太稳定；
拱门公园几乎没有信号；
大公园东线也就是191公路是有信号的，公园里也就是西线大部分都有信号，有一座山信号非常好（也许就是Signal&Mountain的由来吧，满格爆表）；
公园老忠实附近信号非常好，大峡谷和猛犸象附近时有时无，其它地方基本上没有信号；
死亡谷公园里也就Furnace&Creek那有信号，还不太好；
优胜美地从进东门到山谷前都没有信号，但是山谷里信号很好！
TIPS：出国前下载好探途离线地图，不用添加任何景点，到哪个州前一天晚上搜索标记就好；市里用谷歌地图（电话卡网络支持），还可以实时避开拥堵线路，尤其是定了各种游玩套餐的，需要一张当地电话卡保持联系。
车载设备篇：带个车载充电器是很有必要的，一是能确保手机全程随时有电，二是防止在酒店忘了充电第2天用着闹心。
由于这次要去，加上西部大多数气候相对较热，我在某宝上买了个小冷藏箱，各酒店、大多数加油站都是有制冰机的，而且一般免费，车上喝一口冰凉饮品还是很舒爽的！
餐饮篇：去年小汉汉在游记里给大家推荐了几个当地特色，吃得惯又相对符合人胃口的，今年大部分我俩还是吃的它们，虽然途中经过2家中餐馆，不过毫不犹豫就PASS掉了。
这次印象最为深刻的是在公园Mammoth&Hot&Springs&Dining&Room吃的野牛肉，折合人民币100块，非常好吃！
其次，COSTCO最为经典的烤鸡和热狗也是非常不错的选择。热狗30年来价格从未变过，1.5刀就能到手一大杯饮料和可以添加适合自己胃口的热狗哦；
香喷喷的烤鸡更是赞，4.99刀一只供我俩吃了3顿！回国后在的山姆超市也看到了类似COSTCO烤鸡居然卖的贵了一倍，但是体型却小了不少。
IN-N-OUT：
不用多介绍了吧，加州特有的，来一趟不尝尝就是犯罪哦！超级推荐第2款套餐：Cheese&Burge(1&beef,1&Cheese)+&普通薯条+无限续杯的饮料，不同地方价格稍微有变化，超不过6刀的。咬的过来的可以选择双层的，不爱吃牛肉的可以单要蔬菜的（菜单上没有），它的洋葱和小辣椒真心很好吃，女猪脚每次都是因为黄色小辣椒才愿意跟我来吃。
（TIPS：两个人可以买1份软饮，免费续杯嘛，虽然这样不好，但2杯确实有点浪费，至于3人以上还要1杯那就多少有点说不过去了，哈哈）。
号称家庭最喜欢来的一家餐馆，好在这里一定有你能吃舒服的哦，尤其是煎蛋控的朋友们，这里晚上都可以点早餐系列哈。基本上稍微大点的地方都会有这家店，等待时间不长，两个人15-20刀足够；体面而且不贵，很值得！
TACOS：卷饼，味道相比其它类更接近人的口味，像Taco&Bell,&Taco&Time这样的店到处都是，价格很公道；
最为好吃的是在LINQ酒店与Harrah’s酒店之间的Burrito，依个人爱好定制，非常好吃，不过价格也不便宜，一个卷饼70-80块吧。
以上这些到一个地方，头吃饭之前，GOOGLE地图搜索英文名至少应该会有一家的，想省时间而又经济实惠的朋友们可以增加一个选择！
TIPS：小镇上的DQ、星巴克之类的都要便宜很多，过嘴瘾的把时间花在沿途小镇就OK啦！
住宿篇：10天9个晚上，全部在booking搞定，可以直接在地图上选择自己想要住的区域，查看评分和位置，一分钱一分货，建议做好行程之后再最后选择住宿吧。
这次行程中的住宿本着经济适用原则，基本上全是Motel，前面行程单里有酒店详细信息，总花费如下（以实际信用卡扣除为准）：
第1晚住在哈瓦苏湖城Roadway&Inn&Lake&Havasu&City，含税价489块；
第2晚住在Roadway&Lake&Powell&Inn&Page，含税价681块（连续两年都在这，来值得一住）；
第3晚住在Price小镇national&9&inn&price，含税价411块（小镇挺漂亮的，在拱门公园和中间，早餐很赞）；
第4晚住在Motel&6&Jackson，含税价552块（没有无线网）；
第5晚住在Old&Faithful&Inn，含税价860块（此行最贵）；
本篇游记共含52872个文字，686张图片。帮助了名游客。
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历史上的今天
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blogAbstract:'目& 录一、汽车的主要结构参数和性能参数二、发动机基本参数详解三、何为“欧I”和“欧II”标准四、多 气 门 发 动 机五、新 车 磨 合六、汽车安全的探索ABS ASR ESP七、前后轮驱动汽车的优缺点八、自动变速器执行机构的结构与原理九、四 轮 定 位 的 作 用十、跑& 车十一、家用汽车与家用轿车十二、汽车的动力性与经济性十三、国际惯例上什么样的车是豪华轿车十四、三厢车两厢车的区别和划分十五、汽车产品型号的构成&汽车小常识一、汽车的主要结构参数和性能参数汽车的主要特征和技术特性随所装用的发动机类型和特性的不同，通常有以下的结构参数和性能参数。　　1. 整车装备质量（kg）：汽车完全装备好的质量，包括润滑油、燃料、随车工具、备胎等所有装置的质量。',
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(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编29章锐角三角函数及解直角三角形
（最新最全）2012 年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理） 第二十九章锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角 （2011 江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ A.1 2） D.1B.2 22 2C.3 2【解析】sin45°= 【答案】B【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对 基础知识的考查，属于容易题。（2012 四川内江，11，3 分）如图 4 所示，△ABC 的顶点是正方形 网格的格点，则 sinA 的值为ABC 图4A． 12B．5 5C．10 10D． 25 5【解析】欲求 sinA，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠ A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发 现连接 CD （如下图所示） 恰好可证得 CD⊥AB， ， 于是有 sinA＝ CD ＝AC2 10＝5 5．A D B C 图4【答案】B 【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三 角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连 线的特殊位置灵活构造． 解决这类问题， 一要注意构造出直角三角形， 二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算 （2012 福州，9，4 分，）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点 的俯角分别为 30°、 45°， 如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米， 点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ A．200 米 米 B. 200 3 米 C. 220 3 米 ） D. 100( 3 ? 1)解析： 由题意， ∠A=30°， ∠B=45°， tan A ? 则 因此 AB=AD+DB= 答案：DCD CD ， CD=100， 又 , tan B ? AD DBCD CD 100 100 ? ? ? ? 100 3 ? 100 。 0 tan A tan B tan 30 tan 450点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用 三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。A( 2012 年浙江省宁波市,8,3)如图， Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB= 则 BC 的长为8 题图 C B2 3,（A）4(B)25(C)18 1313(D)121313 = 2 3 ，又∵AB=6∴BC=4,【解析】由三角函数余弦的定义 cosB= 故选 A 【答案】ABC AB【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012 福州,15，4 分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是 是 .（结果保留根号） ，cosA 的值解析： 由已知条件， 可知△BDC、 △ADB 是等腰三角形， DA=DB=BC， 且 可证△BDC∽△ABC，则有BC DC ，设 BC=x，则 DC=1-x，因此 ? AC BCx 1? x ? ,即x 2 ? x ? 1 ? 0 ，解方程得， 1 xx1 ?5 ?1 5 ?1 ? 5 ?1 , x2 ? （不合题意，舍去），即 AD= ； 2 2 2AB 又 cosA= 2 ? AD1 1 5 ?1 ? ? 4 5 ?1 5 ?1 2? 2答案：5 ?1 5 ?1 , 2 4点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性 质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特 殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难 度较大。（2012 连云港，3，3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如 图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上 的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5°的角的正切值是D C FEABA. 3 +1B.2 +1C. 2.5D. 5【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE 和△AEF 都是等腰三 角形。得到 67.5°的角为∠FAB。 【答案】设 AB=x,则 BE=x,在直角三角形 ABE 中，用勾股定理求出 AE=EF= 2 x,于是 BF=（ 2 +1）x.在直角三角形 ABF 中，tan∠ FAB=BF ( 2 ? 1) x ? = 2 +1=tan67.5°.选 B。 AB x【点评】根据折叠得到 A、E 关于折痕对称，从而根据轴对称的性质 得到等腰三角形。求出两线段的长。(2012 山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的 距离，根据实际情况，作出如下图形，其中 AB ? BE ， EF ? BE ，AF 交 BE 于 D， 在 BD 上． C 有四位同学分别测量出以下四组数据： BC， ① ∠ACB； ②CD， ACB， ADB； EF， ， ； DE， ， ． ∠ ∠ ③ DE BD ④ DC BC 能 根据所测数据，求出 A，B 间距离的有（ （A）1 组（B）2 组（C）3 组 ）（D）4 组AE D F F C B【解析】对于①，可由公式 AB=BC×tan∠ACB 求出 A、B 两点间的x x ， BD= ， tan ∠ACB tan ∠ADB DE BD BD-BC=CD，可解出 AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则 ， ? EF AB距离； 对于②， 可设 AB 的长为 x， BC= 则可求出 AB 的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选 C． 【答案】C． 【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角 三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素； 判定两三 角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还 有 HL．（2012 贵州铜仁，22，10 分）如图，定义：在直角三角形 ABC 中， 锐角 ? 的邻边与对边的比叫做角 ? 的余切，记作 ctan ? , 即 ctan ? =角?的邻边 AC ? ，根据上述角的余切定义， 角?的对边 BC解下列问题：22 题图（1）ctan30 =?；3 4（2）如图，已知 tanA= ，其中∠A 为锐角，试求 ctanA的值． 【分析】 1） （ 可先设最小边长为一个特殊数 （这样做是为了计算方便） ， 然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出 ctan30?。 （2）由 tanA=3 为了计算方便，可以设 BC=3 4，AC=4 根据余切定义就可以求出 ctanA 的值． 【解析】 （1）设 BC=1, ∵α=30? ∴AB=2 ∴由勾股定理得：AC= 3AC = 3 BC 3 (2) ∵tanA= 4ctan30?=∴设 BC=3AC=4∴ctanA=AC 4 = BC 3【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角 三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。 命题时常常和现实中的 一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其 关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也 容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。（2012 浙江丽水 4 分， 题） 16 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ∠A=90°， ∠B=120°，AD= 3 ，AB=6.在底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得∠DEF=120°. （1）当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是________； （2）若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是________.【解析】 ：AE= AB=3.在 Rt△ADE 中，tan∠ADE= 所以∠ADE=60°，所以 DE=1 2AE 3 = 3. ? AD 3AD 3 ? ? 2 3 ，∠AED=∠EDF=∠ 1 cos ?ADE 2BEF=30°，所以 ED=EF.过点 E 作 EG⊥DC 于 G，则 DF=2DG=2× DE?cos30°=2×2 3 ×3 =6； （2）过 C 作 CH⊥直线 AB 于 E，那么 2CH=AD= 3 ，由勾股定理 D 得 BH=1。所以 CD=7。易知△BCE～△ EDC，所以 BE：CE=CE：CD，所以 CE2=CD×DC，设 BE=x，则 CE2=7x。在 Rt△CEH 中，由勾股定理得 CE2=EH2+CH2，得（x+1）2+3=7x，解之，得x=1 或 4。当 x=1 时，AE=5；当 x=4 时，AE=2。故 AE 的长为 5 或 2。 【答案】（1）6； ： （2）2 或 5【点评】 ：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角 形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.（2012 江苏泰州市，18,3 分）如图，在边长相同的小正方形组成的 网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相 交于点 P，则 tan∠APD 的值是 ．【解析】 要求 tan∠APD 的值，只要将∠APD 放在直角三角形中，故 过 B 作 CD 的垂线， 然后利用勾股定理计算出线段的长度， 最后利用 正切的定义计算出结果即可． 【答案】作 BM⊥CD，DN⊥AB 垂足分别为 M、N，则 BM=DM= 易得：DN=2 ， 210 2 ，设 PM=x，则 PD= -x，由△DNP∽△BMP，得： 10 210 5 PN PN DN ? 10 ， ∴PN= ，即 x ， 由 DN2+PN2=PD2 ， 得 ： ? 5 x PM BM 2 22 2 1 1 + x2=( -x)2 ， 解 得 ： x1= ， x 2= 2 4 5 102 （ 舍 去 ） ∴tan ∠ ，2 BM ? 2 =2． APD= PM 2 4【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础，还要注意网格中线段的长度都可以在直角三角形中去解决．（2012 福州，9，4 分，）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点 的俯角分别为 30°、 45°， 如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米， 点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ A．200 米 米 B. 200 3 米 C. 220 3 米 ） D. 100( 3 ? 1)解析： 由题意， ∠A=30°， ∠B=45°， tan A ? 则 因此 AB=AD+DB= 答案：DCD CD ， CD=100， 又 , tan B ? AD DBCD CD 100 100 ? ? ? ? 100 3 ? 100 。 0 tan A tan B tan 30 tan 450点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用 三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。（2012 福州,15，4 分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是 是 .（结果保留根号） ，cosA 的值解析： 由已知条件， 可知△BDC、 △ADB 是等腰三角形， DA=DB=BC， 且 可证△BDC∽△ABC，则有BC DC ，设 BC=x，则 DC=1-x，因此 ? AC BCx 1? x ? ,即x 2 ? x ? 1 ? 0 ，解方程得， 1 xx1 ?5 ?1 5 ?1 ? 5 ?1 , x2 ? （不合题意，舍去），即 AD= ； 2 2 2AB 又 cosA= 2 ? AD1 1 5 ?1 ? ? 4 5 ?1 5 ?1 2? 2答案：5 ?1 5 ?1 , 2 4点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性 质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特 殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难 度较大。（2011 山东省潍坊市，题号 9，分值 3）9、轮船从 B 处以每小时海 里的速度沿男偏东 30°方向匀速航行， B 处观测灯塔 A 位于南偏东 在 75°方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在观测灯塔 A 北偏东 60°方 向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是（ A．25 3）海里 D．25B． 25 2 C．50考点：方位角和等腰三角形的判定 解答：根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25 海里； 根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°； CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°； ∠A=∠CBD=45°所以 CA=CB 所以 CB=25 海里，本题正确答案是 D 点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方 位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段 的关系是解决问题的常用方法和思路。 （2012 湖北襄阳，10，3 分）在一次数学活动中，李明利用一根拴 有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪， 去测量学校内 一座假山的高度 CD． 如图 5， 已知李明距假山的水平距离 BD 为 12m， 他的眼睛距地面的高度为 1.6m， 李明的视线经过量角器零刻度线 OA 和假山的最高点 C，此时，铅垂线 OE 经过量角器的 60°刻度线，则 假山的高度为 A．(4 C．(43 ＋1.6)m 2 ＋1.6)mB．(12 D．43 ＋1.6)m3mCA O E B 图5 D【解析】如下图，过点 A 作 AF⊥CD 于 F，则 AF＝BD＝12m， FD＝AB＝1.6m．再由 OE∥CF 可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在 Rt△ACF 中，CF＝AF tan 60?＝43 ，那么CD＝CF＋FD＝(43 ＋1.6)m．CAO F E B D【答案】A 【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键， 其间需要具有良好的阅读理解能力， 能将对应线段和角之间的关系理 清．（2012 浙江丽水 4 分， 题） 16 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ∠A=90°， ∠B=120°，AD= 3 ，AB=6.在底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得∠DEF=120°. （1）当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是________； （2）若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是________. 【解析】 ：AE= AB=3.在 Rt△ADE 中，tan∠ADE=1 2AE 3 ? = 3. AD 3所以∠ADE=60°，所以 DE=AD 3 ? ? 2 3 ，∠AED=∠EDF=∠ 1 cos ?ADE 2BEF=30°，所以 ED=EF.过点 E 作 EG⊥DC 于 G，则 DF=2DG=2× DE?cos30°=2×2 3 ×3 =6； （2） 2【答案】（1）6； ： （2）2 或 5 【点评】 ：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角 形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.（2012 安徽，19，10 分）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°， AC= 2 3 ，求 AB 的长，C30° A45° B第 19 题图解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边.不是 直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点 C 作 CD⊥ AB 于 D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ACD 中，∠A=30°，AC= 2 3 ∴CD=AC×sinA= 2 3 ×0.5= 3 ， AD=AC×cosA= 2 3 ×3 =3， 2在 Rt△BCD 中，∠B=45°，则 BD=CD= 3 ， ∴AB=AD+BD=3+ 3点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个 是边），就能求出其余的边和角. 一般三角形中，知道三个元素（至 少有一个是边），就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角 三角形时，注意尽量不要破坏所给条件.（2012 湖南娄底，20，7 分）如图 9，小红同学用仪器测量一棵大 树 AB 的高度， C 处测得∠ADG?30?， E 处测得∠AFG?60?， ?8 在 在 CE 米，仪器高度 CD?1.5 米，求这棵树 AB 的高度（结果保留两位有效 数字，3≈1.732）.AD C30?F 60? E BG【解析】在 Rt△ADG 中，可设 AG=x，利用已知角的三角函数可用 x 表示出 DG 的长，在 Rt△AFG 中，根据∠AFG 的正切函数可用 x 表示 出 FG 的长，因为 DG-FG=DF，所以可列方程求出 x 的长，AG 再加 上仪器的高度即为大树的高． 【 答 案 】 解 ： 设 AG=xm ， 在 Rt △ ADG 中 ， ∠ ADG=30 ° ， ∴ DG= 3 AG= 3 xm； 在 Rt△AED 中， ∠AFG=60°， AG=x， FG= ∴ 3 x3 x， ∵DG-FG=DF,DF=CE=8 33 x=8,解得 x=4 3 ≈6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4. 3答：大树 AB 的高约为 8.4 米． 【点评】本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助 角边关系、三角函数的定义解题．(2012 重庆，20，6 分)已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， 点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三角形。若 AB=2，求△ABC 的周 长。（结果保留根号）解析： 由△ABC 是直角三角形和△ABD 是等边三角形， 可求出∠C=30°, 利用三角函数可求出答案。 答案：解：∵△ABD 是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵AB BC AB AC ∴BC= =4, ∵cosC= ∴AC=BC?cosC=2 3 sin C BCsinC=∴△ABC 的周长是6+2 3 点评：在直角三角形中计算线段长度问题，通常利用勾股定理和三角 函数来解决，本题也可由勾股定理来计算 AC 的长。（2012 浙江省温州市，21，9 分）某海滨浴场东西走向的海岸线可 近似看作直线 l（如图）。救生员甲在 A 处的t望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号。 他立即沿 AB 方向径直前 往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人 C 处入 海，径直向 B 处游去。甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再 向 B 处游去。若 CD=40 米，B 在 C 的北偏东 35? 方向，甲、乙的游 泳速度都是 2 米/秒。问谁先到达 B 处？请说明理由。（参考数据：sin 55? ? 0.82, cos 55? ? 0.57, tan 55? ? 1.43 ）【解析】根据特殊角的三角函数值,利用直角三角形的边角关系,利用 直角三角形的边 CD 建立等式.【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°， ∴ tan ?BCD ?BD ， CD∴ BD ? CD ? tan ?BCD=40 ? tan 55? ? 57.2 （米）CD 40 = ? 70.2 （米） cos ?BCD cos55? 57.2 70.2 ∴ t甲 ? ， ? 10 ? 38.6(秒） t乙 ? ? 35.1(秒） 2 2∴ BC ?∴ t甲 ? t乙 ．答：乙先到达 B 处． 【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题．重点考查学生是 否认真审题，挖掘出题目中的隐含条件，运用数学知识解决实际问题 的能力，难度一般．（2011 山东省潍坊市，题号 20，分值 10） 20、(本题满分 10 分)校车安全是近几年社会 关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组 设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验： 先在公路旁边选取一 点 C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长 等于 21 米， l 上点 D 的同侧取点 A、 使∠CAD=30°， 在 B， ∠CBD =60° (1)求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据： 3 ? 1.73 ， 2 ? 1.41 ）； (2)已知本路段对校车限速为 40 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由.考点：直角三角形的边角关系 解答：（1）由题意得 AD= ，在 RT△ADC 中，CD 21 ? ? 21 3 ? 36.33 ， tan 30 ? 3 3CD 21 ? ? 7 3 ? 12.11 tan60? 3在 RT△BDC 中， BD ?所以 AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米） （2）汽车从 A 到 B 用时 2 秒，所以速度为 24.2÷2=12.1（米/秒） 因为 12.1×, 所以该车速度为 43.56 千米/小时 大于 40 千米/小时，所以此校车在 AB 段超速. 点评：本题考察了直角三角形的边角关系，已知一边和一锐角解直角 三角形。在解决此类问题时，要找到所解的直角三角形，分析其中已 知的边和角，分析类型，选择方法求解。（湖南株洲市 3,13）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校 旗杆的高度。小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方，用 测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60°，则旗杆的高度是 米。【解析】 设旗杆的高度为 x 米， 由题意， tan 60? ? 得 【答案】 10 3x ， 解之得： 10 3 x= 10【点评】在直角三角形，已知一角与一个角可以利用直角三角形的边 角关系来求线段的长.（2012 四川攀枝花，19，6 分）（6 分）如图 6，我渔政 310 船在 南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 地观测到我渔船 C 在东北方 向上的我国某传统渔场．若渔政 310 船航向不变，航行半小时后到 达 B 处，此时观测到我渔船 C 在北偏东 30°方向上．问渔政 310 船 再航行多久，离我渔船 C 的距离最近？（假设我渔船 C 捕鱼时移动 距离忽略不计，结果不取近似值．）【解析】解直角三角形的应用-方向角问题． 【答案】作 CD⊥AB 于 D，设 BD=x，∵∠BCD=30°，∴CD= 3 x，因 为∠CAD=45°，∴AD=CD= 3 x，AB= 3 xCx，依据题意， 3 xCx=0.5，x=3 ?1 3 ?1 ，答：再航行 小时，离渔船 C 的距离最近。 4 4【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关 键是用小时来表示 AB 间的距离。（2012 江西， 9 分） 22， 小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图 1． 如 图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB、CD 相交于点 O， B、D 两 点立于地面，经测量：AB=CD=136cm ， OA=OC=51cm ，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一条线段，且 EF=32cm． (1)求证：AC∥BD； (2)求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角 ?OEF 的度数（精确到 0.1°）； (3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm，垂挂在晒衣 架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由． （参考数据：sin 61.9? ? 0.882,cos 61.9? ? 0.471, tan 28.1? ? 0.533 ， 可使用 科学计算器）CAO E FBD图1图2解析：（1）利用等腰三角形的性质或三角形相似，可得 AC∥BD； （2）过点 O 作 OG⊥EF 交 EF 于 G，构造直角三角形，利用三角函 数可求得∠OEF 的度数； （3）利用三角形相似或三角函数可求解。 答案：解：（1）证法一： ∵AB、CD 相交于点 O，∴∠AOC=∠BOD， ∵OA=OC，∴∠ OAC=∠OCA= （180°-∠AOC），1 2同理可证：∠ OBD=∠ODB= （180°-∠BOD），1 2∴∠ OAC=∠OBD， ∴AC∥BD． 证法二：B ∵AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，CAO E M FHD∴OB=OD=85 cm，OA OC 3 ? ? ； OB OD 5又∵∠AOC=∠BOD， ∴ △AOC∽△BOD，∴∠ OAC=∠OBD， ∴AC∥BD． （2）在△OEF 中，OE＝OF＝34cm ，EF =32cm； 作 OM⊥EF 于点 M，则 EM=16cm； ∴ cos ?OEF ?EM 16 ? ? 0.471 ， OE 34用科学计算器求得∠OEF=61.9°； （3）解法一：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面． 在 Rt△OEM 中，∴ OM ? OE 2 ? EM 2 ? 342 ? 162 ? 30 cm； 同（1）可证： EF∥BD ，∴∠ABD=∠OEF， 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，则 Rt△OEM∽Rt△ABH， ∴OE OM OM ? AB 30 ?136 ， AH ? ? ? 120cm ． ? OE 34 AB AH∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度 122cm＞晒衣架高度AH=120cm．解法二：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面． 同（1）可证： EF∥BD ，∴∠ABD=∠OEF=61.9°， 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，在 Rt△ABH 中， ∵ sin ?ABD ?AH ， AB∴ AH ? AB ? sin ?ABD ? 136 ? sin 61.9? ? 136 ? 0.882 ? 120.0 cm； ∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度 122cm＞晒衣架高度AH=120cm．点评：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活。背景情境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点 有：平行线的判定、等腰三角形的性质或三角形相似、锐角三角函数 等。题目设置由易到难，体现了对数学建模思想的考察，以及由理论 到实践的原则， 比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和 对知识的应用能力。题目平实、新颖、综合性强。（2012 湖北黄石，22，8 分）如图（9）所示（左图为实景侧视图， 右图为安装示意图） ，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装 支架 AB 和 CD（均与水平面垂直） ，再将集热板安装在 AD 上．为使 集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 1，且在水平线 上的的射影 AF 为 1．4m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 2， 并已知 tan 1＝1．082，tan 2＝0．412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1cm）？【解析】如图所示，过 A 作 AE∥BC 交 CD 于点 E，则所求 CD 转化 为 CE＋DE，而 CE＝AB＝25cm，只要求出 DE，而 DE＝DF－EF， 分别在 Rt△DAF 与 Rt△EAF 中表示出 DF 与 EF． 【答案】如图所示，过 A 作 AE∥BC 交 CD 于点 E，则∠EAF＝∠CBG ＝θ2，D E A Bθ1且 25cmEC＝AB＝C θ2 F………………………2 分 Rt △ DAF 中 ： ∠ DAF ＝ θ1 ， DF ＝AFtanθ1………1 分 Rt△EAF 中：∠EAF＝θ2，EF＝AFtanθ2G∴DE＝DF－EF＝AF(tanθ1－tanθ2) 又∵AF＝140cm， tanθ1＝1．082， tanθ2＝0．412 ∴DE＝140×(1．082－0．412)＝93．8 ∴DC＝DE＋EC＝93．8＋25＝118．8 cm≈119cm 答：支架 DC 的高应为 119cm． 【点评】 本题着重考查了解直角三角形的应用， 难点在于作出辅助线， 将问题转化到直角三角形中及线段和差．（2012 年四川省德阳市，第 6 题、3 分． ）某时刻海上点 P 处有一客 轮，测得灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30°方向，且相距 20 海里.客轮 以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60°方向航行 小时到达 B 处，那么 tan∠ABP= A.1 2 2 3B.2C.5 5D.2 5 5【解析】如图 6 所示，根据题意可知∠APB=90°．且 AP=20, PB=60 × =40. 所以 tan∠ABP=2 3PA 20 1 ? ? ,故选 D． PB 40 2【答案】D 【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解 决本题的关键（2012 连云港，24，10 分） （本题满分 10 分）已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2°方向，且其到 A 观测点正北方向的距离 BD 的长 为 16km。一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的 BC 方 向航行， 15min 后到达 C 处。 现测得 C 处位于Ａ观测点北偏东 79.8° 方向。 求此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长 （精确到 0.1km） . ( 参 考 数 据 ： sin53.2°≈0.80 ， cos53.2°≈0.60 ， sin79.8°≈0.98 ， cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50， 2 ≈1.41， 5 ≈2.24)北DB东C A观测点【解析】过点 B 作 AC 的垂线，把所求线段 AC 换为两线段的差。利 用 Rt△ABH 和 Rt△BCH 求线段 AH、CH 的长，利用 AH－CH 确定 AC 的长。 【答案】BC=40×15 =10. 60在 Rt△ADB 中，sin∠DAB= 所以 AB=DDB , sin53.2°≈0.8。 AB1.6 DB ≈ =20. sin?DAB 0.8BC A观测点H如图，过点 B 作 BH⊥AC，交 AC 的延长线于 H。 在 Rt△AHB 中，∠BAH=∠DAC－∠DAB=63.6°D37°=26.6°， tan∠BAH=BH BH ,0.5= ,AH =2BH. AH AHBH2＋CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4 5 ,,所以 AH=8 5 ， 在 Rt△AHB 中，BH2＋CH2=BC 2，CH= 102 ? 80 ? 2 5 所以 AC=AHDCH=8 5 D2 5 ＝6 5 ≈13.4k. 【点评】本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中，找到直角 三角形利用三角函数求出线段的长。(2012 山东省聊城，22，8 分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈 妈在湖心岛 P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图） ，小船从 P 处出 发， 沿北偏东 60°方向划行 200 米到 A 处， 接着向正南方向划行一段 时间到 B 处.在 B 处小亮观测妈妈所在的 P 处在北偏西 37°的方向上， 这时小亮与妈妈相距多少米（精确到 1 米）？解析：题目相当求线段 PB 长，需要把图形转 化 为解直角三角形来解决，过点 P 作 PC⊥AB 于 C，先解 Rt△APC，求出 PC 长，在解 Rt△PBC 即可求出 PB 长. 解：过点 P 作 PC⊥AB 于 C， 在 Rt△APC 中，AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°. ∴ PC= 200×sin60°=200 × ∵在 Rt△PBC 中，sin37°=3 =100 3 m. 2PC ， PB∴PB=PC 100 ? 1.732 ? ? 289（m） sin 37? 0.60答：小亮与妈妈相距约 289 米.（2012 山东泰安，13，3 分）如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30?，朝物体 AB 方向前进 20 米到达点 C，再次测得 A 点的仰角为 60?，则物体的高度为（）A.10 3 米B.10 米C.20 3 米D.20 3 3【 解 析 】 设 AB 高 为 x 米 ， 在 Rt △ ABD 中 ， ∠ D=30 ? ， 所 以 BD= 3 AB= 3 x， Rt△ABC 中， 在 ∠ACB=60?， 所以 BC= 因为 BD-BC=CD，所以 3 x10 3 米. 【答案】A. 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角 形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的 两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的 长．3 3 AB= x， 3 33 x=20，解得 x=10 3 ，即物体的高为 3（2012 四川成都，17，8 分）如图，在一次测量活动中，小华站在 离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处，仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°， 眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米． 试帮助小华求出旗杆 AB 的高度． (结 果精确到 0.1 米， 3 ? 1.732 )解析：由题意可知，四边形 BCED 是矩形，所以 BC=DE，然后在 Rt△ACE 中，根据 tan∠AEC=AC ,可求出 AC 的长。 EC答案：由题意可知，四边形 BCED 是平行四边形， 所以 CE=BD=6 米，CB=ED=1.5 米 在 Rt△ACE 中，tan∠AEC= 即 tan60°=AC 6 AC EC∴AC= 3 ×6 ? 1.732 ? 6 ? 10.4 (米) ∴AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9（米） 点评：解直角三角形问题时，要选准三角函数并加以应用，是解题的 关键。（2012 贵州贵阳，19，10 分）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏 季洪峰汇成巨瀑时的落差.如图，他利用测角仪站在 C 点处测得∠ ACB=68°,再沿 BC 方向走 80m 到达 D 处，测得∠ADC=34°,求落差 AB.（测角仪高度忽略不计，结果精确到 1m，可以使用计算器）AD 第 19 题图CB解析： 由已知可得△ACD 是等腰三角形，故得 AC=CD=80,在 Rt△ACB 中解直角三角形可求 AB. 解：∵∠ACB=68°, ∠D=34°, ∴∠CAD=68°-34°=34°, ∴∠ CAD=∠D, ∴AC=CD=80. 在 Rt△ABC 中，AB=AC×sin68°=80×sin68°=74, ∴瀑布的落差约为 74m. 点评：解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一，解题 时，首先是根据题意画出图形（已经画图的则需要弄懂图形所表示的 实际意义） ，解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角 形，已知锐角的对边、邻边和斜边．此外还应正确理解俯角、仰角等 名词术语．（2012 浙江丽水，19，6 分）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡 AB 长为 12 米.为方便学生行走，决定开挖小山 坡，使斜坡 BD 的坡比是 1:3（即为 CD 与 BC 的长度之比） ，A，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度 AD.【解析】 ：因为 AD=AC-CD，故欲求 AD，只需先求 AC、CD. 为止可先解直角△ABC，求出 BC，再根据坡比即可求出 CD. 【解】 ：在 Rt△ABC 中，∠ABC=30°， ∴AC= AB=6，BC=ABcos∠ABC=12×1 31 23 =6 3 . 2∵斜坡 BD 的坡比是 1:3，∴CD= BC=2 3 ， ∴AD=AC-CD=6-2 3 . 答：开挖后小山坡下降的高度 AD 为（6-2 3 ）米. 【点评】 ：把应用问题转化为直角三角形问题，再运用直角三角 形的关系进行求解． 利用锐角三角函数解决实际问题中的易错点有三 处, 一是锐角三角函数关系式的选择, 二是特殊角的三角函数值的识 记, 三是计算是否正确.（2012 湖北随州，20,9 分）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游 船上（A 处） ，测得湖西岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰老 君岭（D 处）的仰角都是 45°，游船向东航行 100 米后（B 处） ，测 得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（ 3 ? 1.732 ，结果精确到米） 。解析：设太婆尖高 h1 米，老君岭高 h2 米。可分别在直角三角形中 利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为 AB=100 米， 可建立关于 h1、h2 的方程组，解这个方程D(老君岭)组求得两山峰高度。 答案：设太婆尖高 h1 米，老君岭高 h2 米，依题意，有h1 ? h1 ? tan 30 ? ? tan 45 ? ? 100 ? ? ? h2 ? h2 ? tan 45? ? tan 60 ? ? 100 ?C（太婆尖）45 Eo45o30o60oA第20题图BFh1 ?h2 ?100 ? 50( 3 ? 1) ? 50(1.732 ? 1) ? 136 .6 ? 137 （米） tan 60 ? tan 45??100 100 ? ? ? tan 45 ? tan 30 3 1? 3? 50 3 ( 3 ? 1) ? 50(3 ? 3 ) ? 50(3 ? 1.732 ) ? 236 .6 ? 237 （米）答：太婆尖高度为 137 米，老君岭高度为 237 米。 点评：本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造 直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．（2012 浙江省绍兴，19，8 分）如图 1，某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米，按坡角∠BAC 为 32°. （1）求一楼与二楼之间的高度 BC（精确到 0.01 米） ； （2）电梯每级的水平级宽均是 0.25 米，如图 2.小明跨上电梯时，该 电梯以每少上升 2 级的高度运行，10 秒后他上升了多少米（精确到 0.01 米）？ 备用数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.6249.【解析】 （1） Rt△ABC 中， 在 已知∠BAC=32°， 斜边 AB 的长为 16.50 米 ， 根 据锐 角三角 函 数 的定 义即可 求 得 一楼 与二楼 之 间 的高 度BC． （2）先计算 1 级电梯的高，再根据 10 秒钟电梯上升了 20 级可计算 10 秒后他上升的高度． 【答案】解： （1）∵sin∠BAC=BC ，∴BC=AB×sin32° AB=16.50×0. 米. （2）∵tan32°= 级高级宽 ， ∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.225， ∵10 秒钟电梯上升了 20 级，∴小明上升的高度为：20×0.156225 米. 【点评】 正确地构造出直角三角形， 然后根据直角三角形的性质求解， 是解决此题的关键． （2012 四川省资阳市，20，8 分）小强在教学楼的点 P 处观察对面 的办公大楼．为了测量点 P 到对面办公大楼上部 AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45°， 测得办公大楼底部点 B 的俯角为 60°，已知办公大楼高 46 米，CD＝10 米．求点 P 到 AD 的距离（用 含根号的式子表示） ． [来%~&源#:中教网]AP CM DB（第 20 题图）APN CM D【解析】 于点 N 则 ∠B连结 PA、PB，过点 P 作 PM⊥AD 于点 M；延长 BC，交 PMAPM=45°，∠BPM=60°，NM=10米……………………………1 分 设 PM= x 米 在 Rt△PMA 中， =PM×tan∠APM= x tan45°＝ x（米） AM ……3 分 在 Rt△PNB 中， BN=PN×tan ∠ BPM=( x －10)tan60°＝( x － 10) 3 （米）………5 分[来@源:中国#教育%出版~网] 由AM+BN=4646 ? 10 3 1? 3米 ， 得 x ，+( x － 10)3＝46………………………6 分 解得， x ?∴点 P 到 AD 的距离为46 ? 10 3 1? 3米． （结果分母有理化为?183 ? 8 米也可）………8 分46 ? 10 3 1? 3?【答案】（结果分母有理化为 ?18 3 ? 8? 米也可）【点评】本题综合考查了直角三角形中的三角函数、特殊角的三角函 数值及构造出的方程思想.解决本题的关键是作垂线构造出直角三角 形从而再运用三角函数解题.难度中等.（2012 江苏泰州市，24，本题满分 10 分）如图，一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线上，小李在 P 处测得居民楼顶 A 的仰角为 60°， 然后他从 P 处沿坡角为 45°的山坡上走到 C 处， 这时， PC=30m， 点 C 与点 A 在同一水平线上，A、B、P、C 在同一平面内． （1）求居民楼 AB 的高度； （2）求 C、A 之间的距离． （精确到 0.1m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45）A C45°BP60°（第 24 题图） 【解析】 C 作 BP 的垂线， 过 垂足为 G， 利用特殊 Rt△PCG 和 Rt△ABP 中 的 边 角 关 系 ， 我 们 容 易 计 算 出 CG （ 即 AB ） 的 长 ， 最 后 用 AC=BP+PG，就是 C、A 之间的距离． 【答案】 （1）过 C 作 BP 的垂线，垂足为 G，在 Rt△PCG 中， CG=PCsin450=30×2 =15 2 ，所以 AB=15 2 =21.2（m） 2 2 15 2 ? 5 6 ，所以 C、A =15 2 ，BP= 2 3（2）PG= PCcos450=30×之间的距离=BP+PG=15 2 +5 6 =33.5（m） 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角 三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的 综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易 出错的地方是近似值的取舍.（2012 四川内江，18，9 分）水务部门为加强防汛工作，决定对某 水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 ABCD．如图 9 所示，已知 迎水坡面 AB 的长为 16 米， ∠B＝60°， 背水坡面 CD 的长为 16 加固后大坝的横截面为梯形 ABED，CE 的长为 8 米． （1）已知需加固的大坝长为 150 米，求需要填土石方多少立方 米？ （2）求加固后大坝背水坡面 DE 的坡度．3 米，ADB 图9CE【解析】 （1）求出横截面△DCE 的面积，然后乘以坝堤长度即可 得出体积．可以分别过点 A，D 作 BC 边上的高将问题转化为解直角 三角形问题． （2）求大坝背水坡面 DE 的坡度就是求坡面 DE 上一点 到 BE 的铅直高度与它到点 E 的水平宽度的比， 这一点通常取梯形的 顶点． 【答案】解： （1）过点 A 作 AG⊥BC 于 G，过点 D 作 DH⊥BC 于 H， ∴AG＝DH． 在 Rt△ABG 中，AG＝sin60°?AB＝ ∴DH＝83． 3 ×8＝32 3 .3 2×16＝83，∴S△DCE＝ 1 ?DH?CE＝ 1 ×82 2∴需要填土石方 323 ×150＝4800 3 (m3)．（2）在 Rt△DHC 中，HC＝DC 2 ? DH 2＝(16 3) 2 ? (8 3) 2＝24，∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32． ∴加固后大坝背水坡面 DE 的坡度＝ DH ＝ 8HE3 32＝3 4．ADBGHCE【点评】解直角三角形是每年中考必考知识点之一，主要考查直 角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查学生应用知识解决问题的能力，很容易上手，本 题容易出错的地方是不理解坡度的概念， 认为求坡度是求∠E 的度数．（2012 湖南益阳，17，8 分）超速行驶是引发交通事故的主要原因 之一． 上周末， 小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速， 如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为 30 米．这 时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用 的时间为 8 秒，∠BAC=75°． （1）求 B、C 两点的距离； （2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米／小时的限制 速度？ （ 计 算 时 距 离 精 确 到 1 米 ， 参 考 数 据 ： sin75°≈0.9659 ， cos75°≈0.2588， tan75°≈3.732，3 ? 1.732 ，60千米／小时≈16.7 米／秒）【解析】第（1）小题主要考查正切的用法，BC BC ? AC tan?BAC ? 30 ? tan75? ? 30 ? 3.732 ? 112(米)． AC 112 ? 14 (米 ／秒) &16.7 (米／秒) 第（2）小题主要是计算此车的车速 8 tan?BAC==60(千米／小时) 【答案】解：⑴法一：? 在 Rt△ABC 中 ，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC =30，∴BC=AC?tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈ 112(米)．…………………5 分 法二 ：在 BC 上取一点 D，连结 AD，使∠DAB=∠B， 则 AD=BD， ∵∠BAC=75°，D∴ ∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°， 在 Rt△ACD 中 ，∠ACD=90°，AC =30， ∠CDA=30°， ∴ 分 ⑵ ∵此车速度=112÷8=14(米 ／秒) &16.7 (米／秒) =60(千米 ／小时) ∴此车没有超过限制速度． 【点评】本题以实际生活中的例子为背景，综合考查了考生正切的用 法，速度的计算方法和单位换算。解法二辅助线的添加成为部分学生 的一大难题,方法二中的辅助线 AD 的添法是关键,就这辅助线就可以 将中下层次的学生拒之题外.难度较大.一般考生用方法一比较适合。AD=60， = 30 CD3 ， =60+ 30 3 ≈112(米) BC………………5（2012 江苏盐城，24，10 分）如图所示，当小华站立在镜子 EF 前 A 处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为 450 ：如果小华向后退 0.5 米到 B 处， 这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为 300 .求小华的 眼睛到地面的距离。 （结果精确到 0.1 米，参考数据： 3 ? 1.732）.第 24 题图【解析】本题考查了解直角三角形有关知识．掌握直角三角形边角关 系是解题的关键.在 Rt△ACA1 中，由条件可求表示出 AA1 的长；而在 Rt△DBB1 中，由条件可表示出 BB1 的长，最后由 BB1- AA1= 列出 方程解决问题. 【答案】设 AC=BD=x，在 Rt△ACA1 中，∠AA1C=450，∴AA1=x，在 Rt△DBB1 中，BB1= 得：x=1 1 1 1 1 1 x = 3x ，又∵ BB1- AA1= ,即 × 3x - x= ，解 0 2 2 2 2 2 2 tan 30 1 2 1 2 1 23 ?1 ≈1.4（米） ． 2【点评】这是一道常规的三角函数应用题，主要考查利用三角函数相 关知识解决实际问题的能力，本题不能直接通过计算求解，需要列方 程求解，但应注意结果的精确要求.第二十九章 解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角 29.2 三角函数的有关计算 解直角三角形的应用 29.1 解直角三角形的应用――航行问题 29.2 解直角三角形的应用――测量物体高度问题 （2012 山东省滨州，10，3 分）把△ABC 三边的长度都扩大为原来 的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（ A．不变 D．不能确定 B．缩小为原来的1 3） C．扩大为原来的 3 倍【解析】 因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与 原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数 值也不变． 【答案】选 A． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有 关，与角的边没有关系．（2012 湖南衡阳市，20，3）观察下列等式 ①sin30°= ②sin45°= ③sin60°= cos60°= cos=45°= cos30°= ．根据上述规律，计算 sin2a+sin2（90°a）=解析：根据①②③可得出规律，即 sin2a+sin2（90°a）=1，继而可得 出答案． 答案： 解：由题意得，sin230°+sin2（90°30°）=1； sin245°+sin2（90°45°）=1； sin260°+sin2（90°60°）=1； 故可得 sin2a+sin2（90°a）=1． 故答案为：1． 点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据 题意总结，另外 sin2a+sin2（90°a）=1 是个恒等式，同学们可以记 住并直接运用．(2012 广安中考试题第 7 题，3 分)如图 2，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ，堤坝高 BC=50m，则迎水坡面 AB 的长度是 （ A ）图2A．100mB．100 3 mC．150mD．50 3 m思路导引：注意坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切 值，注意锐角三角函数在解直角三角形问题中的灵活运用； 解 析 ： tan ∠ BAC= BAC=1 1 ， 因 此 ∠ BAC=30°,sin ∠ BAC= , sin ∠ 2 3BC ,AB=2BC=100 AB点评：在解直角三角形问题中，注意三个内角与三边的平方关系的灵 活运用 B．用科学计算器计算： 7 sin 69? ? （精确到 0.01）． 【解析】利用科学计算器可得： 7 sin 69? ? 2.470 ? 2.47 【答案】2.47 【点评】主要考查利用科学计算器进行计算，应注意精确要求.难道较小.（2012，黔东南州，11）计算 cos60 ?= 解析： cos60 ?= 答案：1 2 1 2点评： 本题考查了特殊角的三角函数值， 属于记忆类题目， 难度较小.（2012 甘肃兰州，1，4 分） sin60°的相反数是（ A. ?? 2 2） D.1 2B. ?3 3C. ?3 2解析：根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可．sin60° =3 3 ，相反数是 ? ，故选 C． 2 2答案：C 点评：本题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记 并熟练运用．（2012 湖北武汉，13，3 分）计算：tan60°＝．解析：特殊角的三角函数需要学生记忆，如果部分学生记不住，也可 以通过画图寻找。 答案： 3 ．点评：本题在于考察特殊角的三角函数，学生可以将几个特殊角 的三角函数加以记忆，也可以通过画图寻找，难度低．(2012 贵州黔西南州，7，4 分)兴义市进行城区规划，工程师需测某 楼 AB 的高度，工程师在 D 处用高 2m 的测角仪 CD，测得楼顶端 A 的仰角为 30°，然后向楼前进 20m 到达 E，又测得楼顶端 A 的仰角 为 60°，楼 AB 的高度为( A．(10 C．(5 3＋2)m 3＋2)m )． 3＋2)m 3＋2)mB．(20 D．(15【解析】设过 C 点的平行线与 AB 交于点 G．求 AB 的高度，关键是 求出 AG 的长． 设 AG=x，由题意知∠ACG=30°，∠AFG=60°，则∠CAF=30°=∠ACF， 所以 CF=AF． 在 Rt△AFG 中，∠AGF＝90°，CF=AF= = Sin60° AG x 2 3x = =20，解得 3 32 x=10 3． 3＋2．楼 AB 的高度为(10 3＋2)米．所以，AB=10 【答案】A．【点评】本题考查三角函数似的实际应用，特别掌握 30°、45°、60° 角的三角函数值，当图形中出现这些角的时候，要能够寻找或构造含 有这些特殊角的直角三角形解题． 解题思路：（2012?哈尔滨，题号 5 分值 3）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=900， AC=4，AB=5，则 sinB 的值是( (A)2 3)．(B)3 5(C)3 4(D)4 5【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形 中，锐角的正弦等于对边比邻边，故 sinB= ,选 D. 【答案】D 【点评】解直角三角形是历年中考中的重要内容，考题灵活多变，考 查方法多种多样, 本题要求同学们掌握锐角三角函数的定义，并能熟 练地根据它们与直角三角形的三边关系求直角三角形的锐角三角函 数值4 5（2012 陕西 11，3 分）计算： 2cos 45?　 8+ ?1- 2 ? = ． -30【解析】原式 =2 ? 【答案】 -5 2+12 -3 ? 2 2+1=-5 2+1 2【点评】本题考查了特殊角度的三角函数值与实数的运算.难度较小. （2012 湖北咸宁，12，3 分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高 为 18cm，深为 30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台B 30 C 18 A （第 12 题）阶的起点为 A，斜坡 cm．的起始点为 C ，现设计斜坡 BC 的坡度 i ? 1:5 ，则 AC 的长度是 【解析】如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，依题意可求得 AD＝60cm， BD＝54cm；由斜坡BC 的坡度 i＝1：5，求得 CD＝270cm，故 AC＝CD－AD＝270－60 ＝210（cm）． 【答案】210 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度 适中，注意掌握坡度的定义、数形结合思想的应用与辅助线的作法．（2012， 湖北孝感， 3 分） 14， 计算： 245°+tan30°?sin60°=________． cos 【解析】分别把 cos45°= 代入进行计算即可． 【答案】1 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算2 2的值，tan30°=3 3的值，sin60°=3 2的值在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．牢记特殊角的三角 函数值是解题的关键．（2012 河南，20，9 分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣 传条幅，如图所示，一条幅从楼顶 A 处放下，在楼前点 C 处拉直固 定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D 处测得楼顶 A 点的 仰角为 31°，再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处，测得点 A 的仰角为 45°，已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米， ?ABD ? 90? ,请根据以上数据 求 条 幅 的 长 度 （ 结 果 保 留 整 数 . 参 考 数 据 ：tan31? ? 0.6,sin31? ? 0.52,cos31? ? 0.86 ）解析：在 Rt△ABC 中，已知 BC=7，而不知角度，显然要用勾股定理， Rt△AEB 是等腰直角三角形， AB=BE， 利用 Rt△ABD， 能求出 AB 边， 从而利用勾股定理求出 AC 的长. 解：设 AB ? x 米，∴ ?AEB ? 45? , ?ABE ? 90?.? BE ? AB ? x 在 Rt△ABD 中， tan ?D ? ∴x?16 tan 31? 16 ? 0.6 ? ? 24. 1 ? tan 31? 1 ? 0.6AB x , 即 tan 31? ? . BD x ? 16即 AB ? 24 (米) 在 Rt? ABC 中 AC ? BC 2 ? AB 2 ? 72 ? 242 ? 25即条幅的长度约为 25 米. 点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有 一个是边） ，就能求出其余的边和角. 有时题目中一个直角三角形所 给条件只有一个，需要有两个直角三角形联立才可.（2012湖北黄冈，23，8）新星小学门口有一直线马路，为方便学生 过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为4米， 为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有 一旅游车在路口遇红灯刹车停下， 汽车里司机与斑马线前后两端的视 角分别为∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为0.8 米， 试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平 行于斑马线的同一直线上.) (参考数据：tan15°=2- 3 ，sin15° =6? 2 6? 2 cos15°= 4 43 ≈1.732， 2 ≈1.414）【解析】求出 CD 长与 2m 比较即可.但 CD 不可直接求出，可在 Rt△ABD 和 Rt△ABE 中利用 30°和 15°角的正切值用 AB 的代数式表示 出 BD、 BE，再列方程求解. 【答案】解：设 AB=x，在 Rt△ABD 中，∠ADB=∠FAD=30°，∴BD =3x在 Rt△ABE 中，∠AEB=∠FAE=15°，tan15°= AB ，BE∴ BE=x ? 2? 3 x 2? 3??∴ ED=BE-DB= ? 2 ? 3 ? x - 3 x =4 ∴x=2，BD=2 3 ， ∴DC=DB-BC=2 3 -0.8＞2 ∴该车路口停车符合规定的安 全标准. 【点评】本题是常规的解直角三角形应用题，解题关键是利用方程思 想先求出相关的量.难度中的.（2012?湖北省恩施市，题号 21 分值 8）新闻链接，据【侨报网讯】 外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。 2012 年 5 月 18 日，某国 3 艘 5 条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310” 船人船未歇立即往北纬 11 度 22 分、 东经 110 度 45 分附近海域护渔， 保护 100 多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的 船正疾速驰救，立即掉头离去。解决问题 如图 10，已知“中国渔政 310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令 时， （C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“310”船西南方向，“310”船位于陆地指挥中心南偏东 60°方向，AB=140 6 海里，“中国渔政 3310”船最大航速 20 海里/时。根以上信息，请你求出“中国渔政 310” 船赶往出事地点需要多少时间。 【解析】 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， Rt△ABD 中利用锐角三角函数 在 的定义求出 AD 的值，同理在 Rt△ADC 中求出 AC 的值，再根据中国 渔政 310”船最大航速 20 海里/时求出所需时间即可． 【答案】 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， Rt△ABD 中， 解： 在 ∵AB= ∠B=60°， ∴AD=AB?sin60°=70 2 ，在 Rt△ADC 中，AD=70 2 ，∠C=45°，∴ AC= 2 AD=140，∴“中国渔政 310”船赶往出事地点所需时间为 140÷ 20=7（小时）。 答：“中国渔政 310”船赶往出事地点需要 7 小时．140 6 ， 3【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意 作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答 此题的关键． 解双直角三角形，如果两个三角形中有一个能解，则直接解此三角形为解另一个三角形提供条件，如果两个三角形都不能直接解，一般 设出两三角形公共边列方程求解。（2012 甘肃兰州，22，6 分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的 安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角 为倾角 ? ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2）， 设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角 ?1 减至 ? 2 ，这样楼? ? 梯占用地板的长度由 d1 增加到 d2 ， 已知 d1=4 米， ?1 ? 40? ， ? 2 ? 36? ，楼梯占用地板的长度增加了多少米？ （计算结果精确到 0.01 米。 参考数据： tan40°=0.839， tan36°=0.727）第 22 题图d2解析：根据在 Rt△ACB 中，AB=d1tanθ1=4tan40°，在 Rt△ADB 中， AB=d2tanθ2=d2tan36°，即可得出 d2 的值，进而求出楼梯占用地板增 加的长度．解：由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2 在 Rt△ACB 中，AB=d1tanθ1=4tan40°， 在 Rt△ADB 中，AB=d2tanθ2=d2tan36°， 得 4tan40°=d2tan36°，4 tan 40? ∴d2= ≈4.616， tan 36?∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62， 答：楼梯占用地板的长度增加了 0.62 米． 点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角 三角形，进而利用锐角三角函数得出 d2 的值是解题关键．（2012 贵州遵义，21, 分）为促进我市经济的快速发展，加快道路 建设，某高速公路建设工程中需修隧道 AB，如图，在山外一点 C 测 得 BC 距离为 200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道 AB 的长． （参 考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， ≈1.73，精确 到个位）解首先过点 C 作 CD⊥AB 于 D，然后在 Rt△BCD 中，利用三角函数的知识，求得析： BD，CD 的长，继而在 Rt△ACD 中，利用∠CAB 的正切求得 AD 的长，继而求 答案．答解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，案： ∵BC=200m，∠CBA=30°， ∴在 Rt△BCD 中，CD= BC=100m，BD=BC?cos30°=200× ∵∠CAB=54°， 在 Rt△ACD 中，AD= ≈ ≈74（m） ， =100≈173（m∴AB=AD+BD=173+74=247（m） ． 答：隧道 AB 的长为 247m．点此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注评： 把实际问题转化为数学问题求解．（2012，湖北孝感，7，3 分）如图，在塔 AB 前得平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为 30°，从 C 点向塔底 B 走 100 米到达 D 点，测出看塔顶的仰角为 45°，则塔 AB 的高为（ A． 50 D．3米） ．100 3 ?1B． 1003米C米100 3 ?1米【解析】根据题意，有∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠ABC=90°，所以BD=AB，于是在 Rt△ACB 中， tan30°= AB ， 由 得BC3 AB ? 3 100 ? AB， 解得 AB=100 3 ?1． 错误！未找到引用源。 【答案】D 【点评】本题考查仰角的定义和解直角三角形的应用，关键是能借助 仰角结合图形利用三角函数解直角三角形． （1） （2012 呼和浩特，17，5 分） （5 分）计算： 【解析】三角函数、绝对值、乘方 【答案】1 ? |1 ? 2 | ?2?1 sin 45? 1 ? |1 ? 2 | ?2?1 sin 45??1 2 2? ( 2 ? 1) ?1 2? 2 ? 2 ?1? ? 3 21 2【点评】 本题考查了 45°正弦函数值， 绝对值的化简以及乘方的运算。（2012 湖南衡阳市， 24， 如图， 6） 一段河坝的横截面为梯形 ABCD， 试根据图中数据，求出坝底宽 AD． （i=CE：ED，单位：m）解析：作 BF⊥AD 于点于 F，在直角△ABF 中利用勾股定理即可求得 AF 的长，在直角△CED 中，利用坡比的定义即可求得 ED 的长度， 进而即可求得 AD 的长． 答案：解：作 BF⊥AD 于点 F．则 BF=CE=4m， 在直角△ABF 中，AF= = =3m， =4 m．在直角△CED 中，根据 i= ，则 ED= = 则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4 （7.5+4 ）m． =（7.5+4）m．答：坝底宽 AD 为点评：本题考查了坡度坡角的问题，把梯形的计算通过作高线转化成 直角三角形的计算是解决本题的基本思路．（2012 呼和浩特，22，6 分）如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙 两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用 自制测角仪在 B 处测得 D 点的仰角为α， A 处测得 D 点的仰角为β。 在 已知甲、乙两建筑物之间的距离 BC 为 m。请你通过计算用含 α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。【解析】三角函数 【答案】 解：过点 A 作 AM⊥CD 于 M 在 Rt△BCD 中，tanα= ∴CD=BC?tanα=m tanαDM 在 Rt△AMD 中，tanβ= AM CD BC甲 α B C A β M D乙∴DM=AM?tanβ=m tanβ ∴AB=CDCDM=m(tanαCtanβ) 【点评】本题考查了锐角三角函数的运用，利用含有字母和三角函数 的式子表示线段的长。（2012?湖南省张家界市?21 题?8 分））黄岩岛是我国南海上的一个 岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如 图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15 千米，CD= 3 2 千米，请 据此解答如下问题： （1） 求该岛的周长和面积 （结果保留整数， 参考数据 2 ≈1.4143 ? 1.73 6 ? 2.45 ）（2） 求∠ACD 的余弦值.ADB C【分析】（1）解 Rt△ABC 及 Rt△ACD 求出 AC、AD 即可求周 长；（2）利用余弦定义求解. 【解答】（1）结 AC，∵AB=BC=15 千米，∠B=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=15 2 千米. 又∵∠D=90°， ∴AD= AC 2 ? CD 2 ? (15 2 ) 2 ? (3 2 ) 2 =12 3 （千米） ∴ 周 长 =AB+BC+CD+DA=30+3 2 +12 3 =30+4.242+20.784 ≈ 55（千米）. 面积=S△ABC+S△ADC= ×15×15+ ×12 3 ×3 2 = （平方千米）. （2）cos∠ACD=CD 3 2 1 ? ? . AC 15 2 51 21 2225 +18 6 ≈157 2【点评】解直角三角形时，如果已知两边，通常先根据勾股定理 求出第三边，再根据三角函数求出其中的一个锐角，最后再利用两锐 角互余求出另一个角.如果已知锐角和一边在解直角三角形时，先由 两锐角互余，求出另一个锐角，然后利用恰当的三角函数求出另外两 条边，或者利用三角函数求出另一条边后，再利用勾股定理求出第三 边.如果是非直角三角形通常是添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题．（2012 珠海，16，7 分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干 DO （不计粗细）上有两个木瓜 A、B（不计大小），树干垂直于地面， 量得 AB=2 米，在水渠的对面与 O 处于同一水平面的 C 处测得木瓜 A 的仰角为 45°、 木瓜 B 的仰角为 30°.求 C 处到树干 DO 的距离 CO. （结果精确到 1 米）（参考数据：D A B3 ? 1.73, 2 ? 1.41）C 第16题图O【解析】如图,根据题意,得∠COD＝90°, ∠ACO＝45°, ∠BCO＝30°, AB＝2,求 CO.设 CO 为 x 米, 根据 AO＝CO,列方程,解得即可. 【答案】解:设 CO 为 x 米 在 Rt△BCO 中,tan30°＝3 BO ,则 BO＝ x 3 CO 3 x ＋2＝x 3在 Rt△ACO 中,AO＝CO,得方程 解得 x≈5.答: CO 长大约是 5 米.【点评】本题考查锐角三角函数的应用, 此类题适用方程来解.（2012 云南省，20 ，6 分）如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30o ，荷塘另一端 D 与点 C、B 在同一条直线 上 ， 已 知 AC ? 32米 ， CD ? 16米 ， 荷 塘 宽 BD 为 多 少 米 ？ （ 取 求3 ? 1. 7 3 ,结果保留整数）【解析】本题主要考查正切的用法， 在 Rt? ACB 中： tan?ABC=BC ? AC ? tan?BAC ? 30 ? tan30? ? 30 3AC BCBD ? BC ? CD ? 32 3 ? 16 ? 32 ?1.73 ? 16 ? 39【答案】解：在 Rt? ABC 中：tan?ABC= AC BCtan30? ? 30 3BC ? AC
tan?BAC ? 30BD ? BC ? CD ? 32 3 ? 16 ? 32 ?1.73 ? 16 ? 39答：荷塘宽 BD 为 39 米。 【点评】本题以实际生活中的例子为背景，综合考查了考生正切的用 法，线段的加减。（2012 江苏省淮安市，24，10 分）如图，△ABC 中，∠C=90?，点D 在 AC 上，已知∠BDC=45?，BD=102 ，AB=20．求∠A的度数．【解析】先根据锐角三角函数的定义，在 Rt△BDC 中求出 BC 的值， 再在 Rt△ABC 中利用特殊角的三角函数值即可求出∠A 的度数． 【答案】解：在 Rt△BDC 中，因为 sin∠BDC= 所以 BC=BD×sin∠BDC=102 ×sin45?=10 2 ×BC ， BD2 2=10．在 Rt△ABC 中，因为 sin∠A= BC = 10 = 1 ，所以∠A=30?．AB 20 2【点评】本题考查的是解直角三角形问题，涉及到锐角三角函数的定 义及特殊角的三角函数值，难度适中．解题的关键是选择正确的边角 关系解直角三角形．（2012 山东省青岛市，20，8） 分）如图，某校教学楼 AB 的后 （8 面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时，教学楼在建筑物 的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45°时，教学 楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离（B、F、C 在一 条直线上） ⑴求教学楼 AB 的高度； ⑵学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离（结 果保留整数）.3 15 2 （参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ） 8 16 5 【解析】 （1）过点 D 作 DM⊥AB，若假设 AB=x 米，可表示出 AM、 ME 的长，然后在 Rt△AEM 中，利用 22°正切建立关系式来解.（2） 根据（1）求出 ME 的长，再 Rt△AME 中，可求得ＡＥ之间的距离. 【答案】解：⑴过点 E 作 EM⊥AB，垂足为 M.设 AB 为 x. Rt△ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13在 Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°= AM ， ME x-2 2 = ，x=12.即教学楼的高 12m. x+13 5 ⑵由（1）可得 ME=BC=x+13=12+13=25.在 Rt△AME 中，cos22°=ＭＥ ， ＡＥ ∴ＡＥ＝ ＭＥ ｃｏｓ２２° ≈ ２５ １５ １６ ｍ． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键． ≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７（2012，黔东南州，22）如图，一艘货轮在 A 处发现其北偏东 45? 方向有一海盗船，立即向位于正东方向 B 处的海警舰发出求救信号， 并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货 轮 200 海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西 60?方向的 C 处。 （1）求海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离。 （2）若货轮以 45 海里/时的速度向 A 处沿正东方向海警舰靠拢，海 盗以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截： 问海警舰 的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）D解析： （1）要求 C 到 AB 的距离，可以过点 C 作 AB 的垂线 CD，然 后通过 CD 的长分别表示出 AD 和 BD 的长， 再根据 AB=200，即可求出 CD 的长.（2） 解： （1）如图所示，过点 C 作 AB 的垂线 CD，设 CD 的长为 x ,那么 可知：? ?CAD ? 90 ? ? 45 ? ? 45 ? ,? 在Rt?ACD中，AD ? CD ? x ，? ?CBD ? 90 ? - 60 ? ? 30 ? ,? 在Rt?CBD中, tan 30 ? ?CD x ? BD BD? BD ?x 3 3? 3x ；? x ? 3 x ? 200 ；?x ?200200 ( 3 - 1） 200 3 - 1 ? ? ? 100 3 - 100 （海里）. 2 3 ? 1 （ 3 ? 1）（ 3 - 1）??（2）设海警舰的速度应为 x 才能抢在海盗之前去救货轮. 海盗从 C 点到 D 点所用的时间为：100 3 ? 100 ? 2 3 ? 2(时） 50海警舰要抢在海盗之前去救货轮，则 (2 3 ? 2) x ? 3 ? (100 3 ? 100 )? x ? 50 3答：(1) 海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离为 (100 3 ? 100 ) 海 里 （2） 海警舰的速度应为 50 3 海里/时才能抢在海盗之前去救货 轮. 点评： 本题考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力以及利用方 程思想求值的能力，在解直角三角形的过程中，作垂线构造直 角三角形是常用的方法，这就要求学生不仅要会读题， 还要 会看图，在解方程的过程中，还用到了分母有理化的思想，难 度中等.(2012 江苏苏州，26，6 分)如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即 ∠BAC）为 30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用 阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE． 请讲下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米， （ 参考数据： ≈1.732） ． （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即∠BEF）不大于 45°，则平台 DE 的长最多为 11.0 米；（2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG=27 米） ，小明 在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即∠HDM）为 30°．点 B、C、A、 G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG， 问建筑物 GH 高为多少米？分（1）根据题意得出，∠BEF 最大为 45°，当∠BEF=45°时，EF析： 最短，此时 ED 最长，进而得出 EF 的长，即可得出答案； （2）利用在 Rt△DPA 中，DP= AD，以及 PA=AD?cos30°进而 得出 DM 的长，利用 HM=DM?tan30°得出即可． 解 解： （1）∵修建的斜坡 BE 的坡角（即∠BEF）不大于 45°，答： ∴∠BEF 最大为 45°， 当∠BEF=45°时，EF 最短，此时 ED 最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30， ∴BF=EF= BD=15， DF=15 ， 1）≈11.0；故：DE=DFEF=15（（2）过点 D 作 DP⊥AC，垂足为 P． 在 Rt△DPA 中，DP= AD= ×30=15， PA=AD?cos30°= ×30=15 ． +27，在矩形 DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15 在 Rt△DMH 中， HM=DM?tan30°= ×（15 +27）=15+9 ．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物 GH 高为 45.6 米．点此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角评： 三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．（2012 南京市，14，2）如图，将 45°的∠AOB 按下面的方式放置在 一把刻度尺上：顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点 B 在B 1 O 2 C 3 4 A尺上的读书恰为 2 厘米，若按相同的方式将 37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺 上沿的交点 C 在尺上的读数为 厘米.（结果精确到 0.1 厘米，参考数据 sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75） 解析：由于∠AOB=45°，B 点读书为 2 厘米，则直尺的宽为 2 厘米， 解直角三角形得点 C 的读数为 2÷tan370≈2÷0.75≈2.7 厘米. 答案：2.7 点评：将问题转化到直角三角形中，利用三角函数求得相应结果.(2012 广安中考试题第 17 题，5 分)计算：18 2 ? (? ) ? cos45o+ 3?1 2 3；思路导引：题目中有二次根式的最简二次化简，负数的相反数计算， 特殊角的三角函数值以及负指数， 分别运用相关的性质进行计算， 并合并求解 解析：18 2 ? (? ) ? cos 45? ? 3?1 2 3=3 2 2 2 1 ? ? ? = 2 ?1 2 3 2 3点评：实数的混合运算，注意题目联系的知识点的综合运用(2012 广安中考试题第 23 题，8 分)（8 分）如图 10，2012 年 4 月 10 日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在 A 地侦察发现，在南偏东 60o 方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中 国渔民。此时，C 地位于中国海监船的南偏东 45o 方向的 10 海里处， 中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地救援我国渔民，能不能 及时赶到？（ 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45）图 10思路导引： 构造直角三角形， 便于运用题目中的特殊角的三角函数值， 解直角三角形问题 解析：如图过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，根据题意得 出 ∠DAC=45°，∠DAB=60°， ∵AD⊥BC，∴sin∠DAC= 即是 tan45°= ∵tan60°=CD AD BD ，cos∠DAC= ，cos∠DAC= , AC AC AD2 CD AD ,CD=10, cos45°= ,AD=10× = 5 2 , 2 10 10BD ∴BD= 5 2 × 3 = 5 6 5 2∴BC= 5 6 － 5 2 ≈5.20（海里）， 中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地所需时间是10 1 ? （时） ， 30 3某国军舰以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地所需时间是5.20 2 = （时）， 13 5 2 1 因为 ＞ ，所以中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C， 3 5能及时救援我国渔民. 点评：结合图形信息解直角三角形问题，注意转化方法的运用，即是 构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式，进 行有关线段以及角度计算，多个数据注意按照某种要求比较其大小， 得出问题的答案.（2012 深圳市 11 ，3 分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的 影子恰好落在地面和一斜坡上，如图 3，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米，已知斜坡的坡角为 30? ，同一时刻，一根 长为 1 米、 垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米， 则树的高 度为（ A. 10 米 【解析】：本题主要考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定 及性质，可根据题意正确添加辅助性，构造基本图形求解 【解答】：如图 3―1，根据坡角易求树的下半部分的高为 2 米，树 的上半部分所在直角三角形的水平距离为 (8 ? 2 3 ) 米， 由两 ）(6 ? 3 ) 米B.12 米C(4 ? 2 3 ) 米D.个直接三角形相似易求树的上半部分高度为 (4 ? 3 ) 米，知 树的高度为 (6 ? 3 ) 米，选择 A 【点评】：要熟悉教材。北师大版八年级下学期课本中，对如何求旗 杆的高度有三个基本模型，掌握这三个基本图形，是求解 的关键。 30°图31 2图 3-1（2012 年吉林省，第 20 题、7 分．）如图，沿 AC 方向开山修一条 公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点 E 同时施工．从 AC 上的一点 B 取∠ABD=127°，沿 BD 方向前进，取∠BDE=37°，测 得 BD=520m，并且 AC,BD 和 DE 在同一平面内． （1）施工点 E 离 D 多远正好能使 A,C,E 成一直线 （结果保留整数） ； （2）在（1）的条件下，若 BC=80m,求公路 CE 段的长（结果保留 整数） （参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【解析】 （1） 如果点 A, B, C,E 在同一条直线上时， ∠ABD 就是△BDE 的外角，就能确定△BDE 是直角三角形，根据三角函数即可求出 DE 的长． （2）在 Rt△BDE 中，BD=520,∠BDE=37°可以求得 BE 的长，从而 求出 CE 长． 【答案】 （1）∵点 A,B,C,E 在同一条直线上， ∴∠ABD=∠BDE+∠AED ∴∠AED=127°-37°=90°． ∴cos∠BDE=DE BDDE=BDcos37° DE=520×0.80 DE≈416 ∴施工点 E 离 D 点为 416m 时，A,C,E 成一直线 (2)在 Rt△BDE 中，BD=520,∠BDE=37 ∴sin∠BDE=BE BD∴BE=BDsin∠BDE ∴BE=520×0.6DE≈312 ∴CE=312-80 CE=232. ∴公路 CE 段的长为 232m. 【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．解题的关键是把实际 问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．（2012 山西，23，9 分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞 机预测量一岛屿两端 A．B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为 100 米的点 C 处测得端点 A 的俯角为 60°， 然后沿着平行于 AB 的方向水 平飞行了 500 米， 在点 D 测得端点 B 的俯角为 45°， 求岛屿两端 A． B 的距离（结果精确到 0.1 米，参考数据： ）【解析】解：过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形 ABFE 为矩形． ∴AB=EF，AE=BF． 由题意可知：AE=BF=100 米，CD=500 米．…2 分 在 Rt△AEC 中，∠C=60°，AE=100 米．∴CE===（米） …4 分 ．在 Rt△BFD 中，∠BDF=45°，BF=100． ∴DF= = =100（米） ．…6 分 ≈600 ×1.73≈600∴AB=EF=CD+DFCE=500+100 57.67≈542.3（米） ． …8 分答：岛屿两端 A．B 的距离为 542.3 米．…9 分【答案】542.3 米 【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰 俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可， 解 决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉 的特殊图形进行计算．难度中等．（2012 山东东营，22，9 分）如图某天上午 9 时,向阳号轮 船位于 A 处， 观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5°， 轮船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶， 下午 2 时该船到 达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西B36.9°C P 67.5° A36.9°方向，求此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离？（参 考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈3 5 3 4（第 22 题图） 12 12 ，tan67.5°≈ ） 13 5【解析】过点 P 作 PC⊥AB，构造直角三角形，设 PC=x 海里，用含有 x 的式子表示 AC，BC 的值，从而求出 x 的值，再根据 三角函数值求出 BP 的值即可解答． 【答案】过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C，设 PC=x 海里．在 Rt△APC 中，∵tan∠A=PC PC PC 5x ，∴AC= ．在 Rt△PCB 中，∵tan∠B= ， ? AC BC tan 67.5? 12 x 4x 5x 4 x ∴BC= ． ∵AC ＋ BC=AB=21×5 ， ∴ ? ? 21? 5 ， 解 得 ? tan 36.9? 3 12 3 PC PC 60 5 ，∴ PB ? x ? 60 .∵ sin ?B ? ? ? 60 ? ? 100 （海里）．∴向 PB sin ?B sin 36.9? 3阳号轮船所处位置 B 与城市 P 的距离为 100 海里． 【点评】 本题考查方位角、 直角三角形、 锐角三角函数的有关知识． 解 一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题， 解决的方法 就是作高，构造直角三角形．(2012 广东汕头， 7 分)如图， 20， 小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα= ， 在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6°，求小 山岗的高 AB （结果取整数： 参考数据： sin26.6°=0.45， cos26.6°=0.89， tan26.6°=0.50） ．分首先在直角三角形 ABC 中根据坡角的正切值用 AB 表示出 BC，析： 然后在直角三角形 DBA 中用 BA 表示出 BD，根据 BD 与 BC 之间的关系列出方程求解即可． 解 解：∵在直角三角形 ABC 中， =tanα= ，答： ∴BC= ∵在直角三角形 ADB 中， ∴ =tan26.6°=0.50 即：BD=2AB ∵BDBC=CD=200 ∴2AB AB=200 解得：AB=300 米， 答：小山岗的高度为 300 米． 点 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中评： 整理出直角三角形并求解．（2012 山东莱芜， 20，9 分）某市规划局计划在一坡角为 16°的斜 坡 AB 上安装一球形雕塑， 其横截面示意图如图所示.已知支架 AC 与 斜坡 AB 的夹角为 28°，支架 BD⊥AB 于点 B，且 AC、BD 的延长线 均过⊙O 的圆心，AB=12cm，⊙O 的半径为 1.5m,求雕塑最顶端到水 平地面的垂直距离.（结果精确到 0.01m） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7)【解析】过点 O 作水平地面的垂线，垂足为 E. 在 RT△AOB 中，cos∠OAB= 所以 OA =12 12 ? ? 13.3333 cos 28 ? 0.9AB AB 12 ,即 cos28°= = OA OA OA因为∠EAB=16°， 所以∠OAE=28°+16°=44°. 在 RT△AOＥ中，sin∠OAE ?OE OE ,即 sin44° ? OA 13 .3333所以 OE ? 13.3333 ? 0.7 ? 9.3333 m 9.=10.83（米） 所以雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为 10.83 米. 【答案】 10.83米 【点评】本题考查了用锐角三角函数解决实际问题，关键是找到要解 的直角三角形，根据已知条件，选择恰当的三角函数.
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