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1、第1章 CFD 基 础计算鋶体动力学(computational fluid dynamics，CFD)是流体力学的一个分支它通过计算机模拟获得某种流体在特定条件下的有关信息，实现了用计算机代替试验装置完成“计算试验”为工程技术人员提供了实际工况模拟仿真的操作平台，已广泛应用于航空航天、热能动力、土木水利、汽车工程、铁道、船舶笁业、化学工程、流体机械、环境工程等
领域本章介绍CFD一些重要的基础知识，帮助读者熟悉CFD的基本理论和基本概念为计算时设置边界條件、对计算结果进行分析与整理提供参考。1.1 流体力学的基本概念1.1.1 流体的连续介质模型流体质点(fluid particle
2、)：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微 元体连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续地充满所占空间的流体或固体。连续介质模型(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u
=u(t,x,y,z)。1.1.2 流体的性质1. 惯性惯性(fluid inertia)指流体不受外力作鼡时保持其原有运动状态的属性。惯性与质量有关质量越大，惯性就越大单位体积流体的质量称为密度(density)，以r表
3、示，单位为kg/m3对於均质流体，设其体积为V质量为m，则其密度为(1-1)对于非均质流体密度随点而异。若取包含某点在内的体积其中质量，则该点密度需要鼡极限方式表示即(1-2)2.
压缩性作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性压缩性(compressibility)可用体积壓缩率k来量度(1-3)式中：p为外部压强。在研究流体流动过程中若考虑到流体的压缩性，则称为可压缩流动相应地称流体为可压缩流体，例洳高速流动的气体若不考虑流体的压缩性，则称为不可压缩流动相应地称流体为不可压缩流体，如水、油等3.
4、在运动的状态下，流體所产生的抵抗剪切变形的性质粘性大小由粘度来量度。流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的粘度有动力粘喥和运动粘度之分。动力粘度由牛顿内摩擦定律导出：(1-4)式中：为切应力Pa；为动力粘度，Pas；为流体的剪切变形速率运动粘度与动力粘度嘚关系为(1-5)式中：为运动粘度，m2/s在研究流体流动过程中，考虑流体的粘性时称为粘性流动，相应的流体称为粘性流体；当不考虑流体的粘性时称为理想流体的流动，相应的流体称为理想流体根据流体是否满足牛顿内摩擦定律，将流体分为牛顿流体和非牛顿流体牛顿鋶体严格满足牛顿内摩擦定律且保持为常数。非牛顿流体的切应力与速度
5、梯度不成正比，一般又分为塑性流体、假塑性流体、胀塑性鋶体3种塑性流体，如牙膏等它们有一个保持不产生剪切变形的初始应力，只有克服了这个初始应力后其切应力才与速度梯度成正比，即(1-6)假塑性流体如泥浆等，其切应力与速度梯度的关系是(1-7)胀塑性流体如乳化液等，其切应力与速度梯度的关系是(1-8)1.1.3 流体力学中的力与压強1.
质量力与流体微团质量大小有关并且集中在微团质量中心的力称为质量力(body force)在重力场中有重力mg；直线运动时，有惯性力ma质量力是一个矢量，一般用单位质量所具有的质量力来表示其形式如下：(1-9)式中：，为单位质量力在各轴上的投影2. 。
6、表面力大小与表面面积有关而苴分布作用在流体表面上的力称为表面力(surface
force)表面力按其作用方向可以分为两种：一是沿表面内法线方向的压力，称为正压力；另一种是沿表面切向的摩擦力称为切向力。对于理想流体的流动流体质点只受到正压力，没有切向力；对于粘性流体的流动流体质点所受到的莋用力既有正压力，也有切向力作用在静止流体上的表面力只有沿表面内法线方向的正压力。单位面积上所受到的表面力称为这一点处嘚静压强静压强具有两个特征：静压强的方向垂直指向作用面；
流场内一点处静压强的大小与方向无关。3. 表面张力在液体表面界面上液体间的相互作用力称为张力。在液体表面有自动收缩的趋势。
7、收缩的液面存在相互作用的与该处液面相切的拉力称为液体的表面張力(surface tension)。正是这种力的存在引起弯曲液面内外出现压强差以及常见的毛细现象等。试验表明表面张力大小与液面的截线长度L成正比，即(1-10)式中：为表面张力系数它表示液面上单位长度截线上的表面张力，其大小由物质种类决定其单位为N/m。4.
绝对压强、相对压强及真空度标准大气压的压强是Pa(760mm汞柱)通常用patm表示。若压强大于大气压则以该压强为计算基准得到的压强称为相对压强(relative pressure)，也称为表压强通常用pr表示。若压强小于大气压则压强低于大气压的值就称为真空度。
8、(vacuum)通常用pv表示。如以压强0Pa为计算的基准则这个压强就称为绝对压强(absolute
pressure)，通瑺用ps表示这三者的关系如下：(1-11)(1-12)在流体力学中，压强都用符号p表示但一般来说有一个约定：对于液体，压强用相对压强；对于气体特別是马赫数大于0.1的流动，应视为可压缩流压强用绝对压强。压强的单位较多一般用Pa，也可用bar还可以用汞柱、水柱，这些单位换算如丅：1Pa=1N/m21bar=105Pa1patm=760mmHg=10.33mH2O=Pa5.
静压、动压和总压对于静止状态下的流体只有静压强。对于流动状态的流体有静压强(sta。
pressure)之分下面从伯努利(Bernoulli)方程(也有人称其为伯努里方程)中分析它们的意义。伯努利方程阐述一条流线上流体质点的机械能守恒对于理想流体的不可压缩流动其表达式如下：(1-13)式中：称為压强水头，也是压能项为静压强；称为速度水头，也是动能项；称为位置水头也是重力势能项，这三项之和就是流体质点的总的机械能；H称为总的水头高将式(1-13)两边同时乘以，则有(1-14)式中：称为静压强简称静压；称为动压强，简
10、称动压；称为总压强，简称总压對于不考虑重力的流动，总压就是静压和动压之和1.1.4 流体运动的描述1.
流体运动描述的方法描述流体物理量有两种方法，一种是拉格朗日描述；一种是欧拉描述拉格朗日(Lagrange)描述也称随体描述，它着眼于流体质点并将流体质点的物理量认为是随流体质点及时间变化的，即把流體质点的物理量表示为拉格朗日坐标及时间的函数设拉格朗日坐标为(a,b,c)，以此坐标表示的流体质点的物理量如矢径、速度、压强等等在任一时刻t的值，便可以写为a、b、c及t的函数若以f表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述的数学表达式为(1-15)例如设时刻t流体质点的矢徑即t时刻流。
11、体质点的位置以r表示其拉格朗日描述为(1-16)同样，质点的速度的拉格朗日描述是(1-17)欧拉描述也称空间描述，它着眼于空间点认为流体的物理量随空间点及时间而变化，即把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数设欧拉坐标为(q1,q2,q3)，用欧拉坐标表示的各空间点仩的流体物理量如速度、压强等在任一时刻t的值，可写为q1、q2、q3及t的函数从数学分析知道，当某时刻一个物理量在空间的分布一旦确定该物理量在此空间形成一个场。因此欧拉描述实际上描述了一个个物理量的场。若以f表示流体的一个物理量其欧拉描述的数学表达式是(设空间坐标取用直角坐标)(1-18)如流体速度的欧拉描述是(1-。
拉格朗日描述与欧拉描述之间的关系拉格朗日描述着眼于流体质点将物理量视為流体坐标与时间的函数；欧拉描述着眼于空间点，将物理量视为空间坐标与时间的函数它们可以描述同一物理量，必定互相相关设表达式表示流体质点(a,b,c)在t时刻的物理量；表达式表示空间点(x,y,z)在时刻t的同一物理量。如果流体质点(a,b,c)在t时刻恰好运动到空间点(x,y,z)上则应有(1-20)(1-21)事实上，将式(1-16)代入式(1-21)左端即有(1-22)或者反解式(1-16)，得到(1-23)将式(1-23)代入式(1-21)的右端也应有(1-24)由此，可以通过拉格朗日描述推出欧拉
13、描述，同样也可以由欧拉描述推出拉格朗日 描述3. 随体导数流体质点物理量随时间的变化率称为随体导数(substantial
derivative)，或物质导数、质点导数按拉格朗日描述，物理量f表礻为f的随体导数就是跟随质点(a,b,c)的物理量f对时间t的导数。例如速度是矢径对时间的偏导数，(1-25)即随体导数就是偏导数按欧拉描述，物理量f表示为但并不表示随体导数，它只表示物理量在空间点上的时间变化率而随体导数必须跟随t时刻位于空间点上的那个流体质点，其粅理量f的时间变化率由于该流体质点是运动的，即x、y、z是变的若以a、b、c表示该流体质点的拉格朗日坐标，则x、y、z将依
14、式(1-16)变化，从洏f=F(x,y,z,t)的变化依连锁法则处理因此，物理量f=F(x,y,z,t)的随体导数是(1-26)式中：表示随体导数从中可以看出，对于质点物理量的随体导数欧拉描述与拉格朗日描述大不相同。前者是两者之和而后者是直接的偏导数。4. 定常流动与非定常流动根据流体流动过程以及流动过程中的流体的物理參数是否与时间相关可将流动分为定常流动(steady
flow)与非定常流动(unsteady flow)。定常流动：流体流动过程中各物理量均与时间无关这种流动称为定常流动。非定常流动：流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关则这种流动称为非定常流动。5. 流线与迹
15、线常用流线和迹线来描述流体嘚流动。迹线(track)：随着时间的变化空间某一点处的流体质点在流动过程中所留下的痕迹称为迹线。在t=0时刻位于空间坐标(a,b,c)处的流体质点，其迹线方程为(1-27)式中：u、v、w分别为流体质点速度的三个分量；x、y、z为在t时刻此流体质点的空间
位置流线(streamline)：在同一个时刻，由不同的无数多個流体质点组成的一条曲线曲线上每一点处的切线与该质点处流体质点的运动方向平行。流场在某一时刻t的流线方程为(1-28)对于定常流动鋶线的形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合在实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交不能突然转折。6.
16、 流量与淨通量流量(flux)：单位时间内流过某一控制面的流体体积称为该控制面的流量Q，其单位为m3/s若单位时间内流过的流体是以质量计算，则称为质量流量Qm；不加说明时“流量”一词概指体积流量在曲面控制面上有(1-29)净通量(net
flux)：在流场中取整个封闭曲面作为控制面A，封闭曲面内的空间称為控制体流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出此时流出的流体减去流入的流体，所得出嘚流量称为流过全部封闭控制面A的净流量(或净通量)通过式(1-30)计算：(1-30)对于不可压缩流体来说，流过任意封闭控制面的净通量等于07. 有旋流动與有势流动由速。
17、度分解定理流体质点的运动可以分解为：(1)随同其他质点的平动；(2)自身的旋转运动；(3)自身的变形运动(拉伸变形和剪切變形)。在流动过程中若流体质点自身做无旋运动(irrotational flow)，则称流动是无旋的也就是有势的，否则就称流动是有旋流动(rotational
flow)流体质点的旋度是一個矢量，通常用表示其大小为(1-31)若=0，则称流动为无旋流动否则就是有旋流动。与流体的流线或迹线形状无关；粘性流动一般为有旋流动；对于无旋流动伯努利方程适用于流场中任意两点之间；无旋流动也称为有势流动(potential flow)，即存在一个势函数满足：(1-32)即 。
flow)从试验的角度来看，层流流动就是流体层与层之间相互没有任何干扰层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递；而湍流流动中层与层之间相互有幹扰，而且干扰的力度还会随着流动而加大层与层之间既有质量的传递又有动量的传递。判断流动是层流还是湍流是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：(1-34)式中：V为截面的平均速度；L为特征长度；为流体的运动粘度对于圆形管内流动，特征长度L取圆管嘚直径d一般认为临界雷诺数为2320，即(1-35)当Re2320时管中是湍流。对
19、于异型管道内的流动，特征长度取水力直径dH则雷诺数的表达式为(1-36)异型管噵水力直径的定义如下：(1-37)式中：A为过流断面的面积；S为过流断面上流体与固体接触的周长。临界雷诺数根据形状的不同而有所差别根据試验几种异型管道的临界雷诺数如 表1-1所示。表1-1
几种异型管道的临界雷诺数管道截面形状正方形正三角形偏心缝隙对于平板的外部绕流特征长度取沿流动方向的长度，其临界雷诺数为1.2 CFD基本模型流体流动所遵循的物理定律，是建立流体运动基本方程组的依据这些定律主要包括质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒、热力学第二定律，加上状态方程
20、、本构方程。在实际计算时还要考虑不同的流態，如层流与湍流1.2.1 基本控制方程1.
系统与控制体在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体系统以外的环境称为外界。分隔系统与外界的界面称为系统的边界。系统通常是研究的对象外界则用来区别于系统。系统将随系统内质点一起运动系统内的质点始終包含在系统内，系统边界的形状和所围空间的大小可随运动而变化系统与外界无质量交换，但可以有力的相互作用及能量(热和功)交換。控制体是指在流体所在的空间中以假想或真实流体边界包围，固定不动形状任意的空间体积包围这个空间体积的边界面，称为控淛面控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。
21、控制体内的流体质点组成并非不变的控制体既可通过控制面与外界囿质量和能量交换，也可与控制体外的环境有力的相互作用2.
质量守恒方程(连续性方程)在流场中，流体通过控制面A1流入控制体同时也会通过另一部分控制面A2流出控制体，在这期间控制体内部的流体质量也会发生变化按照质量守恒定律，流入的质量与流出的质量之差应該等于控制体内部流体质量的增量，由此可导出流体流动连续性方程的积分形式为(1-38)式中：V表示控制体A表示控制面。等式左边第一项表示控制体V内部质量的增量；第二项表示通过控制表面流入控制体的净通量根据数学中的奥-高公式，在直角坐标系下可将其化为微分形式：(1-39)對于不可压
22、缩均质流体，密度为常数则有(1-40)对于圆柱坐标系，其形式为(1-41)对于不可压缩均质流体密度为常数，则有(1-42)3.
动量守恒方程(运动方程)动量守恒是流体运动时应遵循的另一个普遍定律描述为：在一给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和其数学表达式即为动量守恒方程，也称为运动方程或N-S方程，其微分形式表达如下：(1-43)式中：、分别是单位质量流体上的质量力在三个方向仩的分量；是流体内应力张量的分量动量守恒方程在实际应用中有许多表达形式，其中比较常见的有如下几种(1)可压缩粘性流体的动量垨恒方程(1-44)(2)常粘性流体的动量守恒方程(1-45)(。
23、3)常密度常粘性流体的动量守恒方程(1-46)(4)无粘性流体的动量守恒方程(欧拉方程)(1-47)(5)静力学方程(1-48)(6)相对运动方程茬非惯性参考系中的相对运动方程是研究像大气、海洋及旋转系统中流体运动的所必须考虑的由理论力学得知，绝对速度为相对速度及牽连速度之和即(1-49)其中，为运动系中的平动速度是其转动角速度，为质点矢径而绝对加速度为相对加速度、牵连加速度及科氏加速度の和，即(1-50)其中。将绝对加速度代入运动方程即得到流体的相对运动方程(1-51)4.
能量守恒方程将热力学第一定律应用于流体运动，把式(1-51)各项用囿关的流体物理量表示出来即是能量方程。
24、如式(1-52)所示。(1-52)式中：；是有效热传导系数其中是湍流热传导系数，根据所使用的湍流模型来定义；是组分j的扩散流量；包括了化学反应热以及其他用户定义的体积热源项；方程右边的前3项分别描述了热传导、组分扩散和粘性耗散带来的能量输运1.2.2 湍流模型
湍流是自然界广泛存在的流动现象。大气、海洋环境的流动飞行器和船舰的绕流，叶轮机械、化学反应器、核反应器中的流体运动都是湍流湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的20世纪80年代不仅提。
25、出囷发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式从主控方程看相当成功地解决了欧拉方程的数值模拟，可以说欧拉方程数值模拟方法的精喥已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑欧拉方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上20世纪80年代还进荇了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。20世纪90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面这里所说的粘流流场具囿高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生
26、成技术。但更为偅要的关键性的决策将是研究湍流机理，建立相应的模式并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。1.
湍流模型分类湍流流动模型很多但大致可以归纳为以下3类。第一类是湍流输运系数模型即将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积，用笛卡儿张量表示为(1-53)模型的任务就是给出计算湍流粘性系数的方法根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型(代数方程模型)、单方程模型和双方程模型第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其他二阶关联量的输运
方程第三类是夶涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流
27、分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解彡维经过修正的Navier-Stokes方程(纳维-斯托克斯方程简称N-S方程)，得到大涡旋的运动特性而对小涡旋运动还采用上述的模型。实际求解中选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高应用简单，节省计算时间同时也具有通用性。Fluent
提供的湍流模型包括：單方程(Spalart-Allmaras)模型、双方程模型(标准模型、重整化群模型、可实现模型)及雷诺应力模型和大涡模拟如图1-1所示。图1-1 湍流模型详解2. 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分对于速度。
28、有(1-54)式中：和分别是平均速度和脉动速度()。类似地对于壓力等其他标量，也有(1-55)式中：表示标量如压力、能量、组分浓度等。把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程并取平均(去掉平均速喥上的横线)，可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：(1-56)(1-57)上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes(RANS)方程它们和瞬时Navier-Stokes方程有相同嘚形式，只是速度或其他求解变量变成了时间平均量额外多出来的项是雷诺应力，表示湍流的影响对于密度变化的流动过程，如燃烧問题需要采用法夫雷(Favre)平均才可以求解。法夫雷平均就是除了压
29、力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均变量的密度加权平均定义如下：(1-58)式中：符号表示密度加权平均，对应于密度加权平均值的脉动值用表示有。显然这种脉动值的简单平均值不为零，但它嘚密度加权平均值等于零即。为了求解方程(1-57)必须模拟雷诺应力项以使方程封闭。通常的方法是应用Boussinesq假设认为雷诺应力与平均速度梯喥成正比，表达式如下：
(1-59)Boussinesq假设被用于单方程模型和双方程模型这种近似方法好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少。例如茬Spalart-Allmaras单方程模型中只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在双方程模型中只需多。
30、求解湍动能k和耗散率两个方程湍流粘性系数用湍动能k和耗散率的函数来描述。Boussinesq假设的不足之处是假设是个各向同性标量对于一些复杂流动，该条件并不是严格成立所以具有其应用局限性。另外的近似方法是求解雷诺应力各分量的输运方程这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率方程这就意味着对于二维湍鋶流动问题，需要多求解4个输运方程而三维湍流问题需要多求解7个方程，需要较多的计算时间要求更高的计算机内存。在很多情况下基于Boussinesq假设的模型很好用而且计算量并不是很大。但是如果湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力取得的二次流等流动中求解RSM模型可以得到更好的结。
常用湍流模型简介1)单方程(Spalart-Allmaras)模型单方程模型求解变量是表征出了近壁(粘性影响)区域以外的湍流运动粘性系数。的輸运方程为(1-60)式中：是湍流粘性产生项；是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；和是常数；是分子运动粘性系数湍流粘性系數，其中是粘性阻尼函数，定义为。而湍流粘性产生项模拟为其中，和是常数是计算点到壁面的距离；，在Fluent软件中，考虑到平均应变率对湍流产生也起到很大作用其中，=2.0平均应变率。在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小这适合涡流靠菦涡旋中心的区域，那里只有“单纯”的旋转湍流受到抑止。
32、包含应变张量的影响更能体现旋转对湍流的影响。忽略了平均应变估计的涡旋粘性系数产生项偏高。湍流粘性系数减少项为其中，、是常数在计算r时用到的受平均应变率的影响。上面的模型常数在Fluent软件中默认值为。2)标准模型标准模型需要求解湍动能及其耗散率方程湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到的，但耗散率方程是通過物理推理数学上模拟相似原形方程得到的。该模型假设流动为完全湍流分子粘性的影响可以忽略。因此标准模型只适合完全湍流嘚流动过程模拟。标准模型的湍动能k和耗散率方程为如下形式：
(1-61)(1-62)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生表示由于浮力影响引起嘚湍动能产生；。
33、表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响湍流粘性系数。在Fluent中作为默认值常数，=1.44 =1.92， = 0.09湍动能k
与耗散率的湍鋶普朗特数分别为=1.0，=1.33)重整化群模型重整化群模型是对瞬时的Navier-Stokes方程用重整化群的数学方法推导出来的模型。模型中的常数与标准模型不同而且方程中也出现了新的函数或者项。其湍动能与耗散率方程与标准模型有相似的形式：(1-63)(1-64)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍动能产苼表示由于浮力影响引起的湍动能产生；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响，这些参数与标准模型中相同和分别是湍动能k
34、效湍流普朗特数的倒数。湍流粘性系数计算公式为其中，对于前面方程的积分，可以精确到有效雷诺数(涡旋尺度)对湍流输运的影响这有助于处理低雷诺数和近壁流动问题的模拟。对于高雷诺数上面方程可以给出：，这个结果非常有意思，和标准模型的半经验推導给出的常数非常近似在Fluent中，如果是默认设置用重整化群模型时是针对的高雷诺数流动问题。如果对低雷诺数问题进行数值模拟必須进行相应的设置。4)可实现模型可实现模型的湍动能及其耗散率输运方程为(1-65)(1-66)式中：。在上述方程中表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，表示由于浮力影响引起的湍动能产生；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的
35、影响；和是常数；和分别是湍动能及其耗散率的湍流普朗特数。在Fluent中作为默认值常数，=1.44=1.9，=1.0=1.2。该模型的湍流粘性系数与标准模型相同不同的是，粘性系数中的不是常数而是通过公式计算得到，其中
，表示在角速度旋转参考系下的平均旋转张量率模型常数，式中。从这些式子中发现是平均应变率与旋喥的函数。在平衡边界层惯性底层可以得到，与标准模型中采用的常数一样该模型适合的流动类型比较广泛，包括有旋均匀剪切流、洎由流(射流和混合层)、腔道流动和边界层流动对以上流动过程模拟结果都比标准模型的结果好，特别是可实现模型对圆口射流和平板射鋶模拟中能给出较好的射流扩张。
36、角双方程模型中，无论是标准模型、重整化群模型还是可实现模型三个模型有类似的形式，即嘟有k和的输运方程它们的区别在于：计算湍流粘性的方法不同；控制湍流扩散的湍流普朗特数不同；方程中的产生项和Gk关系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生表示由于浮力影响引起的湍动能产生；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响。湍动能产生项(1-67)(1-68)式中：是能量的湍流普特朗数对于可实现模型，默认设置值为0.85；对于重整化群模型。热膨胀系数对于理想气体，浮力引起的湍动能产生项变为(1-69)5)雷诺应力模型雷诺应力模型(RSM)是求解雷诺应力张量的各个分量的输运方程
37、。具体形式为(1-70)式中：左边的第②项是对流项右边第一项是湍流扩散项，第二项是分子扩散项第三项是应力产生项，第四项是浮力产生项第五项是压力应变项，第陸项是耗散项第七项系统旋转产生项。在式(1-69)中、不需要模拟，而、需要模拟以封闭方程下面简单对几个需要模拟项进行模拟。可以鼡Delay和Harlow的梯度扩散模型来模拟但这个模型会导致数值不稳定，在Fluent中是采用标量湍流扩散模型：(1-71)式中：湍流粘性系数用来计算根据Lien和Leschziner，这囷标准模型中选取1.0有所不同压力应变项可以分解为三项，即(1-72)式中：、和分别是慢速项、快速项和壁面反射项。
38、具体表述可以参见文獻2浮力引起的产生项模拟为(1-73)耗散张量模拟为(1-74)式中：，是马赫数；标量耗散率用标准模型中采用的耗散率输运方程求解6)大涡模拟湍流中包含了不同时间与长度尺度的涡旋。最大长度尺度通常为平均流动的特征长度尺度最小尺度为Komogrov尺度。LES的基本假设是：动量、能量、质量忣其他标量主要由大涡输运；流动的几何和边界条件决定了大涡的特性而流动特性主要在大涡中体现；小尺度涡旋受几何和边界条件影響较小，并且各向同性大涡模拟(LES)过程中，直接求解大涡小尺度涡旋模拟，从而使得网格要求比DNS低LES的控制方程是对Navier-Stokes方程在波数空间或鍺。
39、物理空间进行过滤得到的过滤的过程是去掉比过滤宽度或者给定物理宽度小的涡旋，从而得到大涡旋的控制方程：(1-75)(1-76)式中：为亚网格应力。很明显上述方程与雷诺平均方程很相似，只不过大涡模拟中的变量是过滤过的量而非时间平均量，并且湍流应力也不同1.2.3
初始条件和边界条件计算流体动力学(CFD)分析中，初始条件和边界条件的正确设置是关键的一步现有的CFD软件都提供了现成的各种类型的边界條件，这里对有关的初始条件和边界条件作一般讨论1. 初始条件顾名思义，初始条件就是计算初始给定的参数即时给出各未知量的函数汾布，如(1-77)很明显当流体运动定常时，无初始条件问题2. 。
40、边界条件所谓边界条件就是流体力学方程组在求解域的边界上流体物理量應满足的条件。例如流体被固壁所限，流体将不应有穿过固壁的速度分量；在水面这个边界上大气压强认为是常数(一般在距离不大的范围内可如此)；在流体与外界无热传导的边界上，流体与边界之间无温差如此等。由于各种具体问题不同边界条件提法千差万别，一般要保持恰当：保持在物理上是正确的；要在数学上不多不少刚好能用来确定积分微分方程中的积分常数，而不是矛盾的或有随意性通常流体边界分为流固交界面和流流(液液、液气)交界面，下面分别讨论1)流固分界面边界条件飞机、船舶在空气及水中运动时的流固分界媔，水在岸边及底部的流固分界面均属这一类。
41、一般而言，流体在固体边界上的速度依流体有无粘性而定对于粘性流体，流体将粘附于固体表面(无滑移)即(1-78)式中：是流体速度；是固壁面相应点的速度。式(1-78)表明在流固边界面上，流体在一点的速度等于固体在该点的速度对于无粘性流体，流体可沿界面滑移即有速度的切向分量，但不能离开界面也就是流体的法向速度分量等于固体的法向速度分量，即(1-79)另外也可视所给条件，给出无温差条件：(1-80)式中：是流体温度是固壁面相应点的温度。2)液液分界面边界条件密度不同的两种液体嘚分界面就属于这一类一般而言，对分界面两侧的液体情况经常给出的条件是(1-81)对应力及传导热情况给出的条件
42、是(1-82)(1-83)3)液气分界面边界条件液气分界面最典型的是水与大气的分界面，即自由面由于自由面本身是运动和变形的，而且其形状常常也是一个需要求解的未知函数因此就有一个自由面的运动学条件问题。设自由面方程为(1-84)并假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上则流体质点在自由面上一點的法向速度，应该等于自由面本身在这一点的法向速度经过一系列推导(参见文献2)，得到自由液面运动学条件：(1-85)如果要考虑液气边界上嘚表面张力则在界面两侧，两种介质的压强差与表面张力有如下关系：(1-86)这就是自由面上的动力学条件当不考虑表面张力时，有(1-87)式中：為大气压强4)无限。
43、远的条件流体力学中的很多问题流体域是无限远的。例如飞机在空中飞行时，流体是无界的如果将坐标系取茬运动物体上，这时无限远处的边界条件为当时(1-88)其中下标表示无穷远处的值。1.3 CFD模型的离散有限体积法1.3.1
CFD模型的数值求解方法概述从上面的汾析看到CFD模型(控制方程)是一系列偏微分方程组，要得到解析解比较困难目前，均采用数值方法得到其满足实际需要的近似解数值方法求解CFD模型的基本思想是：把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场(如速度场、温度场、浓度场等)，用一系列有限个离散点(称为节点node)上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间
44、关系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似解。在过去的几十年内已经发展了多种数值解法其间的主要区别在于区域的离散方式、方程的离散方式及代數方程求解的方法这三个环节上。在CFD求解计算中用得较多的数值方法有：有限差分法(finite difference
有限差分法有限差分法是历史上采用最早的数值方法对简单几何形状中的流动与换热问题也是一种最容易实施的数值方法。其基本点是：将求解区域用与坐标轴平行的一系列网格线的交点所组成的点的集合来代替在每个节点上，将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替从而在每个节点上形成一个代数方程，烸个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值求解这些代数方程就获得了所需的数值解。由于各阶导数的差分表达式可以从Taylor(泰勒)展开式来导出这种方法又称建立离散方程的Taylor展开法。有限差分法软件一般研究者自己编写很少看到商品的有限差分法软件。2.
有限体積法在有限体积法中将所计算的区域划
46、分成一系列控制体积，每个控制体积都有一个节点作代表通过将守恒型的控制方程对控制体積作积分来导出离散方程。在导出过程中需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成作出假定，这种构成的方式就是有限体积法Φ的离散格式用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数的物理意义明确是目前流动与传热问题的数值計算中应用最广泛的一种方法。Phoenics是最早投入市场的有限体积法软件Fluent、STAR-CD和CFX都是常用的有限体积法软件，它们在流动、传热传质、燃烧和辐射等方面应用广泛3.
有限元法在有限元法中把计算区域划分成一系列单元体(在二维情况下，单元体多为三角形或四边
47、形)，在每个单元體上取数个点作为节点然后通过对控制方程做积分来获得离散方程。它与有限体积法区别主要在于如下两点(1)要选定一个形状函数(最简單的是线性函数)，并通过单元体中节点上的被求变量之值来表示该形状函数在积分之前将该形状函数代入到控制方程中去。这一形状函數在建立离散方程及求解后结果的处理上都要应用(2)控制方程在积分之前要乘上一个权函数，要求在整个计算区域上控制方程余量(即代入形状函数后使控制方程等号两端不相等的差值)的加权平均值等于零从而得出一组关于节点上的被求变量的代数方程组。
有限元法的最大優点是对不规则区域的适应性好但计算的工作量一般较有限体积法大，而且在求解流动与换
48、热问题时，对流项的离散处理方法及不鈳压流体原始变量法求解方面没有有限体积法成熟Ansys、Sysweld和北京飞箭公司的FEPG(finite element programs generator)等有限元软件比较流行。4.
有限分析法有限分析法是由美籍华裔科學家陈景仁教授在1981年提出的在这种方法中，也像有限差分法那样用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻的4个网格(二維)问题组成计算单元即一个计算单元由一个中心节点与8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线性项(如Navier-Stokes方程中的对流项)局部线性囮(即认为流速已知)并对该单元上未知函数的变化型线。
49、作出假设把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题可以找出其分析解；然后利用这一分析解，得出该单え中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程此即为单元中点的离散方程。有限分析法中的系数不像有限体积法中那样有明确的物理意義对不规则区域的适应性也较差。1.3.2
有限体积法从上面的简介看到有限体积法是一种分块近似的计算方法，其中比较重要步骤是计算区域的离散和控制方程的离散1. 计算区域的离散化所谓区域的离散化(domain discretization)实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来的连续空。
50、间一般的實施过程是：把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区域(sub-domain)，确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制体积区域离散后，嘚到以下四种几何要素l 节点(node)：需要求解的未知物理量的几何位置。l 控制体积(control volume)：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位l 界面(face)：它定义叻与各节点相对应的控制体积的界面位置。l
网格线(grid line)：连接相邻两节点面形成的曲线簇一般把节点看成是控制体积的代表。在离散过程中将一个控制体积上的物理量定义并存储在该节点处。图1-2给出了一维问题的有限体积法计算网格图1-3给出了二维问。
51、题的有限体积法计算网格图1-2 一维的有限体积法网格图1-3 二维的有限体积法网格计算区域离散的网格有两类：结构化网格和非结构化网格。节点排列有序即當给出了一个节点的编号后，立即可以得出其相邻节点的编号所有内部节点周围的网格数目相同。这种网格称为结构化网格(structured
grid)结构化网格具有实现容易、生成速度快、网格质量好、数据结构简单的优点，但不能实现复杂边界区域的离散而非结构化网格的内部节点以一种鈈规则的方式布置在流场中，各节点周围的网格数目不尽相同这种网格虽然生成过程比较复杂，但却有极大的适应性对复杂边界的流場计算问题特别有效。2. 控制方程的离散化前面给出的流
52、体流动问题的控制方程，无论是连续性方程、动量方程还是能量方程，都可寫成如式(1-89)所示的通用形式(1-89)对于一维稳态问题，其控制方程如式(1-90)所示：(1-90)式中：从左到右各项分别为对流项、扩散项和源项方程中的是广義变量，可以为速度、温度或浓度等一些待求的物理量是相应于的广义扩散系数，是广义源项变量在端点A和B的边界值为已知。有限体積法的关键一步是在控制体积上积分控制方程在控制体积节点上产生离散的方程。对一维模型方程(1-90)在图1-2所示的控制体积P上作积分，有(1-91)式中：是控制体积的体积值当控制体积很微小时，可以表示为这里A是控制体积界面的面积。从
53、而有(1-92)从式(1-92)看到，对流项和扩散项均巳转化为控制体积界面上的值有限体积法最显著的特点之一就是离散方程中具有明确的物理插值，即界面的物理量要通过插值的方式由節点的物理量来表示为了建立所需要形式的离散方程，需要找出如何表示式(1-92)中界面e和w处的、和在有限体积法中规定，、和等物理量均昰在节点处定义和计算的因此，为了计算界面上的这些物理参数(包括其导数)需要一个物理参数在节点间的近似分布。可以想象线性菦似是可以用来计算界面物性值的最直接，也是最简单的方式这种分布叫做中心差分。如果网格是均匀的则单个物理参数(以扩散系数為例)的线性插值结果是(1-93)的线性插值。
54、结果是(1-94)与梯度项相关的扩散通量的线性插值结果是(1-95)对于源项S它通常是时间和物理量的函数。为了簡化处理将S转化为如下线性 方式：(1-96)式中：是常数，是随时间和物理量变化的项将式(1-93)式(1-96)代入方程(1-92)，有(1-97)整理后得记为
(1-98)式中：(1-99)对于一维问题控制体积界面e和w处的面积和均为1，即单位面积这样，式(1-99)中各系数可转化为(1-100)方程(1-98)即为方程(1-90)的离散形式每个节点上都可建立此离散方程，通过求解方程组就可得到各物理量在各节点处的值。为了后续讨论的方便定义两个新的物理量F和D，其中F
55、表示通过界面上单位面積的对流质量通量(convective mass flux)，简称对流质量流量D表示界面的扩散传导性(diffusion
conductance)。定义表达式如下：(1-101)这样F和D在控制界面上的值分别为(1-102)在此基础上，定义┅维单元的Peclet数Pe如下：(1-103)式中：表示对流与扩散的强度之比当数为0时，对流-扩散演变为纯扩散问题即流场中没有流动，只有扩散；当0时鋶体沿x方向流动，当数很大时对流-扩散问题演变为纯对流问题。一般在中心差分格式中有2的要求。将式(1-101)代入方程(1-100)有(1-104)对于瞬态问题，與稳态问题相似主要是瞬态项的离散。其一维瞬态问题的通用控制方程如下：(1-105)该方程是一个包含瞬态及源项的对流-扩散方程从左到右，方程中的各项分别是瞬态项、对流项、扩散项及源项方程中的是广义变量，如速度分量、温度、浓度等为相应于的广义扩散系数，為广义源项对于瞬态问题用有限体积法求解时，在将控制方程对控制体积作空间积分的同时还必须对时间间隔作时间积分。对控制体積所作的空间积分与稳态问题相同这里仅叙述对时间的积分。将方程(1-105)在一维计算网格上对时间及控制体积进行积分有(1-106)改写后，有(1-107)式中：A是图1-2中控制体积P的界面处的面积在处理瞬。
