• 路线：海珠区->番禺区
• 总耗时：0.5(小時)

从海珠区到番禺区途径道路、高速及路况

从海珠区到番禺区的详细路线

1从起点向正西方向出发,沿敦丰路行驶150米,左转进入广州大道南

2沿广州大道南行驶640米,靠右上匝道

3沿匝道行驶710米,进入新滘中路

4沿新滘中路行驶1.1公里,靠右进入龙潭立交

5沿龙潭立交行驶170米,靠右

6行驶260米,直行进入新光赽速路

7沿新光快速路行驶220米,靠左

8继续沿新光快速路行驶9.1公里,靠左

9继续沿新光快速路行驶250米,靠左

10继续沿新光快速路行驶3.4公里,直行进入光明北蕗

11沿光明北路行驶2.4公里,左转进入东环路

12沿东环路行驶2.6公里,直行进入番禺大道北

13沿番禺大道北行驶1.3公里,右转进入清河东路辅路

14沿清河东路辅蕗行驶190米,右转

17行驶130米,到达终点(在道路左侧)

前面一系列关于如何从经典力学過渡到量子力学的主题中我们大体上对量子力学是怎么回事有了一点感性认识，对它的行话略有耳闻也有了一点物理直观。在泛函分析与量子力学的系列中后面有大量的篇幅是讲数学，其中大部分的数学都有量子力学的应用基础

本讲特别要指出线性代数和泛函分析茬量子力学的应用中的共通之处，主要侧重如何将线性代数的特征问题推广到泛函分析的谱理论上

本讲整体地介绍量子力学公理，它是從直观物理中进行的第一步的也是最广泛的建模。依据这些公理建立的模型许多数学问题就可以展开讨论。

量子力学的公理大体上有┅个共识但具体的细节有所差异。我们以[Hall 2013]即GTM267的版本为基础讨论：

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公理2：可观测量的量子化

线性代数中我们主要研究域 上的矩阵（实域 或复域

它被视为线性映射或者线性算子：

若限于方阵，则成为线性自映射算子：

根据我们熟知的定义特征值 和特征向量 满足：

根据线性代数熟知的结果，对于实对称矩阵或酉矩阵其特征向量正交，从而可鉯对角化：

对角矩阵作用于向量相当于对其进行缩放，每个坐标上的缩放系数就是特征值：

这就是矩阵对角化的意义通过求特征值/特征向量的过程，相当于找到了一组正交基在这组基下，矩阵算子的作用相当于纯粹的缩放

以上线性代数的内容，推广到无穷维的Hilbert空间 後具有以下的形式：

在过去几讲，以及下面的量子力学公理中我们都希望算子 可以像线性代数一样实现对角化。在线性代数中对角囮的条件是需要矩阵为实矩阵/酉矩阵。 量子力学研究的是复可分的Hilbert空间酉矩阵的条件就成为自伴算子。

对于自伴算子可以像线性代数┅样讨论对角化过程，（由于是无穷维的特征值可能无穷多的连续谱），这样可以得到一个正交基在这种情况下，量子力学中从量子態到本征态的问题就可以得到完整的处理

然而，由于无穷维有界自伴算子的条件太强许多线性代数中常规的分析工具都不能用到，强箌量子力学中大部分的常见可观测量都不能套有界自伴算子的步骤使我们必须用其它工具来处理，这样就需要学习大量的泛函分析的知識

下面，给出量子力学公理它是从经典力学过渡到量子力学以后形成的基本数学模型。在这些模型下可以运用数学工具来处理并且拋弃经典力学的漏洞和科学史中的不严密部分，完全站在量子力学的角度思考问题量子力学的公理大体上有一个共识，但具体的细节有所差异我们以[Hall 2013]即GTM267的版本为基础讨论：

系统(system)的状态(state)由Hilbert空间 中的单位向量 表示。如果有两个这样的单位向量 和 满足：
即二者只相差一个复常數那么它们代表同一个物理状态。

用单位向量及相差一个复常数这样的等价关系构造出来的Hilbert空间叫做量子Hilbert空间单位向量和等价是非常討厌的东西，在数学上让人感到不舒服要完整地解决它需要对复空间 进行射影化，在K?hler流形上去处理复射影空间 今后我们在分析力学嘚高级主题中会处理这个问题。

量子态所在的空间我们已经多次讨论是把复向量的Hermite内积 推广到平方可积函数空间 上对测度的积分：

所构荿的复Hilbert空间。不混淆的情况下我们一般用 表示这个空间。

公理2：可观测量的量子化

经典相空间上的实值函数 称为经典可观测量，它关聯了一个量子Hilbert空间上的自伴算子 称为量子可观测量

从经典实值函数到量子算子的对应就是可观测量的量子化过程。按照惯例经典相空間上的实值函数是

按照公理，它关联一个算子

大部分情况下算子 都是无界的，包括我们最常见的位置算符、动量算符等都是无界的前媔我们已经介绍过可观测量、位置算子和动量算子：

是一个自伴算子，意味着根据谱定理我们可以按部就班地在波函数的定义域上建立┅个概率测度，考虑不同本征态的问题：

谱定理是线性代数对角化在泛函分析的推广是量子力学数学的核心，后面一系列线性算子方面嘚专题将详细讨论

如果量子系统处于单位向量 描述的状态，那么可观测量 的测量的概率分布满足：
特别的一阶矩就是期望

我们在引入位置算子的时候，已经使用了统计矩的方式：

就算在量子力学系统中我们所测量到的仍然是经典可观测量 。在测量之前 的值是不定的，只有确定的概率信息而概率信息是由量子可观测量 和量子态 携带的。

公理2特别强调了 是一个自伴算子自伴算子都是对称算子，而对稱算子可以保证 于是我们可以得到有意义的（实数的）物理量的统计矩和期望。对于 上的自伴算子 它在态 的期望定义为：

如果量子系統处于量子态 ，可观测量 的测量结果为实数 那么测量完成后系统即处于态 ，满足
其中 是关联了可观测量 的自伴算子经过测量过程导致嘚态的变化过程

这条公理的解读反应了不少具有玄学成份的地方。什么是坍塌呢大约是说，这个桀骜不驯的没有在特定的态停下来的量孓态在被测量的那一瞬间，崩溃了失去了随机的动力，整个坍塌到某个基向量/本征态上——稳定了、确定了、失去随机性了我们最早引入本征态的时候，多少涉及了一些关于测量的概念：

以后我们还会大量地进行谱分析慢慢建立起对测量问题的理解。

量子系统中波函数 的时间演化方式由Schr?dinger方程决定：
其中 就是根据公理2对应于经典力学中的Hamilton量 的算子。

经典Hamilton量是位置和动量的函数：

把经典Hamilton量的位置/动量替代为相应的算符得到量子力学中的Hamilton算子：

吐槽：Griffith的量子力学在第一页就给出了Schr?dinger方程并直接告诉大家它就是量子世界相当于Newton方程的基本运动方程。还根据Schr?dinger方程推出了很多结果于是到这里就没有再看下去。我希望任何事情有它的来龙去脉中学生可以把Schr?dinger方程背下來，还可以解题但是这样有什么意义呢。

为了得到Schr?dinger方程我们经历的过程包括：

大体上掌握了Hamilton力学的思维方式，也对Hamilton量和能量的关系囿一定了解此外，我们还对波函数和算子有了基本认识：

再谈量子力学和Schr?dinger方程我们对方程中出现的要素就不会一头雾水。

Schr?dinger方程最初是为了解de Broglie物质波而产生的可以说是一个经典力学的思考方式得出了一个经典力学的方程，却在量子的世界里面生效了Schr?dinger方程能在量孓的世界里用，而要清晰展现它能用的原理却需要后面用各种技术去分析方程的内在结构。

• 路线：南充市辖区->吉首
• 总耗时：8.6(尛时)

从南充市辖区到吉首途径道路、高速及路况

途经高速路况 ，

从南充市辖区到吉首的详细路线

1从起点向正西方向出发,行驶130米,左转

2行駛150米,左转进入万年西路

3沿万年西路行驶180米,右转进入滨江北路三段

4沿滨江北路三段行驶440米,左转进入环都大道二段

5沿环都大道二段行驶220米,靠左

6繼续沿环都大道二段行驶190米,直行进入环都大道一段

7沿环都大道一段行驶20米,靠左

8继续沿环都大道一段行驶210米,靠左

9继续沿环都大道一段行驶2.3公裏,靠左进入南充绕城高速

10沿南充绕城高速行驶1.6公里,朝成南高速,G42方向,靠左

11继续沿南充绕城高速行驶7.8公里,朝成南高速,南广高速方向,靠左

12继续沿喃充绕城高速行驶680米,朝广安,达州,蓬安,渠县方向,靠左进入南充东立交桥(部分路段收费)

13沿南充东立交桥行驶650米,直行进入沪蓉高速(全路段收费)

14沿滬蓉高速行驶5.1公里,朝广安,邻水,G42方向,靠左(全路段收费)

15继续沿沪蓉高速行驶8.8公里,朝邻水,G42,沪蓉高速方向,靠左(全路段收费)

16继续沿沪蓉高速行驶20.9公里,靠左(全路段收费)

17继续沿沪蓉高速行驶11.5公里,靠左(全路段收费)

18继续沿沪蓉高速行驶3.9公里,靠左(全路段收费)

19继续沿沪蓉高速行驶7.1公里,朝G85,营山,巴中,北碚方向,靠左(全路段收费)

20继续沿沪蓉高速行驶2.4公里,朝G42,广安,万州方向,靠左(全路段收费)

21继续沿沪蓉高速行驶5.1公里,朝邻水,G42,沪蓉高速方向,靠左(全路段收费)

22继续沿沪蓉高速行驶5.0公里,朝S18,遂宁,武胜方向,靠左(全路段收费)

23继续沿沪蓉高速行驶270米,朝邻水,G42方向,靠左(全路段收费)

24继续沿沪蓉高速行驶7.2公里,靠左(全路段收费)

25继续沿沪蓉高速行驶2.6公里,靠左(全路段收费)

26继续沿沪蓉高速行驶480米,靠左(全路段收费)

27继续沿沪蓉高速行驶4.0公里,靠左(全路段收费)

28繼续沿沪蓉高速行驶8.3公里,朝华蓥山旅游区方向,靠左(全路段收费)

29继续沿沪蓉高速行驶200米,朝邻水,G42,沪蓉高速方向,靠左(全路段收费)

30继续沿沪蓉高速荇驶9.5公里,靠左(全路段收费)

31继续沿沪蓉高速行驶3.5公里,朝垫江,G42,沪蓉高速方向,靠左(全路段收费)

32继续沿沪蓉高速行驶1.2公里,朝G65,大竹,达州方向,靠左(全路段收费)

33继续沿沪蓉高速行驶460米,朝垫江,万州,G42方向,靠左(全路段收费)

34继续沿沪蓉高速行驶12.2公里,靠左(全路段收费)

35继续沿沪蓉高速行驶4.2公里,靠左(全路段收费)

36继续沿沪蓉高速行驶8.6公里,朝收费站方向,靠左(全路段收费)

37继续沿沪蓉高速行驶2.4公里,靠左(全路段收费)

38继续沿沪蓉高速行驶13.5公里,朝垫江,万州,G50,长寿方向,靠右(全路段收费)

39继续沿沪蓉高速行驶190米,朝长寿,G50,重庆城区方向,靠右(全路段收费)

40继续沿沪蓉高速行驶480米,直行进入沪渝高速(全路段收費)

41沿沪渝高速行驶1.2公里,靠左(全路段收费)

42继续沿沪渝高速行驶3.6公里,靠左(全路段收费)

43继续沿沪渝高速行驶11.7公里,靠左(全路段收费)

44继续沿沪渝高速荇驶15.2公里,靠左(全路段收费)

45继续沿沪渝高速行驶8.2公里,靠左(全路段收费)

46继续沿沪渝高速行驶3.3公里,靠左(全路段收费)

47继续沿沪渝高速行驶8.4公里,朝长壽,涪陵方向,靠右进入桃花街互通(全路段收费)

48沿桃花街互通行驶680米,朝涪陵方向,靠左(全路段收费)

49继续沿桃花街互通行驶200米,直行进入长涪高速(全蕗段收费)

50沿长涪高速行驶6.9公里,靠左(全路段收费)

51继续沿长涪高速行驶7.5公里,靠左(全路段收费)

52继续沿长涪高速行驶6.9公里,朝南涪高速,南川,黔江,丰都方向,靠右进入马鞍互通(全路段收费)

53沿马鞍互通行驶740米,直行进入南涪高速(全路段收费)

54沿南涪高速行驶3.7公里,靠左(全路段收费)

55继续沿南涪高速行駛5.1公里,靠左(全路段收费)

56继续沿南涪高速行驶2.2公里,朝南川,G65,G69方向,靠左(全路段收费)

57继续沿南涪高速行驶1.3公里,直行进入银百高速(全路段收费)

58沿银百高速行驶3.7公里,靠左(全路段收费)

59继续沿银百高速行驶2.0公里,靠左(全路段收费)

60继续沿银百高速行驶7.8公里,靠左(全路段收费)

61继续沿银百高速行驶13.6公里,靠左(全路段收费)

62继续沿银百高速行驶11.5公里,靠左(全路段收费)

63继续沿银百高速行驶4.4公里,朝武隆,黔江,仙女山方向,靠左进入双河口互通(全路段收费)

64沿双河口互通行驶1.2公里,直行进入包茂高速(全路段收费)

65沿包茂高速行驶17.2公里,靠左(全路段收费)

66继续沿包茂高速行驶16.7公里,靠左(全路段收费)

67继续沿包茂高速行驶10.2公里,靠左(全路段收费)

68继续沿包茂高速行驶18.1公里,靠左(全路段收费)

69继续沿包茂高速行驶15.7公里,靠左(全路段收费)

70继续沿包茂高速行驶5.8公里,靠左(全路段收费)

71继续沿包茂高速行驶10.9公里,靠左(全路段收费)

72继续沿包茂高速行驶10.8公里,靠左(全路段收费)

73继续沿包茂高速行驶10.5公里,靠左(全路段收费)

74继续沿包茂高速行驶30.4公里,靠左(全路段收费)

75继续沿包茂高速行驶1.6公里,靠左(全路段收费)

76继续沿包茂高速行驶2.1公里,靠左(全路段收费)

77继续沿包茂高速行驶11.6公里,靠左(全路段收费)

78继续沿包茂高速行驶1.2公里,靠左(全路段收费)

79继续沿包茂高速行驶15.4公里,靠左(全路段收费)

80继续沿包茂高速行驶7.1公里,靠左(全路段收费)

81继续沿包茂高速行驶4.0公里,靠左(全路段收费)

82继续沿包茂高速行驶14.8公里,靠左(全路段收费)

83继续沿包茂高速行驶23.6公里,靠左(全路段收费)

84继续沿包茂高速行驶3.0公里,朝酉沿高速,沿河,遵义方向,靠左(全路段收费)

85继续沿包茂高速行驶9.9公里,朝酉阳,吉首方向,靠左(全路段收费)

86继续沿包茂高速行驶3.2公里,靠左(全路段收费)

87继续沿包茂高速行驶5.2公里,靠左(全路段收费)

88继续沿包茂高速行驶21.5公里,朝秀山,吉首,G65方向,靠左(全路段收费)

89继续沿包茂高速行驶5.1公里,靠左(全路段收费)

90继续沿包茂高速行驶9.5公里,靠左(全路段收费)

91继续沿包茂高速行驶3.3公里,朝S63,S15,G56,秀山南方向,靠左(全路段收费)

92继续沿包茂高速行驶1.2公里,朝边城,吉首,张家界,湖南方向,靠左(全路段收费)

93继续沿包茂高速行驶15.9公里,靠左(全路段收费)

94继续沿包茂高速行驶3.7公里,靠左(全蕗段收费)

95继续沿包茂高速行驶5.5公里,靠左(全路段收费)

96继续沿包茂高速行驶7.4公里,靠左(全路段收费)

97继续沿包茂高速行驶13.6公里,朝吉首,茂名,G65方向,靠左(铨路段收费)

98继续沿包茂高速行驶4.1公里,靠左(全路段收费)

99继续沿包茂高速行驶5.3公里,靠左(全路段收费)

100继续沿包茂高速行驶10.7公里,靠左(全路段收费)

101继續沿包茂高速行驶8.3公里,靠左(全路段收费)

102继续沿包茂高速行驶10.6公里,朝S99,龙山,吉首北方向,靠左(全路段收费)

103继续沿包茂高速行驶3.1公里,朝吉首西,乾州,G56,懷化方向,靠左(全路段收费)

104继续沿包茂高速行驶3.1公里,从吉首市世纪大道,吉首西,乾州出口离开靠右(全路段收费)

105行驶2.1公里,靠左(部分路段收费)

107行驶1.6公里,直行进入建新路

108沿建新路行驶630米,朝荣光路,载福路方向,由环岛走第3出口进入世纪大道

109沿世纪大道行驶1.0公里,调头

110继续沿世纪大道行驶310米,右轉

113行驶20米,到达终点