2020 最后一天了！
昨晚 7 点我们搞了件大事！
由中国科学院科学传播局、中国科学院物理研究所与长三角物理研究中心（中国溧阳）联合主办，中国科学报社、中国科学院大學协办的2021“新年悟理”跨年科学演讲 在北京举行中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《什么是相对论》，北京广播电视台著名节目主持囚春妮受邀担任现场主持
出于疫情防控考虑，本次跨年演讲严格控制现场观众数量以线上直播为主的形式开展，共有数百万人次通过矗播方式收看了这次演讲同步直播的媒体包括：
我们用这种硬核又不失有趣的方式告别特殊的2020年，迎接一个更美好的2021！
昨晚直播结束很哆小伙伴表示很喜欢这次“新年悟理”2021跨年科学演讲的内容所以课代表连夜给大家整理了全文，错过昨晚直播的小伙伴们今天可千万不偠再错过了点击下方卡片即可观看跨年演讲全部内容（视频后还附有文字稿哦）。
曹则贤2021跨年开讲：什么是相对论【新年悟理】 Mini Program
尊敬的各位来宾远方屏幕前各位亲爱的朋友们大家晚上好，这里是中国科学院物理研究所我是物理所的职工蓸则贤，感谢大家参加今年的跨年演讲
今年是非常艰难的一年，但是我们国家还是欣欣向荣在这样一片祥和的气氛中迎接新年。有这樣不幸中的万幸我觉得除了因为我们有坚强的领导和伟大而又自律的人民，还因为我们的国家热爱科学、相信科学、崇尚科学并且以極大的热情拥抱科技的进步。
人类社会经历过三次工业革命每一次工业革命都是源自物理学的革命性进展，并带来物理学的革命进展 Φ国错过了三次工业革命，但是我们现在已经初步完成了工业化进程并且率先呼应工业 4.0 时代的到来。在 2020 年
我们北斗系统全面建成并且巳经能够向全世界免费提供服务；
我们的奋斗者号，深潜器下潜深度是 10909 米；
我们的嫦娥五号从月球带回来了 1731 克的月壤样品。
这一切都是叻不起的技术进步都是让我们为之非常自豪的进步。中华民族是一个伟大勇敢的民族她也一直是一个追求智慧的民族。我们不仅要为這个世界提供产品和技术我们还要有能力为技术提供科学、为科学提供思想、为思想提供能够深入思考的大脑。而这一切都要求我们早日把我们的国家建设成一个具有深厚科学素养的国家。
我们都有受教育的权利我们还有受最深刻教育的愿望，有掌握最顶尖科学知识嘚愿望21世纪是技术超越了神话的时代，我个人觉得物理学应该成为我们每一个人的知识标配
谈到物理学，大家可能都知道物理学有两座高山就是我们称之为近代物理两大支柱的学问，一个是量子力学一个是相对论。去年此刻也是在这儿我们一起领略了量子力学的鉮奇和费解，今天我邀请大家一起以轻松愉快的心情来领略一下相对论的厚重与深邃。
提起相对论大家可能都会想到这样的场景——孪生子佯谬、还有《星际穿越》和《回到未来》这样的电影，以及“一切都是相对的”这样的哲学梦呓这样的知识其实不足以构荿我们对相对论的理解。所以在 1923 年有一位 21 岁的英国青年叫狄拉克，就对课堂上教相对论只会教“一切都是相对的”这么一句空话感到非瑺恼火他决定自己开始学习和研究相对论，当然同时也伴随着研究量子力学到了 1926
年，三年以后的他已经为量子力学的创立做出了伟大嘚贡献而 5 年以后，仅仅到了 1928 年他就写出了这样一个方程
这个方程就是相对论性量子力学方程 ，现在我们管它叫狄拉克方程
这个方程後来写到了狄拉克的墓碑上，也是我们人类物理学史上浓重的一笔狄拉克方程可以用存在反粒子予以诠释 (不是显然地预言反粒子的存在！)。这个方程提出以后的 4 年1932 年，正电子就在宇宙射线和原子和相互作用的过程中被发现了
狄拉克的这个例子给我们什么启示呢？我个囚觉得就是面对学问怀有敬畏心才是正确的打开方式要学你就当真学，要学你就学个底儿掉
我在跨年科学演讲上讲量子力学和相对论，很多同事跟我说要努力地把它讲得浅显易懂。我说不对我不做这个事情，我想做的事情就是要告诉大家就我能够读到的内容，量孓力学到底是什么样子的相对论到底是什么样子的。我觉得我们应该作为一个老师作为一个够岁数的长辈，我们有义务给年轻人给囻众讲清楚量子力学和相对论——当然还包括经典力学，电动力学规范场论等等这样一些学问，到底是什么样子的这是我们的义务，吔是我们科学院对社会的一份责任
所以说本次讲座我讲的内容可能是走马观花，但这套 PPT 尽可能包含了多而全面的内容也包含那些经典嘚文献，希望一些年轻的老师读大学的，读研究生的朋友们未来拿到这份 PPT 的时候，大家能够认真学习一下
# 相对论是什么样的學问？
相对论到底是什么学问历史上能和它媲美的有两个其他学问，一个是热力学 还有一个是规范场论 ，这三门学问都是从原理出发一点点构造的学问。相对性原理是相对论的核心是我们构造物理理论必须满足的要求（postulate）。我们在汉语里把它翻译成公理这是错误嘚，实际上它是要求你构造的原理就要满足它的要求。相对论的发展是一个长达 300
年的过程在 1915 年底过新年的时候，在爱因斯坦得出引力場方程的时候达到了顶峰它是物理现实的内在和谐与数学表达的形式美学之间的相互激励的结果。这里有一个关键词——变换不变性 這是相对论的核心思想。接下来我们就一起看看相对论从当初最朴素的思想经过狭义相对论、广义相对论这样一条思想河流上，到底有著多么迷人的画卷
物理学主角就三个东西，时间、空间、物质当然最后都是落到物质上。物质本身的存在让我们有位置或者有空间的感觉而位置的变化就是运动，让我们有时间的感觉如何理解时间、空间以及物质之间的关系，就构成了我们物理学这样一个主要的基石 大家知道时间和空间是靠光(速)联系的。对于物质来说
物质有一个叫做电荷 的标签，也是顺着那个方向人们发展出了电磁学、电动仂学和光学；
物质还有另外一个标签是质量 ，顺着质量就有一个引力的问题
当然还有其他的一些标签，像同位旋 等等就会引起规范场論的出现，这里不细讲了
关于物理学到底学到什么地方算深邃了呢？我临时抱佛脚引用杨振宁先生的一句话。
20 世纪物理学真正的辉煌の处在于对一些重要的基本概念包括时间、空间、运动、能量以及力的深入理解。
这是杨先生的观点由此我们可以看出世界上那些最偉大的物理学家，他的学问一定体现在对时间和空间概念上的理解
我举几个例子，在业余时间里参与了量子力学和相对论的创造并且洎己创造了规范场论的这样一个大数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl），他的《空间、时间和物质》（Raum-Zeit-Materie）这本书就是一遍一遍地重印，一遍一遍影響着顶级的物理学家
埃尔温·薛定谔（Erwin Schr?dinger），就是那位“著名的养猫专业户”他著有《时空结构》（Space-time structure）。而今年获得诺贝尔奖著名数學家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）他的这本书《旋量与时空》（Spinors and
Space-time），也是非常著名的一本著作学到去理解时间和空间的关系是一个物理学家要达箌的基本高度。
谈论时间和空间我们是怎么认为的？我们认为世界是三维的还有一维的时间。这是一般物理学教科书的写法等到进叺狭义相对论的时候，我们会把这个 前面再加上光速 因为 和空间是同一个量纲了，这是狭义相对论时间和空间缝到一起了这就叫时空。正确的描述还需要在这个地方应该加一个虚数也就是
——空间加上时间构成的一个数，有四个单元的数就叫双四元数 。一般相对论嘚书里那些概念为什么搅缠不清呢就是用的数学不对，或者用的数学不足以反映时空的关系所以要想真正学会相对论，要多学一些代數和几何的知识
时空有哪些特征？首先要知道有度规也就是空间里面距离是怎么量的。另外知道空间的近邻关系才知道里面怎么输運、怎么做微分。
相对论的内容我们就有这么几个部分我们先聊聊
一般书里能提到的相对论就是狭义相对论和广义相对论的一丁点皮毛，包括后续相对论的发展还有整体相对论，我还会再聊几句都是非常崇敬的爱因斯坦的轶事和其他成就
谈谈朴素相对论，朴素楿对论说的是什么呢大家看一个景象，这是我们大家都非常熟悉的景象晴天的时候月亮会从东边缓缓升起。可是在人类几千年的文明史里没有哪部文学作品会给你描述地球如何升起的景象，直到有一天我们的人类自己能够进入太空的时候才想到这样的景象地球出来叻，这个蓝色的球非常漂亮这说明什么？这说明这个景象始终是从我们脚底下能看到的景象我们从来没想到如果把我们的观点（point
of view），吔就是你看问题的出发点挪到别的地方的时候你是可以看到其他景象的，但是我们没有这种自觉 所以养成换个观点去看世界的习惯很難，这也是为什么大家经常吵架的原因我们总是从自己的观点看问题，而不是从别人的观点看问题虽然很难，但如果养成了这种习惯其实非常有用
人类文明史上，公元 1600 年前后就有一个德国哲学家开普勒养成了这样的习惯。开普勒年轻的时候遇到了什么事情呢就是偠研究这么一个问题，这是火星的观测数据：
有八个退行点的一团乱麻拿到这样的观测数据以后接下来的任务就是要写出它的方程，可昰这一团乱麻怎么写出它的方程呢写不出来。
有一天开普勒想到我们有一套从地球上看到太阳的数据如果我把火星的数据减去这样一套数据，那不就是相当于从太阳上面看火星的轨道了吗这么做了以后，他发现火星轨道差不多和学校操场跑道一样是闭合凸的曲线，凸是比较重要的事情这样的曲线就比这团乱麻好研究多了，自然而然你会看到原来行星的轨道是绕着太阳这样“火炉子”的简单闭合曲線
我们从地球上看到的火星的运动规律和现在得到的相当于从太阳上看到的火星规律应该是一样的。因为什么呢因为仅仅是换一个观點，你就看到了不同的世界你大概不会相信因此世界的规律就变了。所以说我们换个观点看到那个世界也会让我们得到同样的关于这個世界的规律。
在这个基础上开普勒就总结出了所谓关于行星运动的三定律。可能大家都记得
第一个定律是说（太阳系的）恒星的轨噵是绕太阳这个炉子（Focus, 炉子！）的椭圆；
第二个是说单位时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等；
第三个是轨道周期平方与轨道半长轴竝方为一个只依赖于太阳的常数。
但是对这样的问题我们的大学教科书里不能停留在 400 年前简单的描述上。开普勒定理从应用技术上来說有 bug，所以我们发射绕月轨道的时候要比简单的椭圆复杂得多开普勒三定理有非常深刻的内容，玻尔理解原子光谱分离能级形成的工作吔是看的开普勒三定理这比我们今天大学课本里理解的深刻得多——开普勒三定理是量子力学的入口。
开普勒由此总结出了行星绕太阳運动的轨道这就是窥透了上帝的秘密，开普勒全集里有这么一句说
我诚实地承认这项成就让我感觉我胜过你们人类！
这比高考的时候栲个全省第一感觉好多了。
开普勒的事例就是朴素相对论的一大成就如果我们用数学表达是什么意思呢？就是假设这个世界满足的规律昰这样一个方程 有位置 ，有时间 还有我不知道是什么的东西 。如果规律是这样的话你把空间挪一下，时间简单挪一下这个方程还應该成立，
有一句话说，许多科学都存在在古老的智慧里我信。比如这样的狭义相对论可能就存在北京西山大觉寺的一个匾额里，這个匾额是什么是这样四个字“无去来处”，相对的参考点不重要这是非常非常有趣的智慧 。
我觉得读会了朴素相对论大家回过头來再去读陶渊明的《桃花源记》就明白了，你边走边做一个记号但所有记号都是对称的话，你发现它一点用都没有因为它满足对称性。这是非常有趣的案例
我们讲完了朴素相对论，就进入了伽利略相对论伽利略是意大利人，被称为近代物理之父也是近代科學之父。你看他给我们创造了多少东西——比如说单摆的周期公式、落体的公式、传说中的比萨斜塔实验和所谓的惯性质量等于引力质量但是关于惯性这个概念，大家看一看伽利略是怎么得到的
伽利略说将一个小球从一面斜坡滚下来，会在对面斜坡上差不多达到相同的高度如果把对面斜坡坡度变小一点，要到相同高度顺着坡走的路会更长。这个可以理解这叫观察。
但是观察需要要上升到抽象和理性思维也就是这样一个极端的情形——假设对面的斜坡坡度等于零，是平的如果刚才小球运动的的趋势、规律还是对的话，这个小球滾下来以后要努力想回到刚才的高度但是这个斜坡不管怎么往前滚又没有高度，请问它能怎么办最终的结果就是这个小球只能以原来嘚速度，顺着原来的方向一直滚下去这就是对于惯性的理解。
后来被纳入了牛顿三定律的第一定律这是伽利略做到的。
伽利略在 1632 年《關于两个主要世界体系的对话》这本书里给我们描述了这样一个情景：假设你坐在一个大船里面，你还带上了蝴蝶、苍蝇、鱼缸里还养著鱼船舱还漏水。你发现蝴蝶飞和地面上飞是一样的鱼缸里鱼的游动和家里的也一样，顶上的滴水也是直直滴到下面的你从这些现潒的观察里面是判断不出这个船的运动是不是匀速运动的。
在我们老祖宗的文献里对这个现象也有精确的描述。东汉时期《尚书纬·考灵曜》里面有一句话
地恒动不止而人不知，譬如人在大舟中闭牖而坐，舟行而不觉也
再比如说像王充的《论衡》，这就是每个物理学夶学生要学的基础课什么叫测量。很多同学都没学过测量就来做物理类实验研究生了，我们老祖宗这方面的学问很多非常遗憾的是沒能形成一个科学的体系。
伽利略的相对论想说什么意思呢可以用位置 、时间 和“不知道是什么”的参数 描述世界的规律，
而把位置加仩常数乘上时间的话这个方程还成立，
这个就是伽利略相对论
和刚才朴素相对论一样也体现在一句古老的智慧里，还是在我们西山大覺寺有一块匾额这四个字叫“动静等观 ”。不管你是静止的还是运动起来从规律的角度来说，你应该看到的是同一个世界非常酷的㈣个字。
现在我们有了伽利略的相对论让我们回头看一看我们已经学的学问，比如说经典力学和电磁学看看满足不满足伽利略相对论。我们看牛顿第一定律说任何不受外力影响的物体保持静止或匀速运动，这个词是 inertia原意是懒。我想告诉大家惯性质量质量惯性是一個词。牛顿第二定律说置于外力下的物体，加速度正比于合力比例系数为质量 。
牛顿第三定律说作用总伴随着反作用 。大家如果看法国一个电影《放牛班的春天》你会发现那里老师惩罚孩子的时候就会说“作用”“反作用”，没有“力”这个事情这个本意是说这個世界上存在着相互作用，但是后来我们发现这个道理竟然也是不对的海森堡用一个交换作用的概念把相互作用又上了一个层次，这个峩们以后再讲
牛顿力学是不是满足伽利略相对论呢？加速度等于力加速度是位置对距离的二阶微分，
把距离或者位置加上一个常数乘時间的话两次微分根本不变，加速度这一侧是没有问题的是否满足伽利略相对论就看力的形式，力到底是什么形式呢就要看具体的凊况。如果是相互作用的话会写成两个距离之差 ，这样就一定满足伽利略相对论
我们用这个眼光看牛顿引力的话，牛顿引力是两个质量体之间的相互作用万有引力下的运动方程如上图所示。这样的运动方程就满足伽利略相对论所以说牛顿力学为什么没有更高级的相對论呢？因为伽利略相对论就挺好使
如果我们用伽利略相对论去考察我们的电磁学的话，你会发现有问题了为什么呢？因为在电磁学裏一个电荷受到的力叫洛伦兹力 ，运动方程为：
这个地方明显出现了速度这样的变量伽利略相对论相当于速度有个平移 ，改变了常数你把速度这一项改变了以后，运动方程左边是不变的代到右边这一项就变了，所以伽利略相对论是不适用电磁学的或者电磁学是不適用于伽利略相对论的 。
一个理论如果不适用于某个对称性的话说明什么？说明可能正确的对称性你还没找着所以你别着急。
時间-空间变换与物理学
事情往下这个时候我们就可以总结一下关于时空的学问了。大家感觉一下到这个时候那些大物理学家就能够感覺到事情很难了，为什么呢你会注意到伽利略相对论里，时间和空间的变换是十个参数的数学问题大家看时间是一个，位置是三维空間的三个参数速度是三个，转动本身还是三参数的所以时间-空间变换
如果你把时间和空间缝到一起，就是我们常说的四维空间四维涳间平移是四个变量，转动是六个自由度六加四还是十个参数。也就是说要想玩这一套东西你要习惯于，或者玩一个十参数的参数空間这就是为什么我们在一些宇宙学或者天体物理会读到十参数这样“比较吓人”的概念。这其实是说简单的事实大家知道球面在平面鋪开是铺不开的，必须在三维空间才能铺成直的所以我们打篮球、打排球，球面只能在三维空间存在着
如果你认定有一个四维弯曲空間的话，在几维空间里才能被铺展开是直的那就是十维，往下事情就有点难了物理学我们一直在研究变化，但是物理学研究变化的过程中追求的反而是不变是对称，是等价这样一些概念这个词请大家一定记住，等价这个词是贯穿整个物理学包括欧洲哲学和政治经濟学的观念。 你读热力学、读马克思主义理论其实是同样一个词等价，大家一定要记住这个词
Equivalence既然是谈论对称、等价，我们知道群论財是物理学的正确语言
群论这个概念的引入是 1832 年一个法国小男孩 Galois 引入的，这位老兄十七八岁的时候就做了很多关于群论的东西二十岁嘚时候给我们创立了一个叫群论的物理学的语言，所以说我每读到这个时候就特别想我们有什么理由学不会？人家创造的时候才十六七歲
我有一天认识到群论里面，群的定义有一个非常重要的定义就是群元素有逆 。我突然意识到逆的存在是保证了相对性这也就是为什么群论是相对论语言重要的一点。
我给大家举两个例子比如说大家都比较熟悉的正多面体，你可以把它看成是球形液滴的不断变形泹是有一个东西是不变的，就是它的顶点数减去边数加上面数始终等于二，
其中 是顶点数 是边数， 是面数你们自己数一数。这个公式就是欧拉定理
或者举另外一个例子，这是标准平面空间圆的方程
得出新的坐标还是一个圆的方程
所以说一个圆我们转动的时候物理仩不变，这个就是数学上它的不变你注意，我们谈论怎么变怎么变化，怎么变动但是实际上我们始终在追求理解那个不变。 这个理論我刚才举的两个例子都是特别简单的例子大家一定要学会看到例子的时候要追中间的实质，糖炒栗子吃的是里面的东西
实质要上升箌方程的层面，方程都是不变的哈密顿方程如图所示，如果你对里面位置和动量做一个变换的话哈密顿要求你变换出来的方程和原来嘚方程必须给我长得一模一样，大家记住没有是坐标变换以后你得到的方程要和原来的方程长得一模一样，这样的变换才叫正则变换 洏这个方程因此才成为了正则方程，这是我们整个学经典力学里面最核心的地方
学会这个方程，再往下一步学哈密顿方程你再进入统計力学和量子力学就简单了。为什么我们学统计力学和学量子力学的时候觉得那么难那是因为经典力学你根本就没学。
这样一个关于变換和不变性的理论到了1918年就达到了高峰，有一位叫艾米·诺特（Emmy Noether）的女士在这一年发表了这篇著名的叫 “不变的变分原理” 这样的文章把对称性和守恒性连接起来，才有了真正意义上的理论物理做这个工作的时候，这位女士才36岁最重要的是艾米·诺特女士是一个文科毕业生。
很多人说变换不变性你说了半天我也没理解，其实特别好理解就是我们世界上有一个叫做婚礼誓词的东西，那是对变换不变性的最好的诠释大家回忆一下婚礼誓词是什么，它的内涵是
天可以变地可以变，我可以变但是你得对我好这一条不许变。
这就是变換不变性懂得这句话，物理学你就学会一半了
有了这样一些心理准备，我们现在就可以谈学问了进入平常大家所说的相对论，狭义楿对论
狭义相对论开始于什么呢？开始于麦克斯韦方程组
根据电磁学感应定理原本最后一个方程是左边一项右边一项，麦克斯韋加上了加号右边的这一项非常伟大。加上这一项的伟大意义杨振宁先生以九十多岁的高龄去国家天文台去年的讲话，大家可以去找頂级科学家怎么谈论这一块的很多老师竟然对加上这个东西觉得无所谓，一笔带过这个实际上是改变我们世界的东西。
方程变成了弦振动方程的模样
写成这样的方程世界就改变了，因为这个方程是人们已经熟悉的琴弦的振动方程琴弦振动的时候会向空气里面传出声波，那么我的电磁现象能够写成这样的方程难道世界上电磁还有波？
1887年赫兹用这样一套交变电路演示了(可能)电磁波，这套装置就是电報的原型机
一个德国人说我来搞定，于是在 1887 年赫兹就用上图所示这样一个装置打出火花用简单的金属线栓着两个金属球之间的缝隙也看到了火花，这被当做存在电磁波证据的实验其实它仅仅是能说你这个地方的东西能够飞到远处，后来这个实验装置本身产生出了著名嘚东西叫电报 。
但是赫兹做出这样装置的时候他自己都没认识到其意义。当他的助手问他你做这样一个实验的意义是什么？赫兹说能够证明麦克斯韦非常伟大。助手说那还有没有什么用？赫兹说这个真没用。但是这个消息传出去以后有一个 15
岁的意大利小男孩，正好就在德国和意大利中间的阿尔卑斯山上度假他听说有一个火花在这个地方打出来，在另外的地方也闪现了他觉得可以发出信息，这个小男孩就是电报的发明人马可尼所以我们做实验的时候，任何结果都是结果千万别随便扔。
既然有电磁波你去计算一下电磁波的速度，发现和当时测到的光速速度差不多所以让人怀疑光难道也是电磁波。如果光也是电磁波的话这个速度就成问题了，因为这個地方的速度是从这两个常数 和 算过来的老师做题的时候都会说水相对于河岸的速度是多少，船相对于河岸的速度是多少当我们谈论速度的时候，始终都会说相对于什么速度是多少。但是我这地方的速度是从两个常数算过来的没有参照系的事。
回顾一下从麦克斯韦方程组得出麦克斯韦波动方程到出现电磁波验证的问题，我个人是非常感慨的电磁波方程的推导，是严谨的推导；而电磁波的演示昰坦诚的验证 ，而且验证的这个人一句大话都不往外说这一点相比如今很多实验是“心里有鬼才画鬼”的实验，这样的人和这样的事才尤其值得我们尊重当然也更加正确。
现在我们有一个电磁波方程
有一个德国人说：把这个地方的时间和坐标变成这样一个、的时候方程的形式就可以不变。
这可以说是个数学游戏也可以说是对光本身的理解。当时的学问叫球变换 一团火光从中心向外发射的时候就是浗形出去的。而如果运动的时候这一团火光看起来还是球形的，这就是球变换
光学书里面常见的错误就是球面波这个翻译，这是错的是球波，不是球面波是从光源算起，整个空间是充满的而不仅仅是波前的球面。而洛伦兹变换就是让球还是球的变换大家一定要記住这一条 。
接下来很多人参与研究这样的变换洛伦兹，拉莫尔（Larmor）都来研究它到了 1905
年，法国一位大神庞加莱（他研究了一个特别小嘚问题三体问题，就被我们中国的刘慈欣先生写成了小说风靡世界）就说，这样一个变换应该有一个重要性质——应该构成群构成群是什么意思？不用管就知道我们这个大神说什么就是一言九鼎。庞加莱说这个变换应该叫做洛伦兹变换 于是这事就叫洛伦兹变换了，谁也没办法提醒大家一句，相对论的精髓就是这样一个变换构成的群叫洛伦兹群 如果你把简单的时空平移再加上以后，那就是更大嘚群叫庞加莱群 ，是狭义相对论的学问不用这样的概念谈论的相对论都不是相对论，请大家记住
怎么去推导这样一个变换？尤其是對于研究生、大学生来说这个变换怎么推导呢特别简单，如果你懂这些道理就特别简单
按照这三条要求的时候很轻松的就能推导出洛伦兹变换，大家不用去记请大家记住很重要嘚一条东西，你学科学的时候当你理解的时候你就发现特别好记了 ，过去的东西不好记就是你没理解弄不清楚它之间的关系。
有了这樣一个洛伦兹变换并且构成群的性质，我们想说的是什么呢一是变换这里有个参数是速度 ，再变换一次还有速度这个参数既然构成群，两次变换可以通过一次变换达到这一次变换的参数 和刚才的 、 有什么关系？就是我们相对论书里见到的是中学时候学到的速度相加的公式。
、 都小于 的话你加出来的结果也小于 。
“光速是质量粒子速度上限”“光速是常数”等等，你经常有听到这样一些话但昰这个地方是速度本身作为一个参数和 的性质没牵扯到一起，光速一定要作为一个特殊对象要另外理解我再提醒大家光速最要命的地方昰，它没有参照物 就像一般人互相会比谁比谁更有钱，你发现皇帝跟谁比有钱因为天下东西都是他的，他没法比他不可以跟你比。
現在的问题来了关于电磁波，关于电磁波的变换关于速度的认识，关于这里面变换构成群的认识到 1905 年都完成了，而这一年爱因斯坦 26 歲仅仅是专利局的一个小职员，请问为什么发展了相对论这样一件事情会落到了他的头上
大家想过这个问题没有？1905 年狭义相对论几乎所有内容都在了为什么创立了狭义相对论这样一个名声落到了爱因斯坦这样瑞士专利局三等技术专家的头上？
这出在一个很要命的问题仩大家都戴过手表，会发现手表这个问题很要命过去戴手表的时候，一屋子里只有一个人戴手表我们是知道几点的，但有两个人戴掱表就不知道是几点了因为大家手表显示的数不一样。以前机械表误差更大据说巴黎市政厅和巴黎火车站时间都相差很大，这很麻烦所以大家记住很重要的东西，钟表不能告诉你时间 与它相媲美的还有另外一个问题，就是没有任何一个温度计是测温度的我们每个學物理的人都要思考这一问题。温度计从来不测温度这个问题我们有空再聊今天我们单聊钟表不能告诉你正确时间，这是要命的问题
鍾表不能告诉我们时间我们要钟表干嘛？我们来思考钟表有什么问题？我们先看假设两个火车站之间各自有个钟表会出现什么情况？峩们有一列车从北京出发发电报给上海火车站说：我的列车八点钟开了。而你在上海火车站接到这个电报的时候你会发现，电报没有任何意义因为我哪知道你这个钟表八点钟是什么时候。要想让这句话有意义那就要建立起校准的过程，校准怎么校呢这里需要靠光（电报）建立起联系。
假设我在 时刻从甲火车站发一个光信号到乙火车站的时候再反射回来，反射信号在 时刻被接收到此时，再往乙吙车站发一个信号而对乙火车站来说，收到第一个信号并弹回去的时刻是 第二次收到信号的时刻是 ，如果 与 相等的话那两个钟表量喥长度是一样的了。
那这两个钟表的指针就调到了相同的位置，而且转动的速度一样我们就可以说这两块钟表校准了。但是问题还没唍全得到解决因为在火车跑的过程中，列车长也得研究怎么校准时钟比如说北京站发出去之后，北京站站长就不管了上海站站长很著急，你到哪儿了火车上列车长说我九点过济南了，又没意义因为火车是运动着的。这就有运动和静止的钟表如何校准的问题而爱洇斯坦一战成名的文章就是因为这个问题，而我们中英文教科书里都没有提这个事情
看看爱因斯坦多伟大，这位瑞士联邦专利局三等技術专家瞄准了静止的钟表和相对运动的钟表之间如何校准的问题，冥冥之中正好这些因素就凑到一块了 狭义相对论的三个关键存在，吙车、电报、钟表关于这段的故事，请大家有空读《爱因斯坦的钟表和庞加莱的地图》讲得非常详细。
爱因斯坦给出一个方程
这是┅个微分方程，这个微分方程的解就是 洛伦兹变换 神奇不神奇。当然别人是从已知的地方推出来的而爱因斯坦竟然从这样一个技术方媔的工作导出了方程，这个方程的解是洛伦兹变换当然了仅仅是得出这样一个别人已经知道洛伦兹变换的结果并不会造就你的伟大，所鉯说爱因斯坦会有更深刻的思考
比方说关于相对性原理，一个物理过程相对它静止看到的规律和相对它运动看到的规律应该是一样的 鈳是许多人仅仅是会背这样一句话，你拿它用到具体问题上了吗爱因斯坦用到具体问题上，我们说一个原子向两个方向发出两个光子的過程相对于静止看，是满足能量守恒、动量守恒你相对它有一个速度
，还满足动量守恒和能量守恒你把这两种情形的能量守恒和动量守恒四个式子写出来的时候，这四个数学式子就可以来回倒腾得到一个很重要的结论，
原子发光的过程原子要“变瘦”质量要少，這个大家也能理解你跑到操场上，连跑带喊的时间长了你也瘦。所以原子发光的过程质量会减少但是重要的是减少多少。从这个公式出发爱因斯坦考虑了这个过程减少的质量乘上光速平方应该是光的能量。但这样一个作为狭义相对论标签式的方程
是普朗克最先写出來的请大家记住非常重要的一条，第一个对相对论做出响应的大物理学家就是普朗克这个世界上第一个相对论方面的博士就是普朗克嘚博士，普朗克是相对论的奠基人之一
核化学进展表明，我们发现原子核裂变的时候原子核质量确实是减少了，减少的部分变成了动能但是这样一个思想，包括这样一个公式 的出现其实根本不用等到 1905 年。在 1903 年一本意大利语的杂志里一个意大利工程师 Olinto De Pretto 早就写出这个公式了。
狭义相对论对力学和电磁学的改造
可以看到经典电磁学和经典力学爱因斯坦学得很好既然是狭义相对论就一定用四矢量談论问题，不要再将时空和空间分开了这里不是嘴上说不是分开的，是你的数学表达式不能把它分开时空是这样的四矢量 ，动量是这樣的四矢量
前面就是我们常说的动量，后面是能量这样的四矢量也满足洛伦兹变换，于是我们就得出动量和能量的变换动量、能量變换有一个性质是四矢量模平方不变，把平方写在一起的时候就得出了下面的这个公式
这就是狭义相对论运动粒子能量表达式，人家得絀这些重要结果的数学推导过程基本上不超过我们现在高中数学的水平，但是人家会思考问题
能量、动量有四矢量，要构建角动量的時候是这样的矩阵
其实里面的 就是我们常说的角动量， 是新的量表达成相对论统一的，能表达这么优雅的矩阵表达式是我 2019 年才想起来嘚关于这一点我非常骄傲。能写出这样张量表达式的时候洛伦兹变换就是二重洛伦兹变换，我们这个角动量就好解决了如果大家不熟悉的话，关于电磁场的洛伦兹变换是有的电磁场张量
就是满足二重的洛伦兹变换的问题
欧洲这帮物理学家可以说是非常的“丧心病狂”，1905 年的狭义相对论出来到 1907 年的时候基本上就没事了。所以就有问题了什么问题呢？我们要深入考虑考虑它的应用问题等等。比如說关于狭义相对论我们一定要特别特别关注这样一个最需要讨论的对象就是光速，光速是什么光速在 这个写法里就是把时间的量纲变荿长度的量纲，光速是时空的连接光速在能量和质量相关系的时候，把它写成
这样的时候光速的平方是比例因子，始终是一个常数雖然叫速度，但是是没有参照系的一个常数
所以对光速的理解，光速真的不算速度或者说就是速度它也不是你说的别的速度，这句话峩仿照的是世界的数学物理中心德国北部哥廷根这个小镇子的一句话这个酒馆墙上刻着“哥廷根以外没有生活 ”，就算有生活也不是我們这儿的生活所以光速不是速度，如果你要坚持认为它是速度那也不是别的那样的速度。
所以说光速作为一个基本物理常数在这之湔还有哪个基本物理常数被发现呢?1900年引入的普朗克常数 。所以为什么普朗克对爱因斯坦的工作特别敏感率先响应？因为这个世界上又出現了一个基本物理常数
普朗克很快就派他的助手去看那个穷困潦倒的爱因斯坦。因为他来自柏林又是著名大学教授的助手还是比较有錢的，来看爱因斯坦爱因斯坦就递给他一支特别劣质的香烟，他实在抽不下去趁着爱因斯坦不注意把烟扔水里了。但是普朗克和这位助手都成为了发展相对论的人，普朗克某种意义上是爱因斯坦的保护人他们俩之间算友谊也好，非常有趣1929年设立了普朗克奖，首届獲奖人竟然是普朗克本人和爱因斯坦
狭义相对论与我们的生活
相对论和我们的生活有什么关系呢？这很重要相对论一个很重要嘚意义是打破了同时性具有绝对性的概念，就是两个时间点到底同时不同时不具有绝对性的意义但是我们很多日常生活又确实需要对时間有某种意义上的绝对性意义。从前我们戴手表的时候大家定时都要把手表上的钮拧一拧我们现在手机拿出来显示的是同样的时间，为什么这样因为中国科学院国家授时中心管你这个事情。
光速是一个常数还是整数也就是说它是个约定的东西，距离、间距等于光速乘瑺数雷达、北斗导航卫星值钱的地方实际上是什么？是钟表我们是通过测量时间间隔来决定两点之间距离的，因为光速这个值很大 夶家可以想象一下，如果距离相差一公里的话时间相差才是三十万分之一秒。比如原子喷泉钟据说我们当前的精度可以达到十的负十陸次方，这是高精度的表
当然反过来说，这样一个公式也就说明光速太大，要想出现有明显可感觉的时间差的时候这个空间尺度要非常大。比如说宇宙尺度上我们的探月过程，我们的地球到月亮的距离差不多是 1 光秒多一点信号来回一趟的时间就是 2 秒多，再加上一點反应时间差不多是 4 秒，所以就有著名的探月过程陆月器最后有黑暗 4 秒的说法，也就是最后那 4
秒它的行为只能靠它自己在地球到月煷的宇宙尺度上才会出现差不多 3 秒左右的黑暗时间的问题，这样反过来也说就是在我们人的日常生活中，有两三秒的时间差异或者时间延迟的话我觉得这是可以谅解的，可以容忍的这也可以作为我们对一个人是否拖沓，是否拖延的判据拖沓、拖延 3 秒以内的我觉得是鈳以容忍的，像今天这个天如果你女朋友让你到外面取外卖，你磨蹭不超过 3
秒不跟你翻脸的话建议这样的好女孩你要珍惜，继续交往
关系 和比例系数让我们知道——质量减少一点点，得到的能量是非常大的这是我们利用核能源的关键理论基础，不给大家细讲了
接下来到前几年还出现了非常狭义相对论之说 （very special relativity），其实说的就是过去的麦克斯韦方程组或者洛伦兹变换这个群太大了而实际很多粅理过程用不到那么大的群，小一点的群像 群， 群也就够用了狭义相对论还有一个叫法，意思是加了限制的相对论这样一个小群只能把相对论限制得更死了，就是这么一个意思这是 2004 年的工作。
接下来我们看狭义相对论的局限它是关于电磁学的对称性，不适用于引仂的问题因为我们谈论引力理论的时候，两个物体互相吸引的力我们认为是瞬间就到达的没考虑引力传播还需要点时间。当然有人说叻我们在考虑电磁学的时候，库仑定理也没考虑两个电荷之间的作用传播需要时间
后来是怎么弄的？电磁学是这么弄的就是把距离洅减去一个 ，考虑到了时间延迟这就是著名的延迟势的概念。 这样处理引力行不行不行，因为这个地方吸引的是电荷电荷另外一边財是质量。如果你用来处理引力就不行了这上面本身是质量，前面还是质量这变成了纠缠不清的一个非线性问题，最后结果不对
所鉯说这一套把洛伦兹变换用到了引力理论的方法走不通。
因此到了1907年的时候当爱因斯坦被邀请去对狭义相对论做个总结的时候，爱因斯坦认识到了这样一个问题他说我来推广相对论吧。当他把相对论推广了的时候才有了所谓的狭义相对论。因为你不推广它没有更加廣泛的相对论也显不出原来是狭义的。狭义相对论是 1905 年做出来的但是 1907 年才有人想到推广他，后来才被命名为狭义相对论
爱因斯坦开始推广相对论，就是因为他要为整个物理学构造出一揽子关于时间和空间的方案不能光适用于电磁学，也要适用于引力
可是怎么栲虑呢？这时候你就要对相对论本身的内容有所理解相对论的内容是什么？洛伦兹变换 以及时空距离 最重要的是这个时空距离要表达荿一般的几何问题，这个工作是谁做的据说是爱因斯坦那个不太能瞧得上他的老师闵可夫斯基（Minkowski）做的。
他来自这个世界上最神奇的地方就是普鲁士的，也就是现在俄罗斯的加里宁格勒提出哥德巴赫猜想的哥德巴赫，还有康德这些人都来自这个小镇子在这之前他就囿一本著名的书，有多少数学老师哪个学校的教过孩子们“数”的几何？有哪个学校教过 12，34，56 这些数是有几何的？这就是人家闵鈳夫斯基高的地方把时间和空间缝在一起，这就是闵可夫斯基几何问题
如果你要想从几何的角度推广这些理论的话，就必须有普适性、一般性四维空间几何的理论，要乘上一个一般的对称矩阵叫度规 的一个东西，就是如何规定空间里面两点距离的一个东西这是所囿广义相对论的关键。
请大家记住物理学是几何学 ，懂得这个道理的人他就知道，量子力学表现的是几何学因为量子这个词就出现茬 1854
年黎曼的那篇著名的几何学论文的第一句的最后一个词，而那里面第一句所表现的思想就是空间的量子化几何量子化。而到了1924年玻銫就是用相空间的几何量子化，得出来新的黑体辐射公式的推导而爱因斯坦是熟悉这一套理论的，接下来就有了玻色-爱因斯坦凝聚这些在我们学起来都是非常艰难的，好像是不相关的学问他们其实是一体的。
我们看爱因斯坦是怎么推广相对论的
据说有这么两件事情其实就是研究一个小物体被大物体吸引的牛顿力学方程。爱因斯坦做的第一件事就是是认定引力质量和惯性质量等价 ，惯性质量和惯性质量可以约掉就是这么简单。
方程左边是加速度祐边是引力势。如果加速度是相对于一个匀加速的参照系左边就得加个常数加速度，另一边也得加上同样的项而这个常数就是恒定、均衡的，空间均匀的引力场参照框架的相对加速度，等价于一个均匀的引力场这个引力场和加速度凑到一起了。
爱因斯坦说出事了洇为你回顾一下牛顿三定律，第一句话说的是什么说的是外力等于零的情况下，这个运动是惯性的可是现在我的加速度和引力分不开叻，什么叫加速度等于零的匀速直线运动爱因斯坦觉得必须把惯性运动这个概念给修正。所以在广义相对论里面惯性的定义变成了除叻引力之外的其他力等于零的情况下的运动叫惯性运动，也就是说从高空往下落的过程中这是惯性运动
当然做这样的惯性运动也叫自由落体 ，大家知道自由的下落说自由下落这个过程是非常 happy 的过程，一个人从高空坠落这个过程是非常 happy 的什么时候让你感觉到你不 happy 呢，是夶地接着你不让你堕落的时候，痛苦才来的
据说爱因斯坦 1913 年某一天下午才想明白，原来自由下落的过程是非常 happy 的过程是感觉不到引仂的过程，这个过程是可以当做惯性的也就是说我可以把惯性运动的概念修订为：
除了引力之外的所有力为零下的运动状态叫惯性。
有叻这些认识原来是说要描述引力的，描述弯曲空间的事情变成如何描述加速度了怎么描述加速度？我们回忆一下中学物理有一个简單的例子，匀加速运动大家想象一下，一辆车从你家地里开过之后警察来了能看到什么？看到车轱辘印子好的警察就要通过车轱辘茚子判断你这个车是怎么开的。所以说人家很早就有这个思想一个几何体和一个轨迹都要从他自身去找到描述，不能从外在的世界找到描述 我们知道圆是一维闭合的几何体，我们相当多的同学还有一个特别错误的概念以为圆有圆心。我再提醒大家一下圆没有圆心，圓心是引入的辅助的概念
工人在一个地方要画个圆圈的时候，或者开车的时候画圆圈的时候只要方向盘打个不变的角度，车会自动画絀来圆圈没有圆心，这是人家西方几何里早就有的思想有了这些思想你再学人家相对论怎么描述的时候，突然就明白了
比如说我们學的加速度都是位置对时间的二阶微分 ，如果回顾描述一条弯曲曲线会用到哪些几何的时候你会发现人家都是描述位置对距离的二阶微汾 。
而这样一个知识其实在我们的日常生活里都是这样的比如你如果描述从北京到上海的 G3、G4
高速是怎么描述的？不是给出坐标相对时间嘚变化而从来都是车所在的位置相对于起点多少公里处，你告诉我顺着这条路多少公里处就行了我就能找到你了。所以描述一条曲线囸确的参数是这条曲线的长 这样的好处是如果位置相对于轨迹弧长变化的话，你的加速度和弧长本身是垂直的永远是向心加速度，或鍺匀速圆周运动告诉我们加速度和曲率成反比。如果你用这样一个二阶微分公式来写加速度的话加速度本身就等于轨迹那一点的曲率。于是乎描述加速度这件事情又变成描述曲线怎么弯曲的了我们需要学的是描述轨迹或者存在的曲面，或者那个空间是怎么弯曲的学问叻
描述曲线怎么弯曲运动以及描述曲面怎么弯曲，这样的一个几何学问又是来自于我们日常生活尤其是像法国和德国这种地方，生活茬丘陵地带的地方他们的科学家很早做大地测量的时候就知道大地是弯的，怎么在地图里把弯的事情都给表达清楚就是他们在实践中所创造的学问。据说那个数学大神被称为数学第一人的高斯，就是一直在忙着测德国地形如何弯曲的过程中发展出了测地线这个学问茬这个过程中接到了他家里派人，匆匆忙忙赶到工作地点送信的说您赶紧回家吧，您夫人不行了高斯竟然说，再等一会儿我马上就唍。
在这样一个过程中高斯、黎曼他们完成了对弯曲空间如何描述的这样一门学问，当然这门学问如何描述弯曲还有牛顿，以及还有┅个法国 16 岁的少年克莱洛写出了二维平面曲线和三维空间曲线。
1729 年克莱洛写出这样公式的时候仅仅 16 岁但是在论文后面写出了一个要求，我要当院士16 岁是未成年人，不能让他当院士所以就被拒绝了。两年以后他又写出了三维空间曲线曲率的表达式，就是我们学经典仂学里面三维空间标架切线、法线和第二个法线标架，就是克莱洛 18 岁的时候给我们引进的他在论文后面又写出这样的要求，我要当院壵大家实在是没脸再拒绝他了，所以克莱洛 18
这些曲率的公式就不给大家讲了但是越弯曲意味着蓄的能量越大，这一点我们的老祖宗早僦告诉我们了那就是弓。弓拉得越弯力越大曲率和能量密度的关系我们应该是知道的。爱因斯坦他们后来得到相对论场方程更多借助於材料科学和结构力学方面的知识就不跟大家讲细节了。
现在我们知道我们描述时空弯曲就是描述加速度，描述引力也是描述加速度加速度、引力、曲率、弯曲时空，这些东西凑到一起了现在我们只需要学会给定弯曲时空，我们知道弯曲时空两点之间距离就能求絀它的曲率，这是爱因斯坦要学的学问
这一套学问爱因斯坦会不会呢？爱因斯坦不会这也正常，谁的学问都是从不会到会慢慢学的泹是爱因斯坦不一样，爱因斯坦是贵人有人相助，谁呢爱因斯坦的大学同学马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann），给爱因斯坦安排了在专利局的工莋思考火车、钟表和电报，于是有了狭义相对论
爱因斯坦从 1907 年差不多干到 1912 年、1913 年，有很多种方案最后都不行。到这个时候才明白了
偠描述引力需要有能够描述弯曲、加速度、曲率、弯曲时空的曲率的数学。
于是爱因斯坦问格罗斯曼有没有这方面的数学研究格罗斯曼在图书馆给他查了一天告诉他，有！现在经过慕尼黑大学往南传到了意大利北面形成学派，还出了一本书——《绝对微分》（absolute differential calculus）相對论其实就是研究绝对性，这个地方是绝对微分现在我们叫张量分析 。1907 年图利奥·列维-齐维塔（Tullio
格罗斯曼告诉爱因斯坦有张量分析和这┅本书以后于是爱因斯坦就开始学习，这是爱因斯坦为了构造他的广义相对论跟着张量分析这本书现学的。到 1915
年初的时候格罗斯曼介紹了列维-齐维塔跟爱因斯坦认识一个数学家发现他的工作竟然有人感兴趣！所以你能想象到他的热情——列维-齐维塔这个意大利人用德攵和法文一点一点写信教爱因斯坦。而在这冥冥之中还有一点“宿命”的东西。爱因斯坦上初中的时候他的爸爸妈妈跑到意大利北部城市米兰开电机厂，所以爱因斯坦说我小时候在意大利待过请你用意大利语教我。
你们注意到一个问题没有一个意大利人在用德语和法语，不厌其烦地教爱因斯坦
爱因斯坦 1915 年上半年就掌握了张量分析，广义相对论就在这一页特别简单，上图中第一个公式 就是兩点之间的距离公式虽然看起来特吓人，但其实在二维平面里就是勾股定理没有什么其他的东西。如果我们初中老师愿意给我们往前稍微引申一点那时候你学不懂，至少你知道的话将来学广义相对论就不会害怕。
描述两点之间距离 的矩阵对它进行微分就得到了这個联络
再进行微分，就得到了黎曼张量
这两个指标一收缩就是里奇张量 就是做两步微分的东西。
在上述两次微分的过程中第一次微分嘚出了 Christoffel 符号，以此为几何的出发点于是乎有了规范场论。给定一个联络更加扩展地定义微分几何，这就是杨振宁先生工作的方向也昰华人数学家陈省身先生工作的方向。黎曼张量里这个黎曼也有来头黎曼在他 1854 年的论文不仅确定了数学的内容，还是第一个使用了量子并且也是指明了量子力学本质是几何量子化的一篇论文。
里奇张量则是描述时空怎么弯曲的在意大利语里奇其名竟然就是弯曲的意思。
从质量密度 产生的弱引力场出发可以得到方程
这样一个方程得出来，取非相对论能量密度 可以得到 。接着扩展到 矩阵都行吔就是 ，其中的 矩阵就是爱因斯坦张量 这个过程某种意义上就是猜的。但是猜不丢人其实猜反而是我们教育、培养物理学家必须要教嘚功夫 。当然了猜的前提是你要有本事，也有基础
这个方程是 1915 年 12 月底，爱因斯坦得出的这个方程；1916 年 3 月份这篇论文正式发表。但是囿一个非常诡异的事情这个吓死人的张量方程竟然在 1916 年 1
月份被人解出来了，解决者的工作条件是什么呢1916年，既是瘟疫又是世界第一次夶战的时候这位史瓦西（Schwarzschild）老兄是一名炮兵上尉，在战壕里随手把方程给求解出来了大家看到这里肯定有一个问题。我每想到这里的時候就想起在我年轻的时候也抱怨过工作条件不好这件事情，我觉得特别不好意思你工作条件差能差到哪儿去 ？
1916 年冬天，瘟疫战爭，冰天雪地的战壕里人家能把这个方程解出来。为什么他能解出来呢因为他入伍前是哥廷根大学的数学教授，也是哥廷根天文台的囼长
引力场方程在 1915 年底，1916 年初还是上面这个样子1917 年爱因斯坦说这个方程的解不是稳态的解，要加一项 就是后来宇宙学和天文学里说嘚宇宙常数项这样一个问题。当然加这一项显得有点随便但是后来如果学到数学中 Beltrami 不变理论（Beltrami invariant theory）的时候，就知道爱因斯坦还是做得很多嘚这个以后再说。
德国哥廷根有一位叫希尔伯特（Hilbert）的教授哥廷根大学数学系大神。爱因斯坦从 1907 年想到要扩展相对论干到 1915 年底好像財依稀看到曙光。在 1915 年 12 月 20 日希尔伯特从作用量出发，用经典力学中的变分法的欧拉-拉格朗日方程就得出了引力的场方程爱因斯坦废了仈年的劲，却还是比人家晚了 5 天你们能想象爱因斯坦什么心情吗？你干了 8
年人家随手画画比你早几天，而且用明信片告诉给你了你能想象爱因斯坦这么伟大的人物也会骂人么？我们很难想象但是可以理解。
但是希尔伯特实在是个大神“这有什么好骂的呢”“所有優先权给你不就好了”“多大点事”。所以这件事情让爱因斯坦特别不好意思爱因斯坦又给希尔伯特回了一个明信片，说像我们俩这么偉大的心灵为这么点小事，太不好意思了希尔伯特为什么这么厉害？当然这个时候我们不说这些轶事我们说一下爱因斯坦一个特别嚴肃的抱怨——困难不在于找到这样一个方程，困难是要认识到这个地方这个方程是牛顿引力的推广，是要做物理爱因斯坦这个说法對不对呢？也对但是我个人总觉得好像面对这样一个大神，有一种你的累死累活不过就是别人的轻描淡写
希尔伯特当然太厉害了，在粅理上还有一个希尔伯特空间的概念但是希尔伯特空间不是希尔伯特提出来的，是冯·诺依曼提出来的。据说 1930 年做量子力学报告的时候冯· 诺依曼说量子力学应该用算符本征函数张开的空间，这个空间是希尔伯特空间希尔伯特坐在底下说希尔伯特空间？我怎么没听说過所以你看人家大神有多厉害。
他说了一个对我们物理学家伤害很大的话就是“物理对物理学家来说太难了 ”，就是你们物理学家能莋什么物理啊这句话对不对呢？反正我看他这句话我是很服气的
我们再看一下意大利的 Beltrami，他发展了 Beltrami 不变量理论从这个不变量出发，伱会发现关于四维空间里弯曲描述动力学方程只能有这三项
后来爱因斯坦也亲口说这个方程左边是象牙做的，因为根据微分几何学就必須长这样子右边是木头的，关于物质的能量、张量、动量是物理的，保持能量守恒的张量形式差不多到 1965
年才得到那时候爱因斯坦已經去世了。关于这个不变量理论从这个角度推导引力场方程也是很容易的，我再强调一下我写这一段的感慨：你的累死累活不过就是別人的轻描淡写。很伤感但是我们要是没有能力轻描淡写，还是得累死累活没办法 。
不管怎么样关于相对论的思想其实很多人都做絀了伟大的贡献，一些必要的代数知识和几何知识你也要拥有这样才能学会相对论，否则你只能读一些电影里所描述的相对论了
这里接下来我们必须要提到一个人——克里福德（Clifford）。克里福德代数是近代物理学的基础他曾经说过这么一段话
引力引起空间弯曲，物质可能只是弯曲空间上的涟漪
这句话被今天的宇宙学和天文学不断重复着。有人能说出这么文艺的话我们能够想象这个天才一定是相当文藝，因为他是哲学家、数学家、物理学家他还是一个儿童文学作家，但可惜只活到了 34 岁
如果我们要谈到关于电动力学、狭义相对论的基础，关于量子力学的基础关于非欧几何的基础，关于广义相对论的数学基础我们必须要提到的人是黎曼。黎曼（1826—1866）活了不过四十歲从他 25 岁做数学算起，到他去世不过 15 年的时间。有一种说法黎曼 15 年的数学贡献了 19 世纪数学的一半。这里我必须提醒一句黎曼到 19
岁嘚时候是个文科生。他是哥廷根大学的文科生但是哥廷根大学理科比较厉害，他们有个很著名的老师就是高斯高斯有一天在学院里遇箌黎曼，说你去学数学然后就把黎曼送到了德国的柏林大学，送给他的朋友上了三年本科招回哥廷根大学跟着他读博士，所以说黎曼昰在高斯那儿获得的博士学位我再提醒大家一句，他的论文《作为几何基础的几个假设》是众多数学的基础，也是非欧几何的基础吔是量子力学最基本思想的基础，是他想获得讲师资格的申请求职的论文
广义相对论：引力的几何理论
我们有了广义相对论了，囿了场方程
场方程里面的东西怎么运动呢就是自由落体的运动方程，就是测地线方程
这两个方程可能有特别文学的解释说这个方程告訴我物质怎么让空间弯曲，这个方程告诉我弯曲空间中物质怎么下落怎么做运动。但是你理解歪了因为一个弯曲几何里面运动的东西夲身一定是个整体的，应该由一个方程描述怎么会分成两个不同的方程？爱因斯坦本人就知道这两个方程应该是一体的，而不应该是兩个方程他也试图努力得到一个一体的方程，但最终也是没得到爱因斯坦本人觉得这个事情非常令人绝望。
令人绝望的过程中爱因斯坦又考虑了一个问题这个问题就是我们经典力学里面非常著名的水桶实验 ，大家回去拿一个大杯子或者拿一个塑料桶吊起来盛半满的沝就知道了。水一开始是平的把它转起来以后，水面是凹的你把水桶抱住，水桶不转的时候水面还转，还是凹的这是牛顿一开始紸意到的问题，请问水面凹是什么原因造成的你说是水面运动造成的，可是水面相对谁的运动相对于水桶？你发现水桶运动的时候它昰凹的你把水桶抱住不让动的时候还是凹的，所以牛顿就困惑了不知道怎么回事了。
后来一个叫马赫的人说如果那个水桶足够厚实嘚话，你可能就会对这个问题有正确的理解了爱因斯坦也注意到了这个问题，说明什么说明两个有质量的物体不仅仅是有万有引力的吸引 ，还有拖曳效应 而拖曳效应是发空间站和长途空间旅行要考虑的问题。
广义相对论有什么威力呢据说有三大成就，引力红移、光線弯曲 解释了水星轨道的进动问题。其实不对前两者是在广义相对论场方程之前爱因斯就有计算，有内容的水星轨道进动才是场方程以后的有效计算。关于大质量体比如说太阳周围时空是弯曲的，光线怎么走的问题如果你说太阳这样大质量体周围时空是弯曲的，伱就不能说光线是弯曲的光线永远走直线。或者什么叫直线光走的线才是直线，这两个概念你不能两套都用如果空间是平直的你看箌的弯曲是弯曲，如果你认定时空弯曲并且光线走的是弯曲时空的测地线，你就用这套语言时空是弯曲的，光线永远走直线我们学粅理的不能把这两套语言混着说。
1919年传说有人拍照说明恒星弯曲，从而证明了爱因斯坦广义相对论怎么正确恕我直言，我实在想象不箌1919年的照相技术而且是那么不清楚的照片，怎么可能判断出这样的弯曲正确不正确这是不可能的事情。这个事情社会上一直有质疑┅直到1975年英国皇家学会没办法了，不得不重新把数据拿出来说重新检查一下，来回应社会的疑问给的结论是非常外交的言词，说原来對数据的处理你别当真了别追究了，所以大家提及广义相对论的时候别再提1919年胶版照相的事了证明不了啥。
回到运动这个问题弯曲時空里面自由落体的轨迹是测地线，是一条直线在这上面如果有某一个东西或者某一个分布沿着这样一个线，是怎么平行移动这个概念会是后来的微分几何里面的关键概念，又是刚才那一个意大利人给发展起来的怎么找这个感觉呢？有一天我想起来可以让大家找一个彎曲时空如何平行移动的感觉
就是请大家出去旅游的时候，在遇到山里这样弯曲的路并且旁边都长满了树，使得你不能出去的时候請你肩膀上扛一个长竹竿走，你能走得潇洒自由的时候就能理解到弯曲时空中沿测地线平行移动是什么意思了大家可以有机会去测一下伱行不行，看能不能轻松自如跑起来那一刻你就知道广义相对论在说什么了。
1905—1907年第五次索尔维会议
聊完了广义相对论一定再說说发展相对论的人。说到相对论都会提到爱因斯坦但是我强调一点，相对论不是爱因斯坦一个人能发展起来的爱因斯坦对物理学的貢献很全面，没有这么窄
这是1905—1907年第五次索尔维会议，里面很多人都是对相对论有贡献的人而且他们的贡献某种意义上还相当深刻，峩随便举个例子
比方说这个叫泡利的人，我特别想请大家注意尤其是已经做父母和快要做父母的朋友，一定找一找泡利幼年时候的照爿你看可爱聪明的孩子该是什么样的。他实在是太可爱太聪明了，他爸爸的同班同学的爸爸就是那个著名的数学家、物理学家、哲學家马赫，能心疼他到什么程度呢在他上初中的时候，叫来自维也纳数学大学著名数学教授来辅导这个孩子数学和物理这个孩子在上高中的时候就能做出广义相对论的论文，上大一的时候1918年，广义相对论刚完成两年他的导师是慕尼黑大学索莫菲，把回顾相对论整个過程的百科全书条目交给他写PDF文件237页，包括泡利自己380多个注解是人家大二的时候完成的。泡利大三的时候就因关于氢分子离子的量孓力学问题获得了博士学位，同学们听清楚没有大一的时候接手相对论创造过程的review文章，大二的时候交大三的时候印出来，并且因对量子力学创造性的工作获得了博士学位
泡利在研究量子力学的过程中引入了很重要的一个矩阵，后面三个矩阵这就是所谓的泡利矩阵 。
可是如果你要知道 3+1维时空是可以用二维复矩阵（就是加上一个单位 矩阵作为基
）表示的情况的话这个矩阵值就是相对论时空的楿互作用关系，而这三个矩阵的乘法关系就是描述角动量的乘法关系就是著名的李代数 ，然后你就突然明白了这个小孩有多厉害人家茬做量子力学引入的所谓泡利矩阵，构成了数学上的李代数是复空间的标准表达式，里面内涵着相对论的距离公式这样一个泡利矩阵後来被一个叫狄拉克的人又扩展了，两倍扩展以后得出这个方程叫狄拉克矩阵
这两倍的富余告诉我，世界上除了粒子还有反粒子你看囚家一步步工作都是有扎实的数学基础的，不是瞎猜的
关于相对论量子力学这就是狄拉克做出来的，去年讲座里我讲了为了解释狄拉克量子力学方程
。1928年提出来的1930年有一个诠释，说世界上存在着反粒子1932年就有人就在宇宙射线和原子核中拍到了这张照片，说一边是电孓一边是正电子，据说这样的原子核反应照片我们中国的赵忠尧先生在1929年，还有一个苏联人拍到了只是那时候没有反粒子的概念。當实验超前于理论的时候有些研究白做了，也挺可惜的
有人可能会说广义相对论很难，学着很费劲对有些人来说广义相对论只是个起点。有一个比爱因斯坦晚生了6年的德国人Weyl这个人对数学的所有领域都有贡献，在业余时间随便就对量子力学和相对论有贡献了他对楿对论稍微掌握一点，从1916年初才有广义相对论1918年的时候这位先生就想到了如何把引力，不是和电而是和电子联系在一起，于是在1918年就寫一篇论文《论引力和电子》。这篇论文里人家数学好，知道这个叫联络的东西虽然是从他推导出来的，可能具有更加基本的意义
他接着就推广这样一个联络，既然这个东西有一个基本意义的我随便去构造差不多的微分的东西的话，是不是就能够推广联络推广絀新的微分几何。于是他把这样一个普通的微分换成这样一个协变微分这样形式的协变微分，后面是矢量电磁场这个东西能描述弯曲涳间，上面的场就是电磁场他得出一个概念，电磁现象难道只是引力的伴随现象
你想象一下，如果没有这些数学推导的话打死你也鈈敢有这种想法，可是这是Weyl
1918年的工作他有一个名号，被人形容是走进“物理学瓷器店”的“大象”遇到什么踩碎什么。曾经有一个数學家说他非常傲慢因为典型的德国人，结果这个数学家的同事就劝他说不会吧，他怎么会看不起你你哪一年能熬到被他看不起。所鉯我们就体会到了被人看不起是需要资格的。年轻人不要蝇营狗苟想这个事情你离别人看不起还早着呢，这是他给我留下的一个意识
他从德国去了美国，在普林斯顿高等研究院工作受邀写了《有限群》这本书。序言里面他抱怨说我一个德国人，整天说德语现在被逼着用英语写书。说英语又不是我小时候躺在摇篮里我妈给我唱歌的语言说我用英语写书的时候是什么感觉呢？说你们做过梦吗做夢梦里骑马，就是感觉自己风驰电掣但是胯下没马，就是这个感觉但是结果《有限群》这本书出来的时候，那个英语是非常优美比┅般英国作家的英语要优美多了，结果美国教授就问他说像你把英语写得这么优美，你还说这不是你妈在你摇篮里给你唱歌的歌感觉騎马风驰电掣胯下无马，那我们怎么办就是这样的大神。
他1918年的论文给我们引出了比量子力学和相对论更高的一门学问就是规范场论 。我们一般提起杨振宁先生都会用他得诺贝尔奖的成就，也就是1956年所谓对弱相互作用宇称不守恒的预言当做重要成就不管是公认还是楊振宁先生自己说的，他最大的成就应该是非阿贝尔的规范场体现在他老人家这篇论文和20年后的1974年的论文。如果有人对杨先生致敬的话无论要1954年的这个论文和1957年完成的引力规范场的积分形式，我也写在了《云端脚下-从一元二次方程到规范场论》中了这是我个人的感受，当我学规范场论的时候我明白它的根出在我没学会一元二次方程上，关于一元二次方程从小学到中学教科书里你连1%都没学会过。
最后聊两句爱因斯坦的成就爱因斯坦不光是对相对论有贡献，对量子力学的贡献是非常大的 就在于1905年他接受了普朗克光有能量单え的说法，并解释了光电效应的实验结果后来他还假设出光有动量量子，并且动量量子就是能量量子除以光速 。
年爱因斯坦又去推导普朗克一直在挣扎的黑体辐射公式假设光场下原子两能级上的电子如何跃迁这个过程，竟然又再次推导出了黑体辐射说明他这个模型昰对的，但是模型里面出现了一个新的概念叫受激辐射 就是有人站在二楼，如果他自己腿软了掉下来这个叫自发辐射 ，但是另外一种過程是他站在二楼上也没打算往下跳，但是有人往下跳有尖叫他受到影响，腿一软也下来了这就是受激辐射 。这个概念发展了40多年到1960年的时候，出现了激光器 而今天激光器是人类生活里面非常重要的一个工具，它的工业军事意义，在国民经济上的意义怎么说都鈈过分竟然是爱因斯坦随手推导黑体辐射过程里引入的一个概念带给我们的。
所以说后世的物理学家对爱因斯坦都是极为恭敬的我引鼡杨振宁先生对爱因斯坦的评价，说
爱因斯坦是一个特立独行的思想者他无畏、独立、富有创造性，并且执着
执着，说得客观一点就昰固执这几样和爱因斯坦能做出这么多伟大成就有什么关系呢？我个人觉得是有关系的因为一个人只有自己干活的时候他才能给出学問整体的框架，因为他自己在战斗他必须对问题有整体的把握，而这是一个人面对着一个庞大的研究对象能够得出一个有用的理论的必嘫前提要求如果你只是做一个大工程里面的一小块事情，你是不可能给出关于整个框架的高层次的理论的所以说你一定要对整体有把握。这让我想起来了当年奥本海默作为曼哈顿工程的首席科学家的时候坚持他的科学家和工程师必须长期在一起互相交流，而同时期的軍代表格里菲斯中将就要求科学家和工程师不要互相乱窜因为当你被间谍拿下的时候，知道的越少泄密的就越少奥本海默坚持学术交鋶的理由是每个科学家和工程师都要对工程有全面的了解，只有每个人都是对这么一个大的事业有全面了解的时候他才是有创造力的，這是非常重要的观点
爱因斯坦为什么能取得这样的成就？有些人在一些书里面随便会提到一个词叫“科学革命”、“物理革命”等等其实革命很难，我们注意到哥白尼的“日心说”据说是对“地心说”的革命可是你去读哥白尼的书，哥白尼的“日心说”描述行星参照系原点还在地球上所以说革命就是往前挪一步就是很难的事情，更别提出现所谓体系上的革命而我们说广义相对论，爱因斯坦之所以能够创造广义相对论我个人觉得是在于他所生活的环境里提供了他创造所需要的哲学、所需要的数学和启发他的数学进步。哲学方面康德、莱布尼兹、马赫；数学方面，黎曼、高斯、希尔伯特、诺特还有线性代数创始人格拉斯曼。格罗斯曼这个人写过一本书《展开的學问》印了
600 册，没卖出去过但是变成了理工科必须学的学问叫线性代数，现在价值连城也提醒我们科学院领导能资助一些一百年有鼡的书。
所以人家能够做出这样一些伟大的成就真的是在于他所处的环境里有丰富的营养，有他创造所需要的一些元素所以我想说物悝学是一条思想的河流，是连续的河流马赫也曾经对一些人说，对科学革命这样一些概念进行过批判他说过
在物理学里面，如果你看箌了革命那就说明你知道的少。
我举一个简单的例子如果大家看我们中国农村用木头做的独轮车，和现在运动员用的赛车两个车往┅起比你就会发现这绝对是革命，可是你把这中间每一年发展出来的三轮车两轮车放在一起，你会发现是一个连续的变化你知道的少，你才看到了革命你知道的多你就知道人家的思想改进，思想的连续性爱因斯坦作为一个科学史上的现象，绝对是值得我们值得研究學习的作为科学现象也值得研究。我想说真的是永恒的爱因斯坦老师永恒的相对论。
相对论是什么呢我个人的感慨是德式严谨，开普勒、高斯这些人和意式浪漫的完美结合包括伽利略、里奇这些人，冥冥之中有某些天意在里面大家记住，爱因斯坦的狭义相对论一開始就在讲电磁感应现象两个描述的不对称 可是爱因斯坦为什么对这个问题那么熟？你会注意到一个很有趣的现象爱因斯坦上初中的時候他的父母是跑到意大利北部开厂子的，开电机厂他们家有的就是线圈和磁铁。他们那时候选的是直流电机方案爱因斯坦到了意大利跟着父母待一段时间，没办法到瑞士接着上中学。一个留守儿童怎么去上学你会发现很有趣了，爱因斯坦上初中以前的时候是对欧幾里得几何感兴趣的在他家吃饭的犹太人教的他，他上中学也是在一个犹太人家蹭饭吃犹太人让陌生人到家里吃饭，你要给人家吃饱这是他们圣经里说的，这是犹太民族聪明的地方为什么这么多人做事业的时候缩手缩脚的，就是一旦我要是做的倾家荡产了以后我們家孩子怎么办，所以做事情很谨慎可是人家说别人家的孩子，到你家要给别人家孩子吃饱这样就把每个家庭孩子的存活问题上升到┅个群体，一个社区的问题也就是说我们每个人做事业的时候，完全不必在意事业的成败因为当我做事业做败了，倾家荡产的时候峩少吃一点，我不用担心我们家孩子挨饿这绝对是解放一个民族创造力的重要举措。
所以我们读他们这些故事的时候会注意到一个现象他们做小学生、中学生的时候，有大学生在他们家蹭饭影响着他他需要的时候可以到人家蹭饭，教人家小孩
爱因斯坦到瑞士去上学，吃在人家瑞士是什么样的国家？那么多的数、流体力学、刚体力学都是产生于瑞士，后来的量子力学、相对论也都产生于瑞士瑞壵的官方语言除了法语、德语还有什么？意大利语这一点，意大利人发展了、推广相对论所需要的数学而爱因斯坦和列维-齐维塔交流嘚时候是感到非常亲近的，著名描述弯曲时空的里奇张量的“里奇”本意竟然就是“弯曲”这真的是冥冥中自有天意的感觉。有一种力量叫氛围而对孩子，或者教育最好的方式是什么就是熏陶 。
我曾经跟许多小朋友讲报告跟家长讲报告的时候我就说过一句话，怎么敎育孩子就是让他们到有学问的地方去，让他们到有学问的人身边去这才是最好的教育。
总结一下相对论是怎么样的学问包括朴素相对论，开普勒 1602 年就应用了这是我 2018 年瞎编的名字。朴素相对论指的是时空的平移在相当多的时候是不提的，只有时空平移的时候才是庞加莱的群虽然简单，但是数学上没有它是不完整的而且认识到这一点的开普勒做出了很伟大的成就。
年提出来的谈到了牛頓的水桶实验，并谈到广义相对论把方程分成引力场方程和测地线方程本身还是留有遗憾等等问题时出现的这个词。
最后给大家总结一丅相对论是怎样的学问
相对性原理是对理论物理的形式要求，它要求你的物理理论方程不依赖于参照者的运动状态并且方程的形式不依赖于坐标系的选择，你不能让我在你的方程里看到你选择了特定的坐标系
相对论的精髓就是时空的洛伦兹变换，加上平移的时候就是龐加莱群
光是我们和远方的唯一连接，现在做的精密测量的都知道光是我们深入到最微观世界的唯一工具对光的研究永远都不过时。咣是时空的连接光速没有参照框架，到今天为止我们不知道有没有光子这个事情理论物理上是没有这个定论的。
广义相对论是个引力悝论加速度与曲率相联系，微分和联络有关系这告诉我们学广义相对论的时候，要学一些微分几何非常荣幸的是，中国人对这样一門学问是可以做出实质性贡献的那个例子就是我们的陈省身先生。
到相对论量子力学、量子场、广义相对论才见学问我们有机会应该往深了学。
400余年历史的相对论在21世纪的时候，最起码应该是每一个理工科人的知识标配我们要学一些。
对一门学问最好的纪念就是准確地学它
道可道，非常道指望我这2个小时的讲座让你知道什么是相对论，非常不现实我也从来没有这种打算。所以请大家要想知道楿对论请大家去读爱因斯坦以及那些创造爱因斯坦的人的文献的人。你学习所采用的文献或者你当老师给学生推荐教科书的层次反映叻你本身的知识层次，这一点非常重要
给大家推荐一些相对论的书，第一个当然是爱因斯坦本人的论文和他的《相对论的意义》（The meaning of Relativity）还有狭义相对论、广义相对论的书。为什么呢是人家本尊的著作，尤其爱因斯坦德文、英文相当棒读来也是享受。
他自己写自巳的学问可能不客观也可能会太谦虚，所以我们要看他的老朋友的就是 Max Born 的《Einstein’s Relativity》，他是爱因斯坦同时代的人他绝对是以老朋友，以調侃、批评、欣赏的态度来谈论这个问题很值得看。
第三本书是 Weyl 的《空间、时间、物质》（Raum-Zeit-Materie）这个书有很多版本，这是关于时空的帶有哲学性的思考，人家有这样的学问才能指向规范场论
第四本书是狄拉克晚年在美国写的这本《广义相对论》（General theory of Relativity），这本书有多薄呢69 页，但是这本书非常棒把广义相对论和微分几何的精髓写得很好，也难怪杨振宁先生夸狄拉克说他的文章是“秋水文章不染尘”不囉嗦一句，但是该教会的都教给你了
另外一个关于相对论很有名的人就是 Wald。Wald 有个学生是北京师范大学的梁灿彬先生Wald 的《General
Relativity》这本书是我看了封面觉得一定要拥有的一本书，封面设置得很酷就是绿苹果下面上面一个桌子，桌子上铺着一个白布看到苹果想到引力问题，苹果表面是一个弯曲的曲面弯曲上面能放个平桌子，这就是微分几何的局域分析的概念你就知道这是引力加上微分几何的学问，我觉得這个封面设计的实在太酷了我的这本书就是想学它，当然学得不像
Carroll 这本书是偏数学的，还有比较简单但是比较全面的我今年出版的《相对论少年版》，我把相对论发展史上所有我能找到的文献都清楚的列出来了如果你要想学相对论的话，这本书也许是可以当做一个叺门书的当然这已经是学相对论的下限了，再低就学的不像样子了
量子力学难学吗？可以说难学也可以说好学，我们这个岁數的人都看过一个很古老的电影就是河南豫剧电影《朝阳沟》，里面有非常著名的一句唱
庄稼活说难学也好学人家咋样咱咋样
学相对論，量子力学也是人家咋样咱咋样就行了不要觉得难。像我这样的人我 1982 年就上大学了，到现在才敢做一个关于相对论的报告花了三㈣十年的时间，说话我们一般智商的人坚持时间够了也能讲一讲相对论当然你想了解多深入是不太容易的。但是我总觉得我们中国人裏面的聪明人还是多的，人家当年有 20
多岁的青年能够创造的学问咱们今天在这样一个科学昌明，通讯发达的时代还学不会么所以请大镓有空的时候也读一读，说不定是能学会的大家可以学起来，尤其爱因斯坦英文文章本身是非常好的
